考研线代 线性方程组题库

第四章线性方程组 线性方程组是否有解 若有解 那么一共有多少解 怎样求出其所有解 往年考题中 方程组出现的频率较高 大致有三种类型 一是非齐次线性方程组的求解 含对参数取值的讨论 二是齐次线性方 程组基础解系的求解与证明 再者是有解 有非零解的判定及解的结构 向量的线性表示实际上也是一个方程组求解问题 而向量的线性相关实际上是齐次方程组是否有非零解的问题 一 齐次方程组有非零解 基础解系 通解等问题 1 02 3分 设A是m n矩阵 B是n m矩阵 则线性方程组 AB x 0 A 当n m时仅有零解 B 当n m时必有非零解 C 当m n时仅有零解 D 当m n时必有非零解 2 02 8分 设齐次线性方程组其中a 0 b 0 n 2 试讨论a b为何值时 方程组仅有零解 有无穷多组解 在有 无穷多组解时 求出全部解 并用基础解系表示全部解 评注 把第n行的 1倍加至第i行 i由1至n 1 然后把每行的 b倍均加至第n行 3 03 13分 已知齐次线性方程组其中 试讨论a1 a2 an 和b满足何种关系时 1 方程组仅有零解 2 方程组有非零解 在有非零解时 求此方程组的一个基础解系 先把第1行的 1倍依次加至其余各行 然后是把i行的 ai倍加至第1行 i 2 n 再将第1行移到最后一行 评注 本题行列式的计算方法特别多 不知你还会那些 你能用特征值的方法和理论求出的值吗 4 04 4分 设n阶矩阵A的伴随矩阵A 0 若是非齐次线性方程组Ax b的互不相等的解 则对应的齐次线性方程组Ax 0的基础解系 1 不存在 2 仅含一个非零解向量 3 含有两个线性无关的解向量 4 含有三个线性无关的解向量 96 6分 求齐次线性方程组的基础解系 98 5分 已知线性方程组 的一个基础解系为 b11 b12 b12n T b21 b22 b22n T bn1 bn2 bn2n T 试写出线性方程组 的通解 并证明理由 01 6分 设 1 2 s为线性方程组Ax 0的一个基础解系 1 t1 1 t2 2 2 t1 2 t2 3 s t1 s t2 1 其中t1 t2为实常数 试问满足什么关系时 1 2 s也为Ax 0的一个基础解系 04 9分 设有齐次线性方程组 n 2 试问a为何值时 该方程组有非零解 并求其通解 98 5分 已知三阶矩阵A的第一行是 a b c a b c不全为零 矩阵 k为常数 且AB 0 求线性方程组Ax 0的通解 综述 总体上看这一部分考得不十分理想 看来在基础解系的理解与把握上还有问题 复习时应当理解齐次线性方程组的基础解系与通解的概念 要掌握齐次线性方程组的基础解系与通解的求法 否则在特征向量的求解上还要出问题 n r A 这个数有两层含义 它既表示齐次线性方程组Ax 0的基础解系中有n r A 个解向量 又表示每个解中有n r A 个自由变量 搞清这个数会减少一些无谓的失误 目前考生在基础解系上解答得并不理想 希望引起重视 从2002年 2003年考题来看 对矩阵初等变换的要求明显比往年要高 二 非齐次线性方程组 5 96 3分 设 其中ai aj i j i j 1 2 n 则线性方程ATx B的解是 6 08 6分 设n元线性方程组Ax b 其中 当a取何值时 该方程组有唯一解 并求x1 当a取何值时 该方程组有无穷多解 并求通解 这样的方程组要会解 1 设线性方程组 1 证明 若a1 a2 a3 a4 两两不相等 则此线性方程组无解 2 设a1 a3 k a2 a4 k k 0 且已知 1 2是该方程组的两个解 其中 写出此方程组的通解 评注 也可把Ax 0的基础解系简写为 2 00 2 6分 设 A T B T 其中 T是 的转置 求解方程2B2A2x A4x B4x 评注 特解不是唯一 例如令可有特解 本题得分率较低 人均1 9分 主要错误是矩阵运算不正确 不能正确建立起线性方程组 也有些考生在方程组求解时犯种种错误 反映出基本概念 基本运算不过关 3 已知4阶方阵A 1 2 3 4 1 2 3 4均为4维列向量 其中 2 3 4线性无关 如果 1 2 3 4 求线性方程组Ax 的通解 评注 因为方程组Ax 的向量形式为x1 1 x2 2 x3 3 x4 4 1 2 3 4那么利用 1 2 2 3及 2 3 4线性无关可以得到 2x1 x2 3 2 x1 x3 3 x4 1 4 0 1 故知 2 于是Ax 与上述方程组同解 解此方程组就可得到Ax 的通解 从随机抽样的情况分析 数学一本题的得分率约为54 其中满分为27 而零分高达18 反映出考生习惯于常规的线性方程组 对于抽象的不知从何处入手 接口切入点不清楚 也有相当一部分考生基本运算不熟练 错 误多 例如把 1 2 2 3代入后整理的 1 式不正确 方程组 2 的求解无论是特解还是相应的齐次方程组的基础解系都有种种谬误 这一切希望大家要引以为戒 4 04 4 13分 设线性方程组已知 1 1 1 1 T是该方程组的一个解 试求 方程组的全部解 并用对应的齐次方程组的基础解系表示全部解 该方程组满足x2 x3的全部解 5 06 4 9分 设已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解 证明方程组系数矩阵A的秩r A 2 求a b的值及方程组的通解 95 7分 设线性方程组 问a为何值时方程组有解 并在求解时 求出方程组通解 08 6分 设n元线性方程组Ax b 期中 当a取何值时 该方程组有唯一解 并求x1 当a取何值时 该方程组有无穷多解 并求通解 综述解线性方程组作初等行变换时要正确 若在这里出错 往下还有意义吗 作有解判断时不要遗漏 近年来这类题目新的动向 要求考生通过矩阵运算 自己建立起方程组然后再求解 或利用解的结构从逻辑推理的角度 或用构造同解方程组的方法来求解 这样题目的综合性 灵活性增加 对考生能力的要求提高了 三 有解判定及解的结构 7 00 3分 设 1 2 3是四元非齐次线性方程组Ax b的三个解向量 且秩 A 3 1 1 2 3 4 T 2 3 0 1 2 3 T c表示任意常数 则线性方程组Ax b的通解x A B C D 8 01 3分 设A是n阶矩阵 是n维列向量 若秩 A 则线性方程组 A Ax 必有无穷多解 B Ax 必有唯一解 C 仅有零解 D 必有非零解 练习题 1 00 1 3分 已知方程组无解 则a 2 90 1 3分 已知 1 2是非齐次线性方程组Ax b的两个不同的解 1 2是对应齐次线性方程组Ax 0的基础解系 k1 k2为任意常数 则方程组Ax b的通解必是 A B C D 3 97 4 3分 非齐次线性方程组Ax b中未知量的个数为n 方程个数为m 系数矩阵A的秩为r 则 A r m时 方程组Ax b有解 B r n时 方程组Ax b有唯一解 C m n时 方程组Ax b有唯一解 D r n时 方程组Ax b有无穷多解 02 3分 设有三张不同平面的方程ai1x ai2y ai3z bi i 1 2 3 它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2 则这三张平面可能的位置关系为 03 8分 已知平面上三条不同直线的方程分别为l1 ax 2by 3c 0 l2 bx 2cy 3a 0 l3 cx 2ay 3b 0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a b c 0 97 4 3分 非齐次线性方程组Ax b中未知量个数为n 方程的个数为m 系数矩阵A的秩为r 则方程组Ax b有解 A r m时 方程组Ax b有解 B r n时 方程组有唯一解 C m n时 方程组有唯一解 D r n时 方程组Ax b有无穷多解 01 2 3分 设方程组有无穷多解 则a 综述对非齐次线性方程组要会判断何时无解 何时有唯一解 何时有无穷多解 当方程组有无穷多解时 解的性质与结构是什么 当系数矩阵没有具体给出时 如何求通解 当方程组有无穷多解或无解时 如何求参数 四 公共解 同解 9 00 3分 设A为n阶实矩阵 AT是A的转置矩阵 则对于线性方程组 AX 0和 ATAX 0 必有 A 的解是 的解 的解也是 的解 B 的解是 的解 但 的解不是 的解 C 的解不是 的解 的解也不是 的解 D 的解是 的解 但 的解不是 的解 评注 若 1 2 n T 则 可见 T 0 0 而 T 0 0 本题有43 的考生选 D 说明这些考生不会用左乘 T的方法由ATA 0推导出A 0 10 05 13分 已知齐次线性方程组 和 同解 求a b c的值 10 07 11分 设线性方程组与方程有公共解 求a的值及所有公共解 练习题 1 94 1 8分 设4元线性齐次方程组 为 又已知某线性齐次方程组 的通解为 k1 0 1 1 0 k2 1 2 2 1 1 求线性方程组 的基础解系 2 问线性方程组 和 是否有非零公共解 若有 则求出所有的非零公共解 若没有 则说明理由 评注 由于 的通解是l1 0 0 1 0 l2 1 1 0 1 的通解是 k1 0 1 1 0 k2 1 2 2 1 因此若令 只要能求出不全为0的l1 l2 则 且是 的解 也是 的解 由此可得l1 l2 k1 k2的齐次方程组 可见当k1 k2 0时 有非0公共解 下略 求两个方程组的公共解的思路方法清楚吗 若 两个方程组均已具体给出 你如何求公共解呢 2 03 1 4分 设有齐次线性方程组Ax 0和Bx 0 其中A B均为m n矩阵 现有4个命题 若Ax 0的解均是Bx 0的解则秩 A 秩 B 若秩 A 秩 B 则Ax 0的解均是Bx 0解 若Ax 0与Bx 0同解 则秩 A 秩 B 若秩 A 秩 B 则Ax 0与Bx 0同解 以上命题正确的是 A B C D 评注 请考生自己证明命题 正确 举例说明命题 不正确 3 98 4 分 已知下列非齐次线性方程组 1 求解方程组 用其导出组的基础解系表示通解 2 当方程组中的参数m n t为何值时 方程组 与 同解 评注 当把方程组 的解代入到方程组 中 求出m n t后 方程组 即为 可求出方程组 的通解 再与方程组 的通解相比较可知方程组 与方程组 同解 本题考查线性方程组通解的求法及两个方程组同解的概念 02 4 8分 设4元齐次线性方程组 为 而已知另一齐次线性齐次方程组 的一个基础解系为 1 2 1 a 2 1 2 1 2 4 a 8 k2 1 2 2 1 1 求方程组 的一