高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质第三节相似三角形的判定课后导练.docx

三 相似三角形的判定及性质课后导练基础达标1.如图1-3-9,D为ABC的边AB上的点,连结CD,求点D满足什么条件才能使ACDABC?图1-3-9解析：ACD与ABC有一公共角A,若使两三角形相似,需要另一角相等或构成A的两边对应成比例.D应满足下列条件之一即可.(1)ACD=B或ADC=ACB;(2)或AC2=ADAB.2.已知M是RtABC斜边AB的中点,过M作AB的垂线交AC于D,交BC延长线于E.求证:MC2=MDME.图1-3-10证明:M为RtABC斜边AB的中点,CM为中线.CM=AM=AB.A=ACM.又A+B=90,E+B=90,A=E.E=ACM.又CME=DMC,CMEDMC.=.MC2=MDME.3.如图1-3-11,DBAABC的条件是( )图1-3-11A.= B.AB2=BDBCC.CD2=ADAB D.=解析：DBA与ABC有公共角B.若它们相似,需构成该角的两边对应成比例,只有选项B.AB2=BDBC=符合条件.答案: B4.如图1-3-12,在ABC中,ACB=90,CDAB,DEAC,则图中和ABC相似的三角形的个数为( )图1-3-12A.1 B.2 C.3 D.4解析：CBDABC,因它们含公共角B,同理,ADEABC,ACDABC.CDE=A,DCEABC,共四个.答案:D5.如图,在ABCD中,DB是对角线,E是AB上一点,连结CE且延长交DA的延长线于F,则图中相似三角形的对数是( )图1-3-13A.2 B.3 C.4 D.大于4解析：AECD,AEFDCF.BECD,BOEDOC.BCAF,DOFBOC.CDF=EBC,F=ECB,CDFEBC.又三角形相似具有传递性,AFEBCE.因此相似三角形的对数大于4对.答案:D综合运用6.如图1-3-14,在ABC中,ADBC,DFAC,DEAB.求证:AEFACB.图1-3-14证明:DEAB,DFAC,AED=90,AFD=90.AED+AFD=180.点A、E、D、F四点共圆.1=2.又ADBC,C+CAD=90,2+CAD=90.2=C.1=C,EAF=CAB.AEFACB.7.求证:斜边上的高、斜边上的中线对应成比例的两直角三角形相似.如图,已知RtABC,C=90,RtABC,C=90,CD、CE、CD、CE分别是它们斜边上的高和中线,且.求证:RtABCRtABC.图1-3-15证明:在RtCDE和CDE中,RtCDERtCDE.CED=CED.又CE是斜边中线,CE=AB=BE.ECB=B.又B+ECB=CED,B=CED,同理,B=CED.B=B.RtABCRtABC.8.在ABC中,AB=AC,D、E分别为AB、BC上的点,连结DE并延长交AC的延长线于F.求证:DECF=EFBD.图1-3-16证明:过D作DGAC交BC于G，BGD=ACB.又AB=AC,B=ACB.B=BGD.BD=DG.在DEG和FEC中,EDG=F,DEG=FEC,DEGFEC.=.DECF=EFDG.DECF=EFBD.9.如图1-3-17,E是ABCD的边AD上的一点,连结CE并延长与BA的延长线相交于点P,EFAP交PD于F.求证:AFBD.图1-3-17思路分析:欲证AFBD只需证明=.由于与相等无法直接证明,它们又分在两个三角形中,即PBC与PDC中,而PC是公共边,于是可联想用比作为“中介”.证明：AEBC，PAEPBC.=.AD=BC,=.又EFPA，=.=.AFBD.10.如图1-3-18,ABC中,AB=AC,E是AB的中点,延长AB到D,使BD=AB,求证:CD=2CE.4?图1-3-18思路分析:CD、CE分别处于ACD和AEC中,=.考虑证ACDAEC,只需证=.证明:E是AB中点,=.AB=AC,=.又AB=AC=BD,=.=,A=A.AECACD.=.CD=2CE.拓展探究11.操作:如图1-3-19,在正方形ABCD中,P是CD上一动点(与C、D不重合),使三角尺的直角顶点与点P重合,并且一条直角边始终经过点B,另一直角边与正方形的某边所在的直线交于点E.图1-3-19探究:观察操作结果,哪一个三角形与BPC相似?并证明你的结论.解析：当另一条直角边与AD交于E,那么PDEBCP.2+3=90,1+?=90(BPE=90),1=2.RtPDERtBCP.当另一条边与BC的延长线相交,如图1-3-20.图1-3-20PBC=EBP,RtBPERtBCP.PBE+E=90,CPE+E=90,PBE=CPE.PCEBCP.12.如图1-3-21,已知ABC=CDB=90,AC=a,BC=b,当BD与a、b满足怎样的关系式时,图中的两个三角形相似？图1-3-21解析：ABC=CDB=90,当=时,ABCCDB.已知AC=a,BC=b,代入上式得BD=.又当=时,也有ABCBDC.将AC=a,AB=代入,得BD=.因此当BD=或BD=时,两个三角形相似.备选习题13.如图1-3-22,已知ABC中P为AB上一点.在下列四个条件中:ACP=B;APC=ACB;AC2=APAB;ABCP=APCB.能满足APC和ACB相似的条件是 ( )图1-3-22A. B. C. D.解析：ACP=B,A=A,APCACB.故符合条件.同理,符合条件.AC2=APAB,ACAP=ABAC,A=A.APCACB.故符合条件.而条件虽然可得到两边对应成比例,但不存在夹角相等.故不能判定两三角形相似.答案:D14.如图1-3-23,AD是RtABC斜边上的高,DEDF,且DE和DF分别交AB、AC于E、F.求证:.图1-3-23解析：AD是BC上的高,4+C=90.又BAC=90,B+C=90.B=4.又1+2=90,2+3=90,1=3.BEDAFD.15.如图1-3-24,在EAD中,EAD=90,AC是高,且BAE=D.求证:BD