参数方程高三复习课

参数方程 高三复习课 两个课时 参数方程在取定的坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数 即并且对于t的每一个允许值 由上述方程组所确定的点M x y 都在这条曲线上 那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方程 联系x y之间关系的变数叫做参变数 简称参数 参数方程的参数可以是有物理 几何意义的变数 也可以是没有明显意义的变数 普通方程相对于参数方程来说 前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程 叫做曲线的普通方程 圆的参数方程 思考1 圆心为原点 半径为r的圆的参数方程 如图所示 P x y 是圆上一点 r O 为参数 表示从x轴正向起逆时针旋转的角 以原点为圆心 以为半径的圆 说明 参数 的范围 确定了曲线的范围 以坐标原点为圆心 以2为半径的左半圆 以坐标原点为圆心 以2为半径的圆 又 所以 o x y 特点 练习 下列哪些曲线的轨迹是圆 若是 找出圆心和半径 是 是 是 否 例1 1 已知圆方程x2 y2 2x 6y 9 0 将它化为参数方程 解 x2 y2 2x 6y 9 0化为标准方程 x 1 2 y 3 2 1 参数方程为 为参数 练习 已知圆O的参数方程是 0 2 如果圆上点P所对应的参数 则点P的坐标是 例2已知点P x y 是圆x2 y2 6x 4y 12 0上动点 求 1 P到直线x y 1 0的距离d的最值 2 x y的最值 3 x2 y2的最值 例3已知点P x y 是圆x2 y2 6x 4y 12 0上动点 求 1 P到直线x y 1 0的距离d的最值 1 显然当sin 1时 d取最大值 最小值 分别为 解 将圆的方程化为 x 3 2 y 2 2 1 例3已知点P x y 是圆x2 y2 6x 4y 12 0上动点 求 2 x y的最值 3 x2 y2的最值 解 将圆的方程化为 x 3 2 y 2 2 1 2 x y 3 cos 2 sin 5 sin x y的最大值为5 最小值为5 例3已知点P x y 是圆x2 y2 6x 4y 12 0上动点 求 3 x2 y2的最值 解 将圆的方程化为 x 3 2 y 2 2 1 x2 y2的最大值为14 2 最小值为14 2 椭圆的参数方程 提出问题 以原点为圆心 分别以a b a b 为半径作两个圆 点B是大圆半径OA与小圆的交点 过点A作AN OX 垂足为N 过点B作BM AN 垂足为M 当半径OA绕原点O旋转时 点M的轨迹是什么 o x y b a N 解 设M x y 是以Ox为始边 OA为终边的正角 M x y 以原点为圆心 分别以a b a b 为半径作两个圆 点B是大圆半径OA与小圆的交点 过点A作AN OX 垂足为N 过点B作BM AN 垂足为M 当半径OA绕原点O旋转时 点M的轨迹是什么 解 设M x y 是以Ox为始边 o x y M A B b a N 它表示什么图形呢 演示 这就是M的轨迹参数方程 它表示中心在原点O 焦点在x轴上的椭圆 x y N 思考 x y o M A B 例题分析 例1 把下列椭圆的参数方程化为普通方程并写出该椭圆的焦点坐标 2 1 x y o 法1 数形结合法 法2 参数法 解法1 解 设与已知直线平行且与椭圆相切的直线方程为 由 得 得 令 结合图形可知 切线到直线的距离为所求d最值 x y o 法2 参数法 d 已知椭圆 点P x y 是椭圆上一点 求x2 y2的最大值与最小值 求3x 5y的范围 课堂练习 课堂小结 1 参数方程是椭圆的参数方程 2 称为离心角 规定参数的取值范围是 3 利用参数方程解题 其优势是减少未知量 易于建立函数模型解题 直线的参数方程 解 普通方程为 在直线上任意取一点M x y 设e是直线l的单位向量则 一 求直线的参数方程 问题 求经过点M0 x0 y0 倾斜角为 的直线l的参数方程 x y O 从而可以得到经过点M0 x0 y0 倾斜角为 的直线的参数方程 思考 t的几何意义是什么 t为参数 题型1 对直线的参数方程的理解 1 经过点M 1 3 倾斜角为45 练习1 写出下列直线的参数方程 2 倾斜角余弦值为 且过点P 2 2 3 过点P 4 1 且与直线l 平行 例1 已知过P0 2 1 的直线参数方程为L1 t为参数 1 试判断点M 1 5 是否在该直线上 2 求 P0M 2 对参数t的理解 题型1 对直线的参数方程的理解 参数方程与普通方程的互化 下面的方程各表示什么样的曲线 例 2x y 1 0直线 2 参数方程化为普通方程 代入消元法