高中数学第一章三角函数1.2角的概念的推广课件2

1 2角的概念的推广 1 在初中角是如何定义的 定义1 有公共端点的两条射线组成的几何图形叫作角 顶点 边 边 定义2 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫作角 A B O 顶点 始边 终边 2 角是如何度量的 角的单位是度 规定 周角的为1度的角 3 我们学过哪些角 它们的大小是多少 锐角 大于0 小于90 直角 等于90 钝角 大于90 小于180 平角 等于180 周角 等于360 我们以前所学过的角都是大于0 小于或等于360 的角 生活中很多实例不在0 360 范围内 像体操运动员转体720 跳水运动员向内 向外转体1080 本节课我们进一步研究更广泛的角 地球绕太阳旋转 角的范围如何来表示 角 这就是这节课我们所要学习的内容 角 1 通过实例深刻理解推广后角的概念 重点 2 理解正角 负角和零角的定义及任意角 象限角的概念 重点 3 掌握所有与角 终边相同的角的表示方法 难点 探究点1任意角的概念 思考1 下面的角度如何表示 你的手表慢了 分钟 想将它校准 分针应该旋转多少度 假如你的手表快了2 5小时 想将它校准 分针应该旋转多少度 注意 旋转方向和旋转量确定了校准手表的方式 顺时针旋转30 逆时针旋转900 提示 类比正负数可表示具有相反意义的量 对于旋转方向不同的角 我们猜想 也可以用正负来表示 思考2 类比数系的扩充 思考角的概念是否也可以推广 逆时针 顺时针 任意角定义 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线从起始位置OA没有作任何旋转 终止位置OB与起始位置OA重合 任意角 记法 角或 可简记为 注意角的旋转方向和旋转量 特别提醒 1 角的正负由旋转方向决定 2 角可以任意大小 其数值的大小由旋转次数及终边位置决定 这样 我们就把角的概念推广到了任意角 下列说法正确的是 A 一条射线绕顶点旋转 旋转的圈数越多 则这个角越大B 在坐标系中 将y轴的非负方向绕坐标原点顺时针旋转到x轴的非负方向形成的角为90 C 将钟表调快一个小时 则分针转了360 D 顺时针方向旋转形成的角一定小于逆时针方向旋转形成的角 即时训练 解析 如果一条射线绕顶点顺时针方向旋转 则它形成负角 旋转的圈数越多 则这个角越小 故A不正确 在坐标系中 将y轴的非负方向绕坐标原点旋转到x轴的非负方向时 是按顺时针方向旋转 故它形成的角为 90 故B不正确 将钟表调快一个小时 也是按顺时针转动 故分针转了 360 C不正确 顺时针方向旋转形成的角为负角 它一定小于逆时针方向旋转形成的正角 故D正确 答案 D x 思考1 为了进一步研究角的需要 我们常在直角坐标系内讨论角 并使角的顶点与原点重合 角的始边与x轴的非负半轴重合 那么对一个任意角 角的终边可能落在哪些位置 提示 如图 可以是坐标轴 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 探究点2象限角 象限角1 角的顶点与原点重合 2 角的始边重合于x轴的非负半轴 则角的终边 除端点外 在第几象限 就是第几象限角 提示 象限角只能反映角的终边所在象限 不能反映角的大小 象限角的图形表示 思考2 如图所示的角 角 是第几象限角 怎样判断一个角是第几象限角 提示 角 是第一象限角 角 是第三象限角 判断方法是将角的顶点与坐标原点重合 角的始边与x轴的非负半轴重合 角的终边落在第几象限 就说的该角是第几象限角 坐标轴上的角 如果角的终边落在了坐标轴上 就认为这个角不属于任何象限 例如 角的终边落在x轴或y轴上 坐标轴上的角 第三象限角 第四象限角 第三象限角 坐标轴上的角 坐标轴上的角 坐标轴上的角 坐标轴上的角 第一象限角 坐标轴上的角 坐标轴上的角 坐标轴上的角 象限角 坐标轴上的角 坐标轴上的角 坐标轴上的角 角 坐标轴上的角 坐标轴上的角 坐标轴上的角 按终边的位置分类 第二象限角 1 锐角是第几象限的角 2 第一象限的角是否都是锐角 3 小于90 的角都是锐角吗 答 锐角是第一象限的角 答 第一象限的角并不都是锐角 答 小于90 的角并不都是锐角 它也有可能是零角或负角 即时训练 思考1 在坐标轴上画出30 390 330 它们有什么共同点和内在联系 提示 终边相同 且30 30 0 360 x y O 30 390 330 390 30 360 330 30 360 30 1 360 30 1 360 探究点3终边相同的角 390 330 两个角都可以表示成30 角与k个周角的和 其中k为整数 提示 集合 思考2 所有与30 角终边相同的角 连同30 角在内 可构成一个集合S 你能用描述法表示集合S吗 提醒 所有与30 角终边相同的角 连同30 角在内 都是集合S的元素 反过来 集合S的任一元素显然都与30 角终边相同 终边相同的角的表示所有与角 终边相同的角 连同角 在内 可构成一个集合 S 即任何一个与角 终边相同的角 都可以表示成角 与周角的整数倍的和 k 360 k Z 1 k Z 2 是任意角 3 k 360 与 之间是 号 如k 360 30 应看成k 360 30 4 k的两层含义 特殊性 每对k赋一个值可得一个具体角 一般性 表示了所有与终边 重合的角的集合 特别提醒 5 终边相同的角不一定相等 但相等的角终边一定相同 终边相同的角有无数多个 它们相差360 的整数倍 例1判定下列各角是第几象限角 1 60 2 606 3 950 12 解 1 因为 60 角的终边在第四象限 所以它是第四象限角 2 因为606 360 246 所以606 与246 角的终边重合 而246 的终边在第三象限 所以606 是第三象限角 3 因为 950 12 2 360 230 12 而 230 12 的终边在第二象限 所以 950 12 是第二象限角 总结提升 判断一个角所在象限或不同角之间的终边关系 只要把它们化为 k 360 k Z 0 360 然后只要考查 的相关问题即可 变式练习 已知角的顶点与坐标原点重合 始边落在x轴的非负半轴上 作出下列各角 并指出它们是第几象限的角 1 75 2 855 3 510 解析 作出各角 其对应的终边如图所示 1 由图可知 75 是第四象限的角 2 由图可知 855 是第二象限的角 3 由图可知 510 是第三象限的角 例2在直角坐标系中 写出终边在y轴上的角的集合 用0 360 的角表示 解 在0 360 范围内 终边在y轴上的角有两个 即90 与270 角 如图 因此 所有与90 角终边相同的角构成集合S1 而所有与270 角终边相同的角构成集合S2 于是 终边在y轴上的角的集合S S1 S2 90 k 180 k Z 270 k 360 k Z 解 S 丨 k 360 60 k Z S中适合 360 720 的元素是 60 1 360 300 60 0 360 60 60 1 360 420 例3写出与60 角终边相同的角的集合S 并把S中适合不等式 360 720 的元素 写出来 变式练习 如图所示 则终边在图中所示直线上的角的集合为 解题关键 在0 360 范围内找出终边落在图中直线上的角 利用终边相同的角表示出集合即可 解析 由题干图易知 在0 360 范围内 终边在直线y x上的角有两个 即135 和315 因此 终边在直线y x上的角的集合为S 135 k 360 k Z 315 k 360 k Z 135 k 180 k Z 答案 135 k 180 k Z 总结提升 1 终边相同角常用的两个结论 1 终边在同一直线上的角之间相差180 的整数倍 2 终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90 的整数倍 2 表示区间角的三个步骤第一步 先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界 第二步 按由小到大分别标出起始和终止边界对应的 180 180 范围内的角 和 写出最简区间 x x 第三步 起始 终止边界对应角 再加上360 的整数倍 即得区间角集合 1 时钟经过1小时 时针转动的角是 A 30 B 60 C 30 D 60 解析 时钟经过1小时 时针转过1格是30 又顺时针旋转 所以大小为 30 C 2 已知 130 则 的终边落在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 C 解析 130 的角的终边处在 180 和 90 之间 所以其终边落在第三象限 3 与 800 终边相同的最小正角是 解析 与 800 终边相同的角的集合为 800 k 360 k Z 当k 3时 得最小正角 800 3 360 280 答案 280 4 有一个小于360 的正角 这个角的6倍的终边与x轴的正半轴重合 则这个角为 解析 由题知 6 k 360 k Z 所以 k 60 k Z 又因为 是小于360 的正角 所以满足条件的角 的值为60 120 180 240 300 答案 60 120 180 240 300 5 在0 360 范围内 找出与 990 15 角终边相同的角 并判定它是第几象限角 解析 因为 990 15 89 45 3 360 所以在0 360 范围内 与 990 15 角终边相同的角是89 45 它是第