第十三章 能量法92

第十一章能量法 材料力学 第十三章能量法 13 1概述 13 2杆件变形能的计算 13 3互等定理 13 4单位荷载法 莫尔定理 13 5卡氏定理 13 6计算莫尔积分的图乘法 13 1概述 在弹性范围内 弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量 称为弹性变形能 简称变形能 一 能量方法 三 变形能 二 外力功 固体在外力作用下变形 引起力作用点沿力作用方向位移 外力因此而做功 则称为外力功 利用功能原理U W来求解可变形固体的位移 变形和内力等的方法 可变形固体在受外力作用而变形时 外力和内力均将作功 对于弹性体 不考虑其他能量的损失 外力在相应位移上作的功 在数值上就等于积蓄在物体内的应变能 功能原理U W 四 功能原理 13 2杆件变形能的计算 一 杆件变形能的计算 1 轴向拉压的变形能 当拉力为F1时 杆件的伸长为 l1当再增加一个dF1时 相应的变形增量为d l1 此外力功的增量为 P l F l F o l 积分得 根据功能原理 当轴力或截面发生变化时 U W 可得以下变形能表达式 单位J m3 比能 单位体积的应变能 记作u 当轴力或截面连续变化时 2 扭转杆内的变形能 或 纯弯曲 横力弯曲 3 弯曲变形的变形能 注 剪切变形能忽略不计 4 组合变形的变形能 截面上存在几种内力 各个内力及相应的各个位移相互独立 力独立作用原理成立 各个内力只对其相应的位移做功 5 纯剪切应力状态下的比能 假设单元体左侧固定 因此变形后右侧将向下移动 dx 因为很小 所以在变形过程中 上 下两面上的外力将不作功 只有右侧面的外力 dydz 对相应的位移 dx作了功 当材料在线弹性范围内内工作时 上述力与位移成正比 因此 单元体上外力所作的功为 比能为 将 G 代如上式得 二 变形能的普遍表达式 F 广义力 包括力和力偶 广义位移包括线位移和角位移 位移是力的作用点在力的方向上的位移 B C 假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义位移也由零增致最后值 对于线性结构 位移与荷载之间是线性关系 任一广义位移 例如 2可表示为 C1F1 C2F2 C3F3分别表示力F1 F2 F3在C点引起的竖向位移 C1 C2 C3是比例常数 2与F2之间的关系是线性的 同理 1与F1 3与F3之间的关系也是线性的 在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功 克拉贝隆原理 只限于线性结构 三 变形能的应用 1 计算变形能 2 利用功能原理计算变形 例1试求图示悬臂梁的变形能 并利用功能原理求自由端B的挠度 解 由U W得 例2试求图示梁的变形能 并利用功能原理求C截面的挠度 解 由U W得 例3试求图示四分之一圆曲杆的变形能 并利用功能原理求B截面的垂直位移 已知EI为常量 忽略轴力和剪力 解 由U W得 例题4拉杆在线弹性范围内工作 抗拉刚度EI 受到F1和F2两个力作用 若先在B截面加F1 然后在C截面加F2 若先在C截面加F2 然后在B截面加F1 分别计算两种加力方法拉杆的应变能 1 先在B截面加F1 然后在C截面加F2 在B截面加F1 B截面的位移为 外力作功为 再在C上加F2 C截面的位移为 F2作功为 在加F2后 B截面又有位移 在加F2过程中F1作功 常力作功 所以应变能为 2 若先在C截面加F2 然后B截面加F1 在C截面加F2后 F2作功 在B截面加F1后 F1作功 加F1引起C截面的位移 在加F1过程中F2作功 常力作功 所以应变能为 注意 计算外力作功时 注意变力作功与常力作功的区别 应变能U只与外力的最终值有关 而与加载过程和加载次序无关 两力作用点沿力作用方向的位移分别为 F1 F2 1 设在线弹性结构上作用力 1 2 一 功的互等定理 13 3互等定理 F1和F2完成的功应为 2 在结构上再作用有力 F3 F4 沿F3和F4方向的相应位移为 3 4 F3和F4完成的功应为 3 在F3和F4的作用下 F1和F2的作用点又有位移 F1和F2在 1 和 2 上完成的功应为 因此 按先加F1 F2后F3 F4的次序加力 结构的应变能为 若按先加F3 F4后加F1 F2的次序加力 又可求得结构的应变能为 由于应变能只决定于力和位移的最终值 与加力的次序无关 故 功的互等定理 第一组力在第二组力引起的位移上所作的功 等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功 二 位移互等定理 若第一组力F1 第二组力只有F3 则 如果F1 F3 则有 位移互等定理 F1作用点沿F1方向因作用F3而引起的位移等于F3作用点沿F3方向因作用F1而引起的位移 三 注意 1 力和位移都应理解为广义的 2 这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下 只是由变形引起的位移 13 4单位荷载法 莫尔定理 一 莫尔定理的推导 求任意点A的位移fA A 图b 变形能为 a A 图 F1 F2 A 图c 1 先在A点作用单位力F0 再作用F1 F2力 2 三个力同时作用时 任意截面的弯矩 变形能 桁架 二 普遍形式的莫尔定理 同理 三 使用莫尔定理的注意事项 莫尔积分必须遍及整个结构 M x 结构在原载荷下的内力 所加广义单位力与所求广义位移之积 必须为功的量纲 去掉主动力 在所求广义位移点 沿所求广义位移的方向加广义单位力时 结构产生的内力 注意 上式中 应看成广义位移 把单位力看成与广义位移相对应的广义力 A 例题5抗弯刚度为EI的等截面简支梁受均布荷载作用 用单位载荷法求梁中点的挠度fc和支座A截面的转角 剪力对弯曲的影响不计 q B C l l 2 解 在实际荷载作用下 任一x截面的弯矩为 A A B C 1 求C截面的挠度 在C点加一向下的单位力 任一x截面的弯矩为 q B C l l 2 ql 2 ql 2 ql 2 A A B 2 求A截面的转角 在A截面加一单位力偶 引起的x截面的弯矩为 q C l l 2 顺时针 ql 2 B 例题6图示外伸梁 其抗弯刚度为EI 用单位载荷法求C点的挠度和转角 A C q F qa a 2a B A A B C a 2a 解 AB 1 求截面的挠度 在c处加一单位力 1 C q F qa a 2a BC B A A B C a 2a C q F qa a 2a RA 1 2 B A BC AB 2 求C截面的转角 在c处加一单位力偶 A B C a 2a C q F qa a 2a RA 1 2a 例题7刚架的自由端A作用集中力F 刚架各段的抗弯刚度已于图中标出 不计剪力和轴力对位移的影响 计算A点的垂直位移及B截面的转角 A B C F EI1 EI2 解 1 计算A点的垂直位移 在A点加垂直向下的单位力 AB BC a A B C F l A B C l a 2 计算B截面的转角 在B上加一个单位力偶矩 AB BC A B C F l x a A B C l x a C 例题8图示刚架 两杆的EI和EA分别相同 试求C点的水平位移 F a b A B F a a 解 在C点加一水平单位力 A B B A C C CB AB F a a A B B A C C 例题9图示为一水平面内的曲杆 B处为一刚性节点 ABC 90 在C处承受竖直力F 设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度分别是EI和GIp 求C点竖向的位移 解 在C点加竖向单位力 BC A B C a b AB 例题10由三杆组成的刚架 B C为刚性节点 三杆的抗弯刚度都是EI 试用单位载荷法求A1 A2两点的相对位移 忽略轴力 解 在A1 A2处加一对水平单位力 B C两支座的反力均为零 A1B BC CA2 A1 A2 B C l 例题11刚架受力如图 求A截面的垂直位移 水平位移及转角 AB BC 解 求A点铅垂位移 在A点加竖向单位力 A B C l l q 求A点水平位移 在A点加水平单位力 AB BC A B C l l q 求A点的转角 在A点加一单位力偶 AB BC A B C l l q 例题12计算图 a 所示开口圆环在P力作用下切口的张开量 AB EI 常数 注意 第61页的将F改为R B A R P b B A R P c 解 O O 设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移 作用有外力 F1 F2 Fi 相应的位移为 1 2 i 13 5卡氏定理 结构的变形能 只给Fi一个增量 Fi 引起所有力的作用点沿力方向的位移增量为 在作用 Fi的过程中 Fi完成的功为 原有的所有力完成的功为 结构应变能的增量为 如果把原来的力看作第一组力 而把 Fi看作第二组力 根椐互等定理 略去高阶微量 或者 当 Fi趋于零时 上式为 这就是卡氏第二定理 卡氏定理 1 卡氏第二定理只适用于线性弹性体 说明 2 Fi为广义力 i为相应的位移 卡氏第二定理的应用 轴向拉 压 扭转 弯曲 平面桁架 组合变形 例题14外伸梁受力如图所示 已知弹性模量EI 梁材料为线弹性体 求梁C截面的挠度和A截面的转角 F A B C l a RA AB BC A B C l a RA F 解 A B C l a RA F 例题15刚架结构如图所示 弹性模量EI已知 材料为线弹性 不考虑轴力和剪力的影响 计算C截面的转角和D截面的水平位移 A B C D a a 2a Me 解 在C截面虚设一力偶Mc 在D截面虚设一水平力F CD CB AB A B C D a a 2a Me 2a A B C D a a Me 例题16圆截面杆ABC ABC 90 位于水平平面内 已知杆截面直径d及材料的弹性常数E G 求C截面处的铅垂位移 不计剪力的影响 BC 弯曲变形 A B l AB 弯曲与扭转的组合变形 扭转变形 弯曲变形 13 6计算莫尔积分的图乘法 在等直杆的情况下 莫尔积分中的EI GIP EA为常量 可提到积分号外面 只需计算 c M x M x x l x C 对于等直杆有 当M图为正弯矩时 应代以正号 当M图为负弯矩时 应代以负号 b 几中常见图形的面积和形心的计算公式 a l h 三角形 C C l h 顶点 二次抛物线 l h 顶点 c N次抛物线 l h 顶点 c 二次抛物线 3l 4 l 4 例18均布荷载作用下的简支梁 其EI为常数 求跨中点的挠度 F A B C F 例19图示梁 抗弯刚度为EI 承受均布载荷q及集中力F作用 用图乘法求 1 集中力作用端挠度为零时的F值 2 集中力作用端转角为零时的F值 F C A B a q F C A B 解 a a q 例20图示开口刚架 EI const 求A和B两截面的相对角位移 AB和沿F力作用线