考点分析与预测

考点分析与预测1.空间图形主要有两块内容:一块是直线与平面,另一块是简单几何体。直线与平面的基本性质,解决空间图形基本问题(平行,垂直,角,距离)的方法,是解决复杂几何体问题的基础。因此，必须学好平面的基本性质，解决空间图形基本问题的方法。2首先要学会识别图形，包括几何体的图形的形状，大小，几何体间的位置关系；几何体中各元素在平面上，空间中的相互位置关系以及特定位置的排列顺序。其次要能够画出表示概念的“图”，定理的“图”，能够根据题目的条件和要求画出相应的图。第三，还要能够对图形进行适当的处理，对图形分割，补全，展开，移出，添加辅助线，面。第四，由于立体几何图形是在平面上给出的，只有在想象的基础上进行分析，才可能得出正确的判断。3对于有关几何量的度量，要做到解题过程完整，即：一作，二证，三计算。作在何处大有讲究，一般而言，所求的角，垂线应作在图形的表面，显眼的地方，汇聚几何元素多的地方，因为这样做，易于弄清关系，好计算。4高考的三种题型都有立体几何题目，并且以立体几何的内容为载体，首创了“开放题”，“类比题”。通过立体几何内容的试题，考查空间想象力，逻辑思维能力。为了提高这方面的能力，同学们在平时应多观察图，多想图，加强表达训练，努力使解题过程层次分明，表达清晰，理由充分。知识框架1 空间线面平行与垂直的判定与证明2 空间的角和距离3 简单的几何体 内容：一：空间线面平行与垂直的判定与证明； 线线垂直（平行） 线面垂直（平行）面面垂直（平行）（转化思想）如【例1】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD=90,ADBC且AB=BC=a，AD=2a，且PA底面ABCD，PD与底面成30角。若AEPD，E为垂足。 求证：BEPD 【分析】 要证线线垂直，要证线面垂直或三垂线定理。 【证明】 法一：PA平面ABCD，PAAB 再由ABAD，得AB平面PAD，ABPD，又AEPD，PD平面ABE，故BEPD 法二：由题设ABAD，ABAP，AB平面PAD 故由AB平面PAD，又由AEPD，得BEPD 法三：本题还可用空间向量法【例2】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F求证：PB平面EFD【分析】 要证明PB平面EFD，只要证PBEF和PBDE，而EFPB已知，故只要证PBDE，通过证DE平面PBC便可实现【证明】证法一：PD底面ABCD，且DC 底面ABCD PDDC PD=DC 可知PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，DEPC 同理由PD底面ABCD，得PDBC 底面ABCD是正方形，有DCBC，BC平面PDC，而DE平面PDC， BCDE DE平面PBC，而PB面PBC， DEPB 又EFPB，且DEEF=E，所以PB平面EFD。 证法二：以D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系D-xyz ，设DC=，依题意得B（，0），P（0，0，）E（0，），D（0，0，0） =（，-），=（0，） =0=0 ，即PBDE 已知EFAB，且EFDE=E，所以PB平面EFD 【例3】如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱BC上的一点，且A1B平面ADC1，记AB=a，AA1=h 求证：平面ADC1平面B1BCC1【分析】 根据已知条件“A1B平面ADC1”想性质，故需连A1C交AC1于O，可得A1BOD，从而D是BC的重点，这是解题的关键【证明】 法一：如图连接A1C交AC1于O，连接OD A1B平面ADC1，且平面ADC1平面A1BC=OD A1BOD 在A1BC中，O为A1C的中点 D为BC的中点 ADBC AD平面B1BCC1 又AD平面ADC1 平面ADC1平面B1BCC1 法二：向量法：以AB的中点M为原点建立空间直角坐标系，也可得证，证明过程从略。【例4】已知正方形ABCD和矩形ACEF做在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是EF的中点。求证：AM平面BDE【分析】 如图，只要证AMOE即可【证明】 证法一：记AC与BD的交点为O，连接OE，O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，四边形AOEM是平行四边形，AMOE OE平面BDE，AM平面BDE AM平面BDE 法二:建立如图所示的空间直角坐标系 设ACBD=N，连接NE，则N（ ， ，0）,E（0，0，1），A（ ， ，0），M（ ， ，1） =（-，-，1） =（- ，- ，1）=，且与不共线 即NEAM 又NE平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDE 【解题回顾】 已知条件想性质（定理），要求证的想判定（定理），对平行与垂直关系的证明很有意义。 二：空间的角和距离（1）空间的角：异面直线所成的角；直线与平面所成的角；二面角的平面角求异面直线所成的角的方法：平移法，向量法【例5】如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，求异面直线OE和FD1所成的角的余弦值。 【分析】 通过平移异面直线中的一条或两条，将异面直线所成的角化归到三角形中，然后解三角形求之，或建立空间直角坐标系，利用向量求之解法一：取面CC1D1D的中心为H，连接FH、D1H，在FHD1中 =，FH=，D1H = 由余弦定理得D1FH的余弦值为。 解法二：取C1D1的中点H，连接HE，HOE即为所求，然后在HOE中解出HOE的余弦值 （从略）解法三：以点D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则A（2，0，0），D（0，0，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），B（2，2，0） F（1，0，0），E（0，2，1），O（1，1，0），=（-1，1，1），=（-1，0，2） 向量OE与向量FD1夹角的余弦值为= 求直线与平面所成的角的方法:求二面角的平面角的方法：定义法，利用三垂线定理法，垂面法，法向量法，面积射影法【例6】如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD，求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 【分析】 本题可用三垂线定理法，面积射影法，法向量法求之 解法一：取VD的中点E，连接AE、BE ，VAD是正三角形 AEVD，AE=AD 平面VAD平面ABCD，ABAD，AB平面ABCD AB平面VAD ABVD AEB即为所求二面角的平面角。 于是tanAEB=AE/AB =，故AEB= 解法二：由解法 一 知 BA平面VAD，设面VAD与面VDB所成的二面角为，则有 = 设AD=a 则 = = 解法三：过V做VMAD于点M ，取BC的中点N，连接M N，以M为坐标原点，建立如图所示坐标系设AD=2，则V（0，0，），A（1，0，0），B（1，2，0），D（-1，0，0），则 =（2，2，0），=（1，0，），由解法 一 知为平面VAD的法向量，且=（0，-2，0） 设平面VBD的法向量为=（1，x，y） 由 得 2 + 2x = 0 1 +y=0解得 x=-1 Y=- =(1,-1, -) =【解题回顾】空间角或距离的计算，解题途径主要有两条： 平移 向量 （2） 空间距离：主要强调点面距 求点到平面的距离的求法：直译法，等积法，转移法，法向量法（例题从略） 三：简单多面体 前面几道例题主要涉及到棱柱、棱锥中线面关系的判断和证明以及有关角、距离的问题，下面讲解有关棱柱、棱锥 、球面中侧面、截面面积及体积的计算【例7】如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF=3/2，EF与面AC的距离为2，求该多面体的体积【分析】 题目所给的多面体是棱柱或棱锥的部分，不能直接套用公式，适当割补后，才能运用体积公式进行计算解法一：连接EB、EC，则VE-ABCD=332=6 AB=2EF， EFAB SEAB=2SBEF VF-EBC=VC-EFB=VC-EAB=VE-ABC=VE-ABCD= 所求多面体的体积为V= VE-ABCD+ VF-EBC=6+ =解法二：设M、N分别是AB、CD的中点，则EFFB，ENFC，MNBC，则FBC-EMN为三棱柱，其中VE-MNDA= 32=3 不妨设面BCF面ABCD，则VFBC-EMN=SBCFEF= 32= 所求多面体体积为3=【例8】 一间民房的屋顶有三种不同的盖法，（1）单向倾斜；（2）双向倾斜；（3）四向倾斜，记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3，若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则（ ）AP3P2P1 ； B. P3P2=P1 ；C. P3 = P2P1 ； D. P3 =P2=P1【分析】 本题可利用斜面面积 S斜 与射影面积S直及斜面与射影面所成二面角之间的关系式 S斜 = S直 来解决解： 设屋房直截面面积为P 中 P1= P P1= 中 设两个斜面面积分别为S1、S2，则有：P=S1S2 =（S1+ S2） P2= 中 设四个斜面面积分别为T1、T2、T3、T4，则有P=T1T2T3T4=（T1T2T3T4） =P3 P3= 故P3=P2=P1 正确答案：【D】 【例9】设地球的半径为R，在北纬45圈上有两点A、B，点A在西经40，点B在东经50，求A、B两点纬线圈的弧长及A，B两点的球面距离。 【分析】 首先看第一解题目标，是求纬线圈中的弧长，必须要用弧长公式l=r去解决，而公式中的 =AO1B，就是A、B两地间的经度差，r呢？由地球和纬度来求得。再看第一解题目标，要求A、B两点的球面距，根据定义，要先找出经过A、B、O（球心）的一个大圆，再找出劣弧AB，而劣弧AB=AOBR，下面只需求出AOB的弧度数。 解：设45纬线圈的中心为O1，球心为O，则AO1B=40+50=90 又OO1平面AO1B 而OAO1=45，O1A= O1B=O1O=OAcos45=R 在RtAO1B中，AB=AO1=R AOB为等边 AOB= 故在45纬线圈上 L=， AO1=R ；A，B两点间的球面距离为=R立体几何高考题型预测：热点之一：点、线、面问题 包括平面的基本性质、空间的直线和平面的位置关系及判定方法，特别注意三垂线定理及其逆定理的应用。【例1】已知是两个平面，直线若以，中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确命题的个数是（ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个分析：以，中两个为条件，另一个为结论可构成三个命题 命题1：， 命题2：， 命题3：， 其中前两个命题正确，第三个命题错误。 正确答案：C 【例2】把边长为的正方形剪去图中的阴影部分，沿图中所画的线折成一个正三棱锥，则这个正三棱锥的高为（ ）（A） （B）（C） （D）分析：由题意知，折成的正三棱锥底面边长为b，侧面长为a（如图） 作顶点B在底面DEF上的射影点O。连结DO，则 DO=a=a ，BD=b 在RtBOD中 BO=连结BD（原图中），交EF于点G， 则DG=b BG=a - b + = 即b=a BO= 正确答案：B （练习）1在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）（B）（D）（C）（A）分析：根据题意，钢球球心必在棱锥的高上，故排除C，D。 钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，所得圆只能与这条侧棱对面上的高线，底面高线相切，而与这条侧棱不相切，排除A 正确答案：B2在正方体中，写出过顶点A的一个平面_，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。分析：连结AB1,B1D1,D1A。 则四面体A1AB1D1 是正三棱锥 A1ABB1CC1DD1 A1B1ABDCD1C1 A1D1ADBCB1C1 正方形的12条棱与面AB1D1 所成的角都相等。 正确答案：面AB1D1（还有如面ACB1等）热点之二：空间角与距离问题三个角：包括两条直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角；八个距离：包括点到直线的距离、点到面的距离、两条平行直线的距离、异面直线的距离、直线与平行平面的距离、两个平行平面之间的距离、球面上两点的距离。 在求角或距离时，一定要“先找后解”。【例3】已知：斜三棱柱的侧面与底面垂直，且（）求侧棱与底面所成角的大小；（）求侧面与底面所成二面角的大小；（）求顶点C到侧面的距离；（）求侧棱和侧面的距离。解析： ()作ADAC,垂足为D，由面A1ACC面ABC 得A1D面ABC A1AD为A1A与面ABC所成的角 AA1 A1C AA1 = A1C A1AD= 为所求。 ()作DEAB ，垂足为E，则由A1D面ABC 得A1EAB 由已知A1BBC 得EDBC 又D为AC的中点，BC=2 AC=2，DE=1 AD=A1D= = 故A1ED = 为所求。()连结A1B ,根据定义,点C到面A1ABB1的距离, 即为三棱锥CAAB的高h, 由= 得 h = A1D 即2h =2 h=()过B作BFAC 由面A1ACC1面ABC 得BF面A1ACC1 又BB1 面AACC 故B到平面A1ACC1的距离就是侧棱BB1与侧面A1ACC1的距离 在RtABC中 ABBC = ACBF 得