课堂设计高中数学2.3.1平面向量基本定理学案新人教A必修4

2.3平面向量的基本定理及坐标表示23.1平面向量基本定理自主学习 知识梳理1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的_向量a，_实数1，2，使a_.(2)基底：把_的向量e1，e2叫做表示这一平面内_向量的一组基底2. 两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个_a和b，作a，b，则_ (0180)，叫做向量a与b的夹角范围：向量a与b的夹角的范围是_当0时，a与b_.当180时，a与b_.(2)垂直：如果a与b的夹角是_，则称a与b垂直，记作_ 自主探究设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量通过作图法可以证明：一定存在一组实数(1，2)使a1e12e2成立，并且(1，2)是唯一的，请你根据图1和图2叙述这一过程对点讲练知识点一对基底概念的理解例1如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是()e1e2(、R)可以表示平面内的所有向量；对于平面内任一向量a，使ae1e2的实数对(，)有无穷多个；若向量1e11e2与2e12e2共线，则有且只有一个实数，使得1e11e2(2e12e2)；若存在实数，使得e1e20，则0.A B C D回顾归纳考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来变式训练1设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：e1与e1e2；e12e2与e22e1；e12e2与4e22e1；e1e2与e1e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_(写出所有满足条件的序号)知识点二用基底表示向量例2如图，梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若a，b试用a，b表示、.回顾归纳用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来解决此类题时，首先仔细观察所给图形借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决变式训练2如图，已知ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若a，b，用a，b表示，.知识点三平面向量基本定理的应用例3如图所示，在ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P，求证：APPM41.回顾归纳(1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注重方程思想的应用；(2)用基底表示向量也是运用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握变式训练3如图所示，已知AOB中，点C是以A为中点的点B的对称点，2，DC和OA交于点E，设a，b.(1)用a和b表示向量、；(2)若，求实数的值1对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底2准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决. 课时作业一、选择题1若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()Ae1e2，e2e1 B2e1e2，e1e2C2e23e1,6e14e2 De1e2，e1e22等边ABC中，与的夹角是()A30 B45 C60 D1203下面三种说法中，正确的是()一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量A B C D4在ABC中，D，E，F依次是BC的四等分点，以e1，e2为基底，则等于()A.e1e2 B.e1e2C.e1e2 D.e1e25已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得m成立，则m的值为()A2 B3 C4 D5二、填空题6设向量m2a3b，n4a2b，p3a2b，试用m，n表示p的结果是_7在ABC中，c，b.若点D满足2，则_.三、解答题8. 如图在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知c，d，试用c，d表示，.9. 如图所示，在OAB中，AD与BC交于点M，设a，b，以a、b为基底表示.2.3平面向量的基本定理及坐标表示23.1平面向量基本定理答案知识梳理1(1)不共线任意有且只有一对1e12e2(2)不共线所有2(1)非零向量AOB0,180同向反向(2)90ab自主探究解在平面内任取一点O.作e1，e2，a.过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N.由共线向量定理知，存在实数1、2使1e1，2e2，由于，所以a1e12e2.下面说明这里的1、2是唯一的设a1e12e21e12e21e12e2.(11)e1(22)e20，e1、e2不共线11220.11，22.(1，2)是唯一存在的对点讲练例1B由平面向量基本定理可知，是正确的对于，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的对于，当两向量的系数均为零，即12120时，这样的有无数个，故选B.变式训练1解析对于4e22e12e14e22(e12e2)，e12e2与4e22e1共线，不能作为基底例2解如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形则a，ba，ab.变式训练2解a(ba)ab；a(ba)ab；a(ba)ab.例3解设b，c，则bc，cb.，存在，R，使得，又，由b得bcb.又b与c不共线解得故，即APPM41.变式训练3解(1)由题意，A是BC的中点，且，由平行四边形法则，2.22ab，(2ab)b2ab.(2).又(2ab)a(2)ab，2ab，.课时作业1D2.D3.B4AD，E，F依次是BC的四等分点，()(e1e2)，e2e1，(e1e2)(e1e2)(e2e1)e1e2.5B设BC的中点为D，由已知条件可得M为ABC的重心，2，又，故m3.6pmn解析设pxmyn，则3a2bx(2a3b)y(4a2b)(2x4y)a(3x2y)b得.7.bc解析()