线与线、线与面、面与面平行的判定与性质.ppt

第二讲 平面平行的判定及其性质 1 直线与直线 1 空间两条直线的位置关系有 三种 2 过直线外一点 一条直线和这条直线平行 3 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相 又叫做空间平行线的传递性 平行 相交 异面 有且仅有 平行 4 定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行 并且方向相同 那么这两个角 5 空间四边形 顺次连结不共面的四点A B C D所构成的图形 叫做 这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点 所连结的相邻顶点间的线段叫做 连结不相邻的顶点的线段叫做 空间四边形用表示顶点的四个字母表示 空间四边形的对角线 相等 空间四边形 四边形的边 2 直线与平面平行 1 直线与平面的位置关系有 平行 直线和平面有且只有1个公共点 直线在平面内 其中 也叫 直线和平面没有公共点 相交 直线和平面有无数个公共点 直线在平面外 知识归纳一 直线与平面平行1 判定方法 1 用定义 直线与平面无公共点 二 平面与平面平行1 判定方法 1 用定义 两个平面无公共点 3 其它方法 2 性质定理 3 两条直线被三个平行平面所截 截得对应线段成比例 课前训练 1 设AA 是长方体的一条棱 这个长方体中与AA 平行的棱共有 A 1条B 2条C 3条D 4条 解析 AA BB CC DD 答案 C 2 b是平面 外一条直线 下列条件中可得出b 的是 A b与 内一条直线不相交B b与 内两条直线不相交C b与 内无数条直线不相交D b与 内任意一条直线不相交 解析 只有在b与 内所有直线都不相交 即b与 无公共点时 b 答案 D 3 在空间 下列命题正确的是 A 若a b a 则b B 若a b a b 则 C 若 b 则b D 若 a 则a 解析 若a b a 则b 或b 故A错误 由面面平行的判定定理知 B错误 若 b 则b 或b 故C错误 答案 D 4 考查下列三个命题 在 处都缺少同一个条件 补上这个条件使其构成真命题 其中l m为直线 为平面 则此条件为 答案 l l l 5 a b c为三条不重合的直线 为三个不重合的平面 现给出四个命题 其中正确的命题是 答案 类型一 直线与直线平行 解题准备 平行于同一直线的两条直线互相平行 例1如图 若 a b c 且a b 求证 a b c 分析 利用线面平行的判定定理及性质定理及公理4即可证得 证明 b a a b b 线线平行 则线面平行 b c b c 线面平行 则线线平行 a b c 评析 1 判定定理应用时要注意条件是平面外的一条直线 应用性质定理时注意确保这条直线是经过这条直线的平面与已知平面的交线 条件必须充分满足了才得结论 2 本题证明是 线 线 线 面 线 线 练习1 已知m n l为直线 为平面 有下列四个命题 若m m 则 l n l m n m 则l 则 m n 则m n 其中正确命题的个数是 A 0B 1C 2D 3 解析 若 l 而m l m m 则m m 故 错误 若m n 则l不一定垂直于 故 错误 一个平面垂直两个平行平面中的一个平面 则必垂直另一个平面 故 正确 若 l 而m n 且m l n l 则m n 故 错误 故选B 答案 B 2 若有直线m n和平面 下列四个命题中 正确的是 A 若m n 则m nB 若m n m n 则 C 若 m 则m D 若 m m 则m 解析 如图 1 m n 有m n 但m与n可以相交 故A错 如图 2 m n l l 有m n 故B错 如图 3 l m m l 故C错 故选D 点评 D选项证明如下 设交线为l 在 内作n l 则n m m n n m m 答案 D 类型二 线面平行解题准备 1 证明线面平行的方法 1 依定义采用反证法 2 判定定理法 线线平行 线面平行 3 面面平行的性质定理 面面平行 线面平行 2 应用线面平行判定定理的思路在应用线面平行的判定定理证明线面平行时 要在平面内找 或作 一条直线与已知直线平行 在找 或作 这一条直线时 由线面平行的性质定理知 在平面内和已知直线共面的直线才和已知直线平行 所以要通过平面来找 或作 这一条直线 在应用其他判定定理和性质定理时 要注意充分利用条件构造定理的题设 在分析思路时也要以定理作为指导 例1 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 侧面对角线AB1 BC1上分别有两点E F且B1E C1F 求证 EF 平面ABCD 分析 要证EF 平面ABCD 方法有两种 一是利用线面平行的判定定理 即在平面ABCD内确定EF的平行线 二是利用面面平行的性质定理 即过EF作与平面ABCD平行的平面 证明 方法一 过E作EM AB于M 过F作FN BC于N 连结MN 如图 则EM BB1 FN BB1 EM FN AB1 BC1 B1E C1F AE BF EM FN 四边形EMNF是平行四边形 EF MN 又 EF 平面ABCD MN 平面ABCD EF 平面ABCD 方法二 连结B1F 并延长交BC的延长线于点P 连结AP 如图 BP B1C1 B1FC1 PFB 又 EF 平面ABCD AP 平面ABCD EF 平面ABCD 方法三 过点E作EH BB1于点H 连结FH 如图 B1C1 BC FH BC EH FH H 平面EFH 平面ABCD EF 平面EFH EF 平面ABCD 评析 判断或证明线面平行的常用方法有 1 利用线面平行的定义 无公共点 2 利用线面平行的判定定理 a b a b a 3 利用面面平行的性质定理 a a 4 利用面面平行的性质 a a a a 探究1 如图 已知 P是 ABCD所在平面外一点 M为PB的中点 求证 PD 平面MAC 分析 根据线面平行判定定理知要证线面平行关键是寻找线线平行 证明 连结AC BD相交于O点 连结MO O为BD的中点 M为PB的中点 MO PD 又 MO 平面ACM PD 平面ACM PD 平面MAC 评析 证明线面平行 关键是在平面 内找一条直线b 使a b 如果没有现成的平行线 应根据条件作出平行线 有中点的常作中位线 简称中位线法 例2 如图 直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是梯形 AB CD AD DC CD 2 DD1 AB 1 P Q分别为CC1 C1D1的中点 求证 AC 平面BPQ 解析 考虑到P Q分别是CC1 C1D1的中点 可以知道PQ CD1 这样就可将问题转化 通过证明平面ACD1 平面BPQ来证AC 平面BPQ 即由面面平行证线面平行 连结CD1 AD1 P Q分别是CC1 C1D1的中点 PQ CD1 且CD1 平面BPQ CD1 平面BPQ 又D1Q AB 1 D1Q AB 四边形ABQD1是平行四边形 AD1 BQ 且AD1 平面BPQ AD1 平面BPQ 又AD1 CD1 D1 平面ACD1 平面BPQ AC 平面ACD1 AC 平面BPQ 例 如图所示 平面四边形ABCD的四个顶点A B C D均在平行四边形A B C D 所确定的平面 外 且AA BB CC DD 互相平行 求证 四边形ABCD是平行四边形 证明 四边形A B C D 是平行四边形 A D B C AA BB 且AA A D 是平面AA D D内的两条相交直线 BB B C 是平面BB C C内的两条相交直线 平面AA D D 平面BB C C 又 AD BC分别是平面ABCD与AA D D 平面BB C C的交线 故AD BC 同理可证AB CD 四边形ABCD是平行四边形 练习 如图所示 已知E F分别是正方体ABCD A1B1C1D1棱AA1 CC1上的点且AE C1F 求证 四边形EBFD1是平行四边形 类型三 面面平行的证明方法解题准备 1 证明面面平行的方法除了面面平行的判定定理外 还有 1 如果两个平面垂直于同一条直线 那么这两个平面平行 2 如果两个平面和同一个平面平行 那么这两个平面平行 2 平行问题的转化方向如图所示 注意 1 在平面和平面平行的判定定理中 两条相交直线 中的 相交 两个字不能忽略 否则结论不一定成立 2 若由两个平面平行来推证两条直线平行 则这两条直线必须是这两个平行平面与第三个平面的交线 有时第三个平面需要作出来 例1 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中求证 平面AB1C 平面A1C1D 分析 要证明面AB1C 面A1C1D 根据面面平行的判定定理或推论 只要证明AC 面A1C1D AB1 面A1C1D 且AC AB1 A 即可 评析 证明平面与平面相互平行 一般利用面面平行的判定定理或其推论 将面面平行转化为线面平行或线线平行来证明 具体方法有 1 面面平行的定义 2 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 3 利用垂直于同一条直线的两个平面平行 4 两个平面同时平行于第三个平面 那么这两个平面平行 5 利用 线线平行 线面平行 面面平行 的相互转化 例2 在正方体ABCD A1B1C1D1中 S是B1D1的中点 E F G分别是BC SC和DC的中点 点P在线段FG上 1 求证 平面EFG 平面SDB 2 求证 PE AC 解析 1 E F G分别为BC SC CD的中点 EF SB EG BD EF 平面SBD EG 平面SBD EF 平面SBD EG 平面SBD EG EF E 平面EFG 平面SDB 2 B1B 底面ABCD AC B1B 又 四边形ABCD是正方形 AC BD AC 平面B1BDD1 即AC 平面SBD 又平面EFG 平面SBD AC 平面EFG PE 平面EFG PE AC 练习1 在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 AA1 2 底面是边长为1的正方形 E F G分别是棱B1B D1D DA的中点 1 求证 平面AD1E 平面BGF 2 求证 D1E 平面AEC 证明 1 E F分别是棱BB1 DD1的中点 BE与D1F平行且相等 四边形BED1F为平行四边形 D1E BF 又D1E 平面AD1E BF 平面AD1E BF 平面AD1E 又G是棱DA的中点 GF AD1 又AD1 平面AD1E GF 平面AD1E GF 平面AD1E 又BF GF F 平面AD1E 平面BGF AC BD AC D1D AC 平面BDD1B1 又D1E 平面BDD1B1 AC D1E 又AC AE A D1E 平面AEC 练习2 如图所示 三棱柱ABC A1B1C1 D是BC上一点 且A1B 平面AC1D D1是B1C1的中点 求证 平面A1BD1 平面AC1D 解 连结A1C交AC1于点E 四边形A1ACC1是平行四边形 E是A1C的中点 连结ED A1B 平面AC1D 平面A1BC 平面AC1D ED A1B ED E是A1C的中点 D是BC的中点 又 D1是B1C1的中点 在三棱柱ABC A1B1C1中 BD1 C1D A1D1 AD 又A1D1 BD1 D1 AD C1D D 平面A1BD1 平面AC1D 例3 如图 平面 平面 线段GH与 分别交于A B 线段HF与 分别交于F E 线段GD与 分别交于C D 且GA 9 AB 12 BH 16 S ACF 72 求 BDE的面积 解析 因为 所以AC BD AF BE 所以 FAC与 EBD相等或互补 因为AC BD 故 GAC GBD 解题策略 1 线线平行 线面平行 面面平行的转换2 解答或证明线面 面面平行的有关问题 常常要作辅助线或辅助面 课时作业四十三直线 平面平行的判定及其性质 一 选择题1 基础题 易 下列命题中 是假命题的是 A 三角形的两条边平行于一个平面 则第三边也平行于这个平面B 平面 平面 a 过 内的一点B有唯一的一条直线b 使b aC 分别与 的交线为a b c d 则a b c dD 一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件 解析 D错误 当两平面平行时 则该直线与两个平面成等角 反之 如果一条直线与两个平面成等角 这两个平面可能是相交平面 如图 直线AB与 都成45 角 但 l 答案 D 2 基础题 易 已知 a B 则在 内过点B的所有直线中 A 不一定存在与a平行的直线B 只有两条与a平行的直线C 存在无数条与a平行的直线D 存在唯一一条与a平行的直线 解析 B点与a确定一平面 与 相交 设交线为b 则a b 答案 D 3 基础题 易 对于直线m n和平面 下列命题中的真命题是 A 如果m n m n是异面直线 那么n B 如果m n m n是异面直线 那么n与 相交C 如果m n m n共面 那么m nD 如果m n m n共面 那么m n 解析 A中当n A A m 则有m n是异面直线 故A是错误的 B中n与 可能相交 也可能平行 故B是错误的 C中由线面平行的性质定理可知C是正确的 D中m n可能相交 也可能平行 故D是错误的 答案 C 评析 1 该题主要考查直线和平面的位置关系和空间想象能力 2 n 包括两种情况n 及n与 相交 这是学生常出错的地方 应引起重视 4 基础题 易 如果在两个平面内分别有一条直线 这两条直线互相平行 那么这两个平面的位置关系一定是 A 平行B 相交C 平行或相交D 垂直相交 解析 可根据题意作图 判断之 如图中的 1 2 分别为两个平面平行 相交的情形 答案 C 5 基础题 易 平面 平面 的一个充分条件是 A 存在一条直线a a a B 存在一条直线a a a C 存在两条平行直线a b a b a b D 存在两条异面直线a b a b a b 答案 D 解析 对于选项A 当 两平面相交 直线a平行于交线时 满足要求 故A不对 对于B 两平面 相交 当a在平面 内且a平行于交线时 满足要求 但 与 不平行 对于C 同样在 与 相交 且a b分别在 内且与交线都平行时满足要求 故只有D正确 因为a b异面 故在 内一定有一条直线a 与a平行且与b相交 同样 在 内也一定有一条直线b 与b平行且与a相交 由面面平行判定的推论可知其正确 评析 本题主要考查了面面平行的判定与基本线面知识 6 基础题 易 过平行六面体ABCD A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线 其中与平面DBB1D1平行的直线共有 A 4条B 6条C 8条D 12条 答案 D 解析 如图 在平平六面体ABCD A1B1C1D1中E F G H M N P Q分别为相应棱的中点 容易证明平面EFGH 平面MNPQ均与平面DBB1D1平行 而平面EFGH和平面MNPQ中分别有6条直线 四条边和两条对角线 满足条件 共有12条直线符合要求 二 填空题7 能力题 中 下图中四个正方体图形 A B为正方体的两个顶点 M N P分别为其所在棱的中点 能得出AB 面MNP的图形的序号是 写出所有符合要求的图形序号 解析 1 面AB 面MNP AB 面MNP 2 观察图知AB与面MNP相交 3 易知AB MP AB 面MNP 4 如图所示 过M作MC AB MC 面MNP AB与面MNP不平行 答案 1 3 评析 要有线面平行 先有线线平行 故在面MNP内找出或作出与AB平行的直线 是解决此题的关键 另外有些同学对 4 这样的稍微复杂的图感到无从下手 也可借助向量法解决 8 基础题 易 给出下列关于互不相同的直线l m n和平面 的三个命题 若l与m为异面直线 l m 则 若 l m 则l m 若 l m n l 则m n 其中真命题的序号为 写出所有真命题的序号 解析 由线面关系知 也可能相交 故错 由线面关系知l m还可能异面 三个平面两两相交 由线面平行关系知 m n正确 答案 9 2010 郑州 开放题 易 考察下列三个命题 在 处都缺少一个条件 补上这个条件使其构成真命题 其中l m为直线 为平面 则此条件为 解析 体现的是线面平行的判定定理 缺的条件是 l为平面 外的直线 即 l 它同样也适合 故填l 答案 l 三 解答题10 基础题 易 如图 P为平行四边形ABCD所在平面外一点 M N分别为AB PC的中点 平面PAD 平面PBC l 1 判断BC与l的位置关系 并证明你的结论 2 判断MN与平面PAD的位置关系并证明你的结论 解 1 BC l 证明 四边形ABCD为平行四边形 BC AD 又BC 平面PAD AD 平面PAD BC 平面PAD 又BC 平面PBC 平面PBC 平面PAD l BC l 2 MN