综合法和分析法 (人教A版选修1-2)

直接证明与间接证明 2 2 演绎推理是证明数学结论 建立数学体系的重要思维过程 数学结论 证明思路的发现 主要靠合情推理 复习 例 已知a 0 b 0 求证a b2 c2 b c2 a2 4abc 因为b2 c2 2bc a 0所以a b2 c2 2abc 又因为c2 b2 2bc b 0所以b c2 a2 2abc 因此a b2 c2 b c2 a2 4abc 证明 在数学证明中 我们经常从已知条件和某些数学定义 定理 公理 性质等出发通过推理导出所要的结论 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立 这种证明方法叫做综合法也叫顺推法 用P表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 Q表示所要证明的结论 则综合法用框图表示为 1 综合法 综合法是由一个个推理组成的 特点 由因导果 例 求证 证明 因为都是正数 所以为了证明 只需证明 展开得 即 只需证明21 25 因为21 25成立 所以不等式成立 一般地 从要证明的结论出发 逐步寻求推证过程中 使每一步结论成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 这种证明的方法叫做分析法也叫逆推法 特点 执果索因 用框图表示分析法的思考过程 特点 2 分析法 2 2 1综合法和分析法 学习导航 学习目标 重点难点重点 了解直接证明的两种基本方法 综合法和分析法及其思考过程 特点 难点 对综合法和分析法的思考过程和特点的概括 综合法和分析法 已知条件 定义 公理 定理 推理论证 要证明 充分条件 定理 定义 公理 已知条件 定义 公理 定理 所要证明的结论 想一想1 综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理 提示 综合法与分析法的推理过程是演绎推理 因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理 从而得到的每一个结论都是正确的 不同于合情推理中的 猜想 2 分析法是把所要求证的结论当作已知条件来推理吗 提示 分析法并不是把所要求证的结论当作已知条件来推理 而是寻求使结论成立的充分条件 做一做1 以下命题中正确的是 A 综合法是执果索因的逆推法B 综合法是由因导果的顺推法C 综合法是因果互推的两头凑法D 综合法就是举反例答案 B 解析 选B 从数据来看 宜用分析法 分析基本不等式 a 0 b 0 的证明 证明 要证 只需证 只需证 只需证 因为 成立所以成立 还原成综合法 题型一综合法的应用 名师点评 综合法证明问题的步骤 第一步 分析条件 选择方向 仔细分析题目的已知条件 包括隐含条件 分析已知与结论之间的联系与区别 选择相关的公理 定理 公式 结论 确定恰当的解题方法 第二步 转化条件 组织过程 把题目的已知条件 转化成解题所需的语言 主要是文字 符号 图形三种语言之间的转化 组织过程时要有严密的逻辑 简洁的语言 清晰的思路 第三步 适当调整 回顾反思 解题后回顾解题过程 可对部分步骤进行调整 并对一些语言进行适当的修饰 反思总结解题方法的选取 互动探究1 已知a b c 6 求a2 b2 c2的最小值 题型二分析法的应用 思路点拨 题目条件适合使用分析法证明不等式 只需要注意分析法证明问题的格式即可 名师微博分类讨论是关键 名师微博平时练习时 这一步你想到 做到了吗 名师点评 应用分析法证明问题的模式 若p则q形式 如下 为了证明命题q为真 只需证命题p1为真 从而有 只需证命题p2为真 从而有 只需证明命题p为真 而已知p为真 故q必为真 变式训练 题型三综合法与分析法的应用 ABC的三个内角A B C成等差数列 求证 a b 1 b c 1 3 a b c 1 只需证c b c a a b a b b c 需证c2 a2 ac b2 ABC三个内角A B C成等差数列 B 60 由余弦定理 有b2 c2 a2 2cacos60 即b2 c2 a2 ac c2 a2 ac b2 此式即分析中欲证之等式 即原式得证 法二 ABC三个内角A B C成等差数列 B 60 名师点评 综合法推理清晰 易于书写 分析法从结论入手 易于寻找解题思路 在实际证明命题时 常把分析法与综合法结合起来使用 称为分析 综合法 其结构特点是 根据条件的结构特点去转化结论 得到中间结论Q 根据结论的结构特点去转化条件 得到中间结论P 若由P可推出Q 即可得证 变式训练 1 定义在R上的函数f x 满足f x f x 2 当x 1时 f x 单调递增 如果x1 x2 2且 x1 1 x2 1 0 则f x1 f x2 的值 A 恒小于0B 恒大于0C 可能为0D 可正可负 解析 选B 由f x f x 2 知函数y f x 关于点 1 0 对称 由 x1 1 x2 1 1 则x22 x1 2 x2 由x21 故x1 2 x2 1 f x1 f 2 x2 f 2 x2 f x2 f x1 f x2 即f x1 f x2 0 答案 A B C 3 已知 ABC的三边a b c的倒数成等差数列 试分别用综合法和分析法证明 B为锐角 方法技巧分析法与综合法的优缺点综合法和分析法是直接证明的两种基本方法 两种方法各有优缺点 分析法解题方向较为明确 容易寻找到解题的思路和方法 缺点是思路逆行 叙述较繁 综合法从条件推出结论 较简捷地解决问题 但不便于思考 实际证题时常常两法兼用 先用分析法探索证明途径 然后用综合法有条理地表述解题过程 失误防范1 利用综合法证明问题时 要把产生某结果的具体原因写完整 不可遗漏 另外 要注重对已知条件的分析 利用 2 用分析法书写证明过程时 格式要规范 一般为 欲证 只需证 只需证 由于 显然成立 已知 已证 所以原结论成立 其中的关联词语不能省略 小结 分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法 在数学解题中 分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发 一步一步地探索下去 最后达到题设的已知条件 综