高等数学课件D8_1_2矢量及其线性运算

数量关系 第八章 第一部分矢量代数 第二部分空间解析几何 在三维空间中 空间形式 点 线 面 基本方法 坐标法 矢量法 坐标 方程 组 矢量代数与空间解析几何 四 利用坐标作矢量的线性运算 第一 二节 一 矢量的概念 二 矢量的线性运算 三 空间直角坐标系 五 矢量的模 方向角 投影 机动目录上页下页返回结束 矢量及空间直角坐标系 第八章 表示法 一 矢量的概念 矢量 又称向量 既有大小 又有方向的量称为矢量 有向线段M1M2 或a 机动目录上页下页返回结束 规定 零矢量与任何矢量平行 记作 矢量的模 矢量的大小 表示法 矢量的模 矢量的大小 一 矢量的概念 旧版 矢量 又称向量 既有大小 又有方向的量称为矢量 自由矢量 与起点无关的矢量 单位矢量 模为1的矢量 零矢量 模为0的矢量 有向线段M1M2 或a 机动目录上页下页返回结束 二 矢量的线性运算 1 矢量的加法 三角形法则 平行四边形法则 机动目录上页下页返回结束 2 矢量的减法 三角不等式 二 矢量的线性运算 旧版 1 矢量的加法 三角形法则 平行四边形法则 运算规律 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个矢量相加 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 3 矢量与数的乘法 是一个数 规定 总之 机动目录上页下页返回结束 例1 设M为 解 定理1 设a为非零矢量 则 为唯一实数 取 且 再证数 的唯一性 则 取正号 反向时取负号 机动目录上页下页返回结束 依定义显然成立 向量的单位化 三 空间直角坐标系 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系 坐标原点 坐标轴 x轴 横轴 y轴 纵轴 z轴 竖轴 过空间一定点o 坐标面 卦限 八个 zox面 1 空间直角坐标系的基本概念 机动目录上页下页返回结束 向径 在直角坐标系下 坐标轴上的点P Q R 坐标面上的点A B C 点M 特殊点的坐标 有序数组 称为点M的坐标 原点O 0 0 0 机动目录上页下页返回结束 向径 矢径 起点为原点的矢量 坐标轴 坐标面 机动目录上页下页返回结束 2 矢量的坐标表示 在空间直角坐标系下 设点M 则 沿三个坐标轴方向的分矢量 的坐标为 机动目录上页下页返回结束 四 利用坐标作矢量的线性运算 设 则 平行矢量对应坐标成比例 机动目录上页下页返回结束 已知两点 机动目录上页下页返回结束 B A 以任意两点为起终的向量如何用坐标表达呢 作出A B两点对应的矢径 则 例2 一向量的终点在点B 2 1 7 解 设A x y z 它的矢量坐标表 达为 求起点坐标 例3 已知两点 在AB直线上求一点M 使 解 设M的坐标为 如图所示 及实数 得 即 机动目录上页下页返回结束 说明 由 得定比分点公式 点M为AB的中点 于是得 中点公式 机动目录上页下页返回结束 五 矢量的模 方向角 方向余弦 1 矢量的模与两点间的距离公式 则有 由勾股定理得 因 得两点间的距离公式 对两点 与 机动目录上页下页返回结束 例4 求证以 证 即 为等腰三角形 的三角形是等腰三角形 为顶点 机动目录上页下页返回结束 例5 在z轴上求与两点 等距 解 设该点为 解得 故所求点为 及 思考 1 如何求在xoy面上与A B等距离之点的轨迹方程 2 如何求在空间与A B等距离之点的轨迹方程 离的点 机动目录上页下页返回结束 提示 1 设动点为 利用 得 2 设动点为 利用 得 且 例6 已知两点 和 解 求 机动目录上页下页返回结束 2 方向角与方向余弦 设有两非零矢量 任取空间一点O 称 AOB 0 为矢量 的夹角 类似可定义矢量与轴 轴与轴的夹角 与三坐标轴的夹角 为其方向角 方向角的余弦称为其方向余弦 机动目录上页下页返回结束 方向余弦的性质 机动目录上页下页返回结束 例7 已知两点 和 的模 方向余弦和方向角 解 计算矢量 机动目录上页下页返回结束 例8 设点A位于第一卦限 解 已知 角依次为 求点A的坐标 则 因点A在第一卦限 故 于是 故点A的坐标为 向径OA与x轴y轴的夹 第二节目录上页下页返回结束 参考题 解 因 1 设 求矢量 在x轴上的投影及在y 轴上的分矢量 在y轴上的