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浅谈函数单调性的活用四川省南部县建兴中学 张 伦（637335）函数的单调性是函数的一个重要性质。在历年高考试题中经常涉及到它的灵活运用，因此应引起重视。具体解题时要注意通过变形、观察表达式的内在结构特点，有意识地利用单调性进行思考分析，常能获得简捷、直观的解法。以下归类举例加以说明。一、求参数的取值范围例1 已知函数 在区间上是增函数，求实数的范围。解：令=.因为，所以要使在上是增函数，只要在上是减函数，且0借助二次函数的图象，有 解得：评注：依函数的的单调性得到关于的不等式组是解决本题的关键。二、证明等式、不等式例2：已知是方程的一个根，是方程的一个根，求证：+=3证明：构造函数，易知在R上是增函数。又由题设，得， ， 评注：（1）若是单调函数，则； （2）若函数在R上是增函数，是方程的一个根，是方程的一个根，则+=三、解方程、不等式例3：解不等式：解：设函数 易知其定义域为，且在其定义域上是增函数 又，从而即 故原不等式的解集为四、求值域和最值例4：求函数的值域。分析：去分母，整理成关于的二次方程，问题转化为方程在区间上存在实数解的充要条件问题，借助二次函数的图象（如图），不难解决。也可以应用函数的单调性。解法1：将原函数表达式变形为方程 ,所以方程的图象的对称轴在区间的右方,方程在上有实数解的充要条件为 解得所求函数的值域为 解法2：先证明函数在区间上是单调减函数，设。则 ，即在上为减函数，在区间上评注：此题容易产生的错误是，不善于将函数与方程相互转化，不善于根据函数的单调性去求最值。解法一的思路，容易误认为方程有两实数根（实际上是区间上有实根即可）；解法二的思路，有的同学直接运用不等式定理，忽略了取等号的条件不在给定的区间内。此外此题也体现了函数与方程的转化思想。解法一的特点是，确定抛物线的对称轴的位置，从而大大简化了计算过程；解法二的特点是，当时，其取等号的条件为，从而判定在区间上为减函数，再根据单调性的定义进行证明。形如，单调区间判定方法与此相同。例5 已知函数的定义域是R，对任意的,都有，且时，试判断在上，是否有最大值或最小值？如果有求出最大值或最小值，如果没有，说明理由。分析：这是一道抽象函数求最值问题，首先研究函数的奇偶性和单调性。解：令，则，。令，则， 是奇函数设，且，则，在R上是减函数又， ，在上，是减函数，存在最大值和最小值，当；
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