数理统计中几种常用的分布

1 标准正态分布2 2分布3 t分布4 F分布 6 2数理统计中常用的分布 正态总体是最常见的总体 本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言 设X N 0 1 对任给的 0 1 称满足条件 1 标准正态分布 的点z 为标准正态分布的上 分位点 z 定义 例1求z0 05 解 P X z0 05 1 P X z0 05 1 0 05 0 95 P X 1 64 0 9495P X 1 65 0 9505 z0 05 1 64 1 65 2 1 645 公式 z 1 常用数字 设Xi N 0 1 i 1 2 n 且它们相互独立 则称随机变量 2 2分布 定义 服从自由度为n的 2分布 记为 2 2 n 2分布最常用的是拟合优度检验 5 一般 其中 在x 0时收敛 称为 函数 具有性质 6 10设Y1 2 m Y2 2 n 且Y1 Y2相互独立 2分布的基本性质 则 2分布的可加性 Y1 Y2 20若Y 2 n 则 n 2n EYDY 1 3 30设X1 Xn相互独立 且都服从正态分布N 2 40若Y 2分布 近似服从N 0 1 应用中心极限定理可得 则 则当n充分大时 设 2 2 n 其密度函数为f x 对于给定的正数 0 1 称满足条件 的点 2 n 为 2 n 分布的上 分位点 2分布的上 分位点 当n充分大时 例2 练习九 五 设X N 2 X1 X2 X16 是取自总体X的样本 求概率 解 X1 X2 X16相互独立 且 0 95 0 01 0 94 10 例3设总体 的样本 为总体X 解 故 因此 设X N 0 1 Y 2 n 且X与Y相互独立 则称随机变量 3t分布 定义 服从自由度为n的t分布 记为T t n T的密度函数为 t分布的上 分位点 设T t n 其密度函数为f t 对于给定的正数 0 1 称满足条件 的点t n 为t分布的上 分位点 t n t分布的性质 1 其密度函数f t 是偶函数 3 f t 的极限为N 0 1 的密度函数 即 2 t1 n t n 当n 45时 t n z 14 且X N 2 1 Yi N 0 4 i 1 2 3 4 设X Y1 Y2 Y3 Y4相互独立 例4 令 解 X 2 N 0 1 i 1 2 3 4 t 4 即Z服从自由度为4的t分布 求Z的分布 由t分布的定义 Yi 2 N 0 1 15 题设随机变量X与Y相互独立 X N 0 16 Y N 0 9 X1 X2 X9与Y1 Y2 Y16分别是取自X与Y的简单随机样本 求统计量 所服从的分布 解 16 从而 17 t分布用于在小样本场合下的正态分布 大样本场合下可以用正态分布来近似 有时候在信息不足的情况下 只能用t分布 比如在整体方差不知的情况下 对总体均值的估计和检验通常要用t统计量 18 记作F F m n 由F分布的定义可见 若F F m n 定义 设随机变量X与Y独立 所服从的分布为第一自由度为m 第二自由度为n的F分布 4 F分布 则F的概率密度为 则称统计量 其图形参见172 F分布多用于比例的估计和检验 F分布的上 分位点 设F F m n 其密度函数为f x 对于给定的正数 0 1 称满足条件 的点F m n 为F分布的上 分位点 F m n F分布的性质 1 若F F m n 则 2 1 P F F1 m n 3 若X t n 则X2 F 1 n 21 例5设F F 24 15 求F1 F2 F3 使其分别满足 解 1 由m 24 n 15 0 025 查P342附表7知 2 无法直接查表获得 但 由F分布性质知 3 F3 F0 95 24 15 查表可知 F1 F0 025 24 15 2 70 F2 1 2 44 0 41 由 式知 P F F1 0 025 P FF3 0