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解析函数创新题的求解策略陈千勇1、“凹凸”函数（1）任取，且，若成立，则称函数f(x)为凸函数。（2）任取，且，若，则称函数f(x)为凹函数。例1. 如图所示，是定义在0，1上的四个函数，其中满足性质：“对0，1中的任意的和，任意恒成立”的只有（ ）A. B. C. D. 分析：取特殊值，因为，令，则条件不等式变为由函数图象的凹凸性，知选A。2、“替代”与“接近”例2. 已知f(x)、g(x)是定义在a，b上的函数，若对任意，总有，则称f(x)可被g(x)替代，试判断函数能否被替代，并说明理由。分析：由替代的定义知，若可被替代，则在上恒成立，即在上恒成立，从而问题转化为求函数在上的最值。令，则，可知所以因为所以不能被g(x)替代。例3. 对于在m，n上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对于任意的，均有，则称f(x)与g(x)在m，n上是接近的，否则称f(x)与g(x)在m，n上是非接近的。现有两个函数与，给定区间a2，a3。（1）若f(x)与g(x)在给定区间a2，a3上都有意义，求a的范围；（2）判断f(x)与g(x)在给定区间a2，a3上是否接近？解：（1）由题意得解得（2）在a2，a3上恒成立在a2，a3上恒成立在a2，a3上恒成立，令，从而问题转化为求函数h(x)在a2，a3上的最值。因为h(x)的对称轴为所以h(x)在区间a2，a3上为增函数，由题意有解得综上所述，当时，f(x)与g(x)在区间a2，a3上是接近的；当时，f(x)与g(x)在区间a2，a3上是非接近的。3、“闭”函数例4. 若函数同时满足以下条件：它在定义域D上是单调递增或递减函数；存在区间，使得f(x)在区间a，b上值域是a，b。我们将这样的函数称作闭函数。（1）已知函数是闭函数，试求区间a，b中a，b的值（其中）；（2）求使得函数是闭函数的常数k的取值范围。解：（1）函数在上单调递减，则解得或0。又因为，所以（2）函数在上单调递增，如果它是闭函数，则存在两个不相等的常数a，b使得成立，即关于x的方程有两个不等的实根，所以令则问题转化为直线与曲线有两个不同的交点，由图象知4、函数的“不动点”例5. 对于函数f(x)，若存在，使得成立，则称为f(x)的不动点，已知函数（1）当时，求函数f(x)的不动点；（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）在（2）条件下，若图象上的A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B两点关于直线对称，求b 的最小值。解：（1）当时，由题意有解得或故当时，f(x)的两个不动点为1，3。（2）因为恒有两个不动点，所以即恒有两个相异的实数根，得恒成立，于是解得所以当恒有两个相异的不动点时，a的取值范围是（3）由题意，A、B两点应在直线上。设AB的中点为因为A、B关于直线
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