第-6-章-圆轴扭转-14..ppt

当作用面相互平行的两个力偶Me作用在两个横截面时 杆件横截面将绕其轴相互转动 这种形变称为扭转 第6章圆轴扭转 受扭转变形杆件通常为轴类零件 其横截面大都是圆形的 所以本章主要介绍圆轴扭转 第6章圆轴扭转 6 1工程上传递功率的圆轴及其扭转变形 6 2扭矩与扭矩图 6 3切应力互等定理 6 4圆轴扭转时的切应力分析 第6章圆轴扭转 6 5圆轴扭转时的强度与刚度计算 6 6结论与讨论 6 1工程上传递功率的圆轴及其扭转变形 第6章圆轴扭转 6 1 1外加扭转力偶矩与功率 转速之间的关系 外力偶矩与功率和转速的关系 电机每秒输入功 外力偶单位时间作功 已知 电机输出功率 P Kw 传动轴转速 n r min 求 传动轴力偶矩Me 国际单位制 采用工程单位制 6 1 1外加扭转力偶矩与功率 转速之间的关系 外力偶矩与功率和转速的关系 1马力 735 5W 若功率单位为马力时 经过单位换算可得到 工程单位制 1 在圆轴的外表面上纵向作平行直线 2 在圆轴的外表面上横向作平行圆周线 a b c d 3 在圆轴两端加静载外力偶矩M 观察微元变形 6 1 2扭转变形 abcd a b c d 提出假设 注 ac bd为两横截面 横截面为一刚性平面 在外力偶矩作用下绕轴转过一定的角度 仍维持为圆截面 平面假定 6 1 2扭转变形 轴向无伸缩 横截面上同一圆周上所有的点绕轴心转过相同的角度 纵向线变形后仍为平行直线 6 1 2扭转变形 受力特征 外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直 变形特征 横截面以轴线作相对旋转 平面假说 纵向线倾斜一角度 称为剪切角 或称剪应变 横截面绕杆轴线发生的相对角位移 称为扭转角 作用面垂直于轴的外力偶称为扭力偶 其力矩为扭力偶矩 圆轴受扭时 其横截面上的内力偶矩称为扭矩 用符号Mx表示 Me Mx 取右段为研究对象 取左段为研究对象 6 2截面法确定圆轴横截面上的扭矩 6 2 1截面法 6 2 2扭矩的正负号规则 右手四指代表扭矩旋转方向 大拇指代表其矢量方向 若扭住矢量方向与截面外法线方向相同 则扭矩为正 反之为负 右手螺旋法则判断 6 2 3扭矩图 扭矩图 表示圆轴各横截面扭矩沿轴线变化的图形 4 6 已知 MA 1170N mMB MC 351N mMD 468N m求 作扭矩图 MIx MB 351N m M x MB MC 351 351 702N m M x MD 468N m 2 作扭矩图 351 702 468 设正的扭矩 例题6 1 6 2 3扭矩图 解 1 计算各段扭矩 结论 横截面上扭矩在数值上等于截面左侧或右侧轴段上外力偶矩的代数和 取左侧段 向里的外力偶矩取正 向外的外力偶矩取负 取右侧段 向外的外力偶矩取正 向里的外力偶矩取负 取左向里 取右向外 扭矩为正 向里 转向朝自己 向外 背离自己 6 2 3扭矩图 计算各段扭矩 已知 MA 2KN mMB 3 5KN mMC 1 0KN mMD 0 5KN m试画出扭矩图 例题6 2 6 2 3扭矩图 圆轴扭转时横截面和纵截面上有切应力 且均发生了切应变 6 3切应力互等定理 从圆轴内截取的一微小正六面体 微元体受力分析 得 6 3切应力互等定理 总结 相互垂直的两个面上 切应力总是成对出现且大小相等 方向同时指向或同时背离两个面的交线 6 3切应力互等定理 6 4 1平面假定 圆轴受扭变形特点 6 4圆轴扭转时的切应力分析 3 横截面变形后仍为平面 等直圆杆扭转实验观察 4 横截面上同一圆周所有点绕轴心转过相同角度 1 轴向无伸缩 2 纵向线变形后仍为平行直线 平面假设 变形前后横截面仍为平面 它像刚性平面一样仅绕轴线作相对旋转 Me Me 定性分析横截面上的应力 1 2 同一圆周上剪应变相同 所以同一圆周上切应力大小相等 方向垂直于其半径方向且与扭矩的转向一致 6 4 1平面假定 6 4圆轴扭转时的切应力分析 已知扭矩求切应力 需要研究变形才能解决 圆轴扭矩的静力学方程 变形 应变分布 应力分布 应力公式 思路 如何已知扭矩求切应力 Me Me 6 4 2变形协调方程 圆轴扭转时的变形协调方程 6 4 2变形协调方程 同一截面上 选择了参考面后 相同 6 4 3弹性范围内的切应力 切应变关系 物理关系 切应力沿半径线性分布 轴心处为零 外边缘处最大 弹性范围内 规定非比例扭转应力 6 4 4静力学关系 记 IP称极惯性矩 单位 m4 上式代入 单位长度相对扭转角 6 4 4静力学关系 扭转切应力 6 4 5圆轴扭转时横截面上的切应力表达式 当 max 式中 Wp称抗扭截面系数 单位 m3 6 4 5圆轴扭转时横截面上的切应力表达式 截面的极惯性矩 Ip 与扭转截面系数 Wp 对于直径为d的实心圆截面 6 4 5圆轴扭转时横截面上的切应力表达式 对于内 外直径分别为d和D圆环截面 截面的极惯性矩 Ip 与扭转截面系数 Wp 6 4 5圆轴扭转时横截面上的切应力表达式 结论 圆轴扭转时 横截面上任一点剪应力和剪应变与该点极坐标呈比例 横截面外圆周上点的剪应力和剪应变最大 横截面最大剪应力与横截面的抗扭截面系数成反比 横截面扭转变形 单位长度扭转角 与横截面的扭转刚度成反比 小结 实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器相连 并传递功率 如图 已知 P 7 5kW n 100r min 最大切应力不超过40MPa 若空心圆轴内外直径之比 0 5 且二轴长度相同 求 实心轴直径d1和空心轴外直径D2的极值 确定二轴重量比 例题6 3 解 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩 实心轴表面最大切应力 空心轴表面最大切应力 由a 0 5 推得d2 23mm 长度相同时 确定实心轴与空心轴的重量之比 空心轴 D2 46mm d2 23mm 实心轴 d1 45mm 长度相同时 二轴重量之比即为横截面面积之比 例题6 4 如图中传动机构 功率P1由从轮B输入 并分别向C轴及H轴各输出一半 已知 P1 14kW 水平轴 E H 转数n1 n2 120r min 锥齿轮A和D齿数分别为z1 36 z3 12 d1 70mm d2 50mm d3 35mm 求 各轴横截面上的最大剪应力 P1 14kW P2 P3 P1 2 7kW n1 n2 120r min 解 计算各轴的功率与转速 Mx1 Me1 1114N m Mx2 Me1 557N m Mx3 Me1 185 7N m 解 计算各轴的扭矩 解 计算各轴的横截面上的最大剪应力 6 5 1圆轴扭转实验与破坏现象 6 5圆轴扭转时的强度与刚度计算 为测定材料扭转时的力学性能 需将材料制成扭转试样并在扭转试验机上进行相关试验 截面直径d0 10mm 标距l0 100mm或50mm 试验机自动绘图装置可把M 曲线同步记录下来 3 由公式计算出材料的切边模量G 2 根据试件标距尺寸及百分表读数ai 计算出同一标距所确定两横截面的相对扭转角增量 h为百分表顶针到轴线距离 6 5 1圆轴扭转实验与破坏现象 计算受扭材料的切变模量G 1 由试验加载装置结构 尺寸及加载力 可求出圆轴的扭矩增量 Mx 扭转的应力状态 图扭转试样的应力和应变示意图 弹性变形阶段 切应力和切应变沿半径方向呈线性分布 弹塑性变形段 切应变保持线性关系 切应力呈非线性变化 扭转时试样表面应力状态如图所示 扭转试样表面与轴线平行或垂直方向上承受 max 与轴线呈45 方向上承受 max 因此 试样断口角度直接显示材料断裂是拉断还是剪断 6 5 1圆轴扭转实验与破坏现象 6 5 1圆轴扭转实验与破坏现象 韧性材料扭转实验与破坏现象 脆性材料扭转实验与破坏现象 低碳钢韧性材料扭转破坏时 其试样断口最后沿横截面剪断 断口比较光滑 平整 铸铁脆性材料试样扭转破坏时 其试样断口沿45 螺旋面断开 断口呈细小颗粒状 试样装在试验机上 受到扭矩M作用 试样产生扭转变形 即扭转角 两者之间的关系如图所示 低碳钢 铸铁扭转曲线 低碳钢 仍然有弹性阶段 屈服阶段和强化阶段 铸铁 直线部分不明显 且无屈服变形 6 5 2圆轴扭转力学性能 强度条件 6 5 3圆轴扭转强度计算 脆性材料 韧性材料 脆性材料 韧性材料 许用切应力 与拉伸许用正应力 之间的关系 等截面圆轴 许用切应力 2 设计截面尺寸 3 确定外荷载 1 校核强度 强度条件应用 6 5 3圆轴扭转强度计算 已知 汽车发动机将功率通过主传动轴AB传给后桥 驱动车轮行驶 设主传动轴所承受的最大外力偶矩为Me 1 5kN m 轴由45号钢无缝钢管制成 外直径D 90mm 壁厚 2 5mm 60Mpa 例题6 5 试 1 试校核主传动轴强度 2 若改用实心轴 在具有与空心轴相同最大剪应力的前提下 试确定实心轴的直径 3 确定空心轴与实心轴的重量比 解 1 校核空心轴的强度 根据已知条件 主传动轴横截面上的扭矩Mx Me 1 5kN m 轴的内直径与外直径之比 轴只在两端承受外加力偶 即轴各横截面危险程度相同 其横截面上的最大剪应力均为 由此可以得出结论 主传动轴的强度是安全的 解 2 确定实心轴的直径 根据实心轴与空心轴具有同样数值的最大剪应力的要求 实心轴横截面上的最大剪应力也必须等于50 9MPa 若设实心轴直径为d1 则有 据此 实心轴的直径 解 3 计算空心轴与实心轴的重量比 若二者长度相等 材料相同 重量比即为横截面的面积比 即 上述结果表明 空心轴远比实心轴轻 即采用空心圆轴比采用实心圆轴合理 解 4 本例讨论 由于圆轴扭转时横截面上的剪应力沿半径方向线性分布 截面中心附近区域的剪应力比截面边缘各点的剪应力小得多 当最大剪应力达到许剪应力时 中心附近的剪应力远小于许剪应力值 将受扭杆件做成空心圆轴 使得横截面中心附近的材料得到充分利用 小结 直径为d的实心圆截面 内 外直径分别为d和D圆环截面 6 5 4圆轴扭转刚度计算 扭转变形与内力计算式 对扭矩不变的等直轴 GIp称为扭转刚度 圆轴扭转变形 l1 M3 C B 各段扭矩为不同值的阶梯轴 M1 M2 l2 A 圆轴扭转变形 轴长度方向上的总扭转角为各部分扭转角的代数和 6 5 4圆轴扭转刚度计算 单位长度上的相对扭转角 d dx 限制在允许的范围内 即构件须满足刚度设计准则 圆轴扭转刚度条件 单位长度的扭转角 1 刚度条件 等截面圆轴 单位长度的扭转角 6 5 4圆轴扭转刚度计算 2 刚度条件的应用 校核刚度 确定外荷载 设计截面尺寸 圆轴扭转刚度条件 已知 阶梯圆轴直径d1 100mm d2 60mm 60MPa 1 m G 80GPa 试校核构件强度 刚度 2 校核强度 10 3 例题6 7 解 1 内力分析 求解转矩Mx1 10kN m Mx2 3kN m作扭矩图 结论 强度 刚度都不满足要求 3 校核刚度 已知 MA 7024N mMB 2810N mMC 4214N m 70MPa 1 mG 80GPa 求 AB和BC段最小直径 例题6 7 解 1 内力分析Mx1 MA 7024N mMx2 MC 4214N m作扭矩图 计算各段直径AB段 由扭转强度条件 得 由刚度条件 得 即取d1 84 6mm BC段 由强度条件 d2 67mm由刚度条件 d2 74 5mm 同理 以BC段为研究对象 即取d2 74 5mm 已知 MA 180N m MB 320N m MC 140N m Ip 3 105mm4 l 2m G 80GPa 0 5 m 试求轴扭转角 AC及校核轴的刚度 解 1 变形分析 例题6 8 2 刚度校核 即 轴的刚度足够 已知 结论与讨论 关于圆轴强度与刚度设计 矩形截面杆扭转时的剪应力 关于公式的应用条件 1 当B C两点剪应力分别达到 s时 其横截面上扭转切应力怎样分布 2 A点的剪应力怎样确定 结论与讨论 关于公式的应用条件 现象 扭转后 横截面将不再保持平面 出现翘曲现象 非圆轴截面扭转时的剪应力 结论与讨论 矩形截面轴扭转 圆轴平面假设不适用于非圆截面轴 试验现象 横截面翘曲 角点处g为零 侧面中点处g最大 应力分布特点 横截面上角点处 切应力为零 横截面边缘各点处 切应力 截面周边 横截面周边