材料力学弯曲强度

第五章弯曲强度 材料力学 5 1纯弯曲及其变形 5 2纯弯曲时梁横截面上的正应力 5 3横力弯曲时梁横截面上的正应力弯曲正应力强度条件 5 7提高梁弯曲强度的主要措施 5 1纯弯曲及其变形 弯曲构件横截面上的 内力 应力 内力 某段梁的内力只有弯矩没有剪力时 该段梁的变形称为纯弯曲 纯弯曲 PureBending 5 1纯弯曲及其变形 5 2纯弯曲时梁横截面上的正应力 一 纯弯曲时梁横截面上的正应力 1 梁的纯弯曲实验 横向线 mm nn 变形后仍为直线 但有相对转动 仍垂直于梁变形后的轴线 一 变形几何关系 纵向线 aa bb 变为曲线 且上缩下伸 横向线与纵向线变形后仍正交 5 2纯弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲变形与受力的假设 平面假设 梁的横截面在梁弯曲变形后仍保持为平面 且仍与变形后的梁轴线垂直 梁的纵向纤维为单向应力状态 互无挤压 横截面上只有正应力 5 2纯弯曲时梁横截面上的正应力 中性层 梁内一层纤维既不伸长也不缩短 因而纤维不受拉应力和压应力 此层纤维称中性层 中性轴 中性层与横截面的交线 5 2纯弯曲时梁横截面上的正应力 2 变形几何关系 取一微段dx 5 2纯弯曲时梁横截面上的正应力 二 物理关系 5 2纯弯曲时梁横截面上的正应力 三 静力学关系 中性轴z必通过横截面形心 5 2纯弯曲时梁横截面上的正应力 y轴和z轴是横截面的主形心轴 其中EIz表征杆件抵抗弯曲变形的能力 称为抗弯刚度 5 2纯弯曲时梁横截面上的正应力 由该式可知横截面上各点正应力大小与各点到中性轴的距离成正比 中性轴上各点正应力为零 离中性轴最远点正应力最大 上述分析是在平面假设下建立的 对于横力弯曲 由于横截面上还有剪力 变形后截面会发生翘曲 平面假设不再成立 当截面尺寸与梁的跨度相比很小时 翘曲很小 仍可按平面假设分析 上面公式仍可使用 5 2纯弯曲时梁横截面上的正应力 例 长为的矩形截面梁 在自由端作用一集中力F 已知h 0 18m b 0 12m y 0 06m a 2m F 1 5kN 试求C截面上K点的正应力 解 C截面的弯矩 截面对中性轴的惯性矩 代入应力公式 拉应力 5 2纯弯曲时梁横截面上的正应力 5 3弯曲正应力强度条件 梁某截面上的最大正应力 Wz称为抗弯截面模量反映截面形状和尺寸对弯曲强度的影响 单位 m3 等截面梁的最大正应力 矩形截面 圆形截面 环形截面 5 3弯曲正应力强度条件 梁要安全工作 必须满足正应力强度条件 正应力强度条件 对于等截面梁 根据强度条件可进行下述工程计算 强度校核 设计截面尺寸 确定容许荷载 5 3弯曲正应力强度条件 例 一矩形截面的简支木梁 梁上作用有均布载荷 已知 l 4m b 140mm h 210mm q 3kN m 弯曲时木材的许用正应力 10MPa 试校核该梁的强度 解 画出梁的弯矩图 满足强度条件 5 3弯曲正应力强度条件 例 针对上题 试求梁能承受的最大载荷qmax 解 由强度条件 5 3弯曲正应力强度条件 例 简支梁上作用两个集中力 已知 l 6m F1 15kN F2 21kN 如果梁采用热轧普通工字钢 钢的许用应力 170MPa 试选择工字钢的型号 解 画出梁的弯矩图 选择20a工字钢 5 3弯曲正应力强度条件 例 一T形截面的外伸梁如图所示 已知 l 0 6m a 40mm b 30mm c 80mm F1 24kN F2 9kN 材料的许用拉应力 t 30MPa 许用压应力 c 90MPa 试校核梁的强度 解 画出梁的弯矩图 M图 5 3弯曲正应力强度条件 校核应力 5 3弯曲正应力强度条件 C截面 上压下拉 B截面 上拉下压 5 3弯曲正应力强度条件 综上 满足强度要求 5 3弯曲正应力强度条件 5 7提高梁弯曲强度的主要措施 梁的设计主要依据正应力强度条件 即 可从降低最大弯矩Mmax和增大抗弯截面模量Wz来考虑提高梁的强度 一 降低梁的最大弯矩 a 合理布置梁的最大弯矩 Fl 8 M图 5 7提高梁弯曲强度的主要措施 b 合理改变支座位置 通过改善梁的受力情况 以降低梁的最大弯矩 从而提高梁的正应力强度 5 7提高梁弯曲强度的主要措施 二 梁合理的截面形状 梁的抗弯截面模量Wz与截面尺寸和形状有关 截面面积相同的情况下 Wz越大截面形状越合理 下面对矩形 方形 圆形截面加以比较 5 7提高梁弯曲强度的主要措施 矩形截面比方形截面好 方形截面比圆形截面好 5 7提高梁弯曲强度的主要措施 以矩形截面梁为例 横截面的正应力沿截面高度线性分布 当上下边缘的应力达到容许应力时 中性轴附近材料远比容许应力 没能充分发挥材料作用 若将这部分材料移到离中性轴较远处 就可极大地提高梁的承载能力 故工字形截面 槽形截面 T形截面均比矩形截面好 5 7提高梁弯曲强度的主要措施 对于等截面梁 按强度条件只有Mmax截面上的最大正应力才达到 而其它截面上的最大正应力均没达到 三 变截面梁 若采用变截面梁 使各截面上的最大正应力同时达到 此梁工程上称为等强度梁 5 7提高梁弯曲强度的主要措施 变截面梁 5 7提高梁弯曲强度的主要措施 5 4矩形截面梁的切应力 切应力分布和方向假设 切应力与剪力方向平行 矩中性轴等距离处 切应力相等 切应力沿横截面宽度均匀分布 5 4矩形截面梁的切应力 平衡条件 研究方法 分离体平衡 5 4矩形截面梁的切应力 面积A 对横截面中性轴的静矩 A 为横截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积 5 4矩形截面梁的切应力 为截面求应力那点到截面边缘所围面积对中性轴的静矩 A max 由上式可知 横截面各点切应力是各点坐标y的2次函数 切应力的大小沿截面高度呈抛物线分布 中性轴上切应力最大 上下边缘切应力为零 5 4矩形截面梁的切应力 例 一矩形截面简支梁如图所示 已知l 3m h 160mm b 100mm h1 40mm F 3kN 试求m m截面上K点的切应力 解 m m截面的剪力 截面对中性轴的惯性矩 拉应力 K点的切应力 5 4梁的切应力强度条件 梁要安全工作 必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件 对于梁的某一截面 对于整个梁 5 4梁的切应力强度条件 简单截面的最大切应力可用简化公式计算 即 5 4梁的切应力强度条件 需要校核剪应力的几种特殊情况 铆接或焊接的组合截面 其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时 要校核腹板的切应力 梁的跨度较短 M较小 而FS较大时 要校核切应力 各向异性材料 如木材 的抗剪能力较差