高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.1数学归纳法课后导练新人教选修.docx

4.1 数学归纳法课后导练基础达标1设f(n)=(nN*），那么f(n+1)-f(n)等于( )A. B.C.+ D.-解析:f(n+1)-f(n)=答案:D2若把正整数按下图所示的规律排序,则从2002到2004年的箭头方向依次为( )A. B. C. D.解析:2 002=4500+2,而an=4n是每一个下边不封闭的正方形左,上顶点的数.答案:D3凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形有对角线条数f(n+1)为( )A.f(n)+n+1 B.f(n)+nC.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2解析:由n边形到n+1边形,增加的对角线是增加的一个顶点到原n-2个顶点连成的n-2条对角线,及原先的一条边成了对角线.答案:C4用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)”,从“k到k+1”左端需增乘的代数式为( )A.2k+1 B.2(2k+1)C. D.解析:当n=1时,显然成立.当n=k时,左边=(k+1)(k+2)(k+k),当n=k+1时,左边=(k+1+1)(k+1+2)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+1)(k+2)(k+k)=(k+1)(k+2)(k+k)2(2k+1).答案:B5根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图形中有_个点.解析:观察图形点分布的变化规律,发现第一个图形只有一个中心点;第二个图形中除中心外还有两边,每边一个点;第三个图形中除中心点外还有三个边,每边两个点;依次类推,第n个图形中除中心外有n条边,每边n-1个点,故第n个图形中点的个数为n(n-1)+1.答案:n2-n+1综合运用6如果命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+1也成立,现已知P(n)对n=4不成立,则下列结论正确的是( )A.P(n)对nN*成立B.P(n)对n4且nN*成立C.P(n)对n4且nN*成立D.P(n)对n4且nN*不成立解析:由题意,可知P(n)对n=3不成立(否则n=4也成立).同理,可推得P(n)对n=2,n=1也不成立.答案:D7用数学归纳法证明“1+1)”时,由n=k(k1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是( )A.2k-1 B.2k-1C.2k D.2k+1解析:左边的特点:分母逐渐增加1,末项为;由n=k,末项为到n=k+1,末项为=,应增加的项数为2k.答案:C8观察下表:12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10设第n行的各数之和为Sn,则=_.解析:第一行1=12,第二行2+3+4=9=32,第三行3+4+5+6+7=25=52,第四行4+5+6+7+8+9+10=49=72.归纳:第n项的各数之和Sn=(2n-1)2,=4.答案:49已知y=f(x)满足f(n-1)=f(n)-lgan-1(n2,nN)且f(1)=-lga,是否存在实数,使f(n)=(n2+n-1)lga对任何nN*都成立,证明你的结论.解析:f(n)=f(n-1)+lgan-1,令n=2,则f(2)=f(1)+lga=-lga+lga=0.又f(1)=-lga,f(n)=(n2-n-1)lga.证明如下:(1)当n=1时,显然成立.(2)假设n=k时成立,即f(k)=(k2-k-1)lga,则n=k+1时,f(k+1)=f(k)+lgak=f(k)+klga=(k2-k-1+k)lga=(k+1)2-(k+1)-1lga.当n=k+1时,等式成立.综合(1)(2),可知存在实数,且=,=-,使f(n)=(n2+n-1)lga对任意nN*都成立.拓展探究10是否存在常数a,b,c使等式1(n2-12)+2(n2-22)+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n成立?证明你的结论.思路分析:先取n=1,2,3探求a,b,c的值,然后用数学归纳法证明对一切nN*,a,b,c所确定的等式都成立.解:分别用n=1,2,3代入解方程组下面用数学归纳法证明.(1)当n=1时,由上可知等式成立;(2)假设当n=k时,等式成立,则当n=k+1时,左边=1(k+1)2-12+2(k+1)2-22+k(k+1)2-k2+(k+1)(k+1)2-(k+1)2=1(k2-12)+2(k2-22)+k(k2-k2)+1(2k+1)+2(2k+1)+k(2k+1)=k4+(-)k2+(2k+1)+2(2k+1)+k(2k+1)=(k+1)4-(k+1)2.当n=k+1时,等式成立.由(1)(2)得等式对一切的nN*均成立.备选习题11如图,第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来(n=1,2,3,),则第n-2个图形中共有_个顶点.解析:观察规律,第一个图形有32+3=(1+2)2+(1+2);第二个图形有(2+2)2+(2+2)=42+4;第三个图形有(3+2)2+(3+2)=52+5;第n-2个图形有(n+2-2)2+(n+2-2)=n2+n个顶点.答案:n2+n12下面四个判断中,正确的是( )A.式子1+k+k2+kn(nN),当n=1时恒为1B.式子1+k+k2+kn-1(nN),当n=1时恒为1+kC.式子+(nN),当n=1时恒为1+D.设f(x)=(nN),则f(k+1)=f(k)+答案:C13若nN,求证:xn+1+(x+1)2n-1能被x2+x+1整除.证明:(1)当n=1时,命题显然成立.(2)设当n=k时,xk+1+(x+1)2k-1能被x2+x+1整除.法1:(添项)当n=k+1时,xk+2+(x+1)2k+1=(x+1)2(x+1)2k-1+xk+2+(x+1)2xk+1-(x+1)2xk+1=(x+1)2(x+1)2k-1+xk+1-(x2+x+1)xk+1,而上面各项都能被x2+x+1整除,即n=k+1时成立.法2:(拆项)当n=k+1时xk+2+(x+1)2k+1=(x+1)2(x+1)2k-1+xk+2=(x2+x+1)(x+1)2k-1+x(x+1)2k-1+xk+1,以上各项都能被x2+x+1整除,即n=k+1时成立.由(1)(2)命题得证.14用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”时,第二步应是( )A.假设n=k(kN)时命题成立,推得n=k+1时命题成立B.假设n=2k+1(kN)时命题成立,推得n=2k+3时命题成立C.假设k=2k-1(kN)时命题成立,推得n=2k+1时命题成立D.假设n=k(k1,kN)时命题成立,推得n=k+2时命题成立答案:C15用数学归纳法证明“当n是非负数时,34n+2+52n+1能被14整除”的第二步中,为了使用归纳假设应将34k+6+52k+3变形为( )A.34k+281+52k+125 B.34k+1243+52k125C.25(34k+2+52k+1)+5634k+2 D.34k+49+52k+25答案:C16用数学归纳法证明1+2+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,在验证n=1成立时,左边所得的代数式是( )A.1 B.1+3C.1+2+3 D.1+2+3+4答案:C17用数学归纳法证明1+a+a2+an+1=(nN，a1)中,在验证n=1成立时,左边应为( )A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a3答案:C18求证:1+2+22+23+25n-1能被31整除.证明:记f(n)=1+2+22+23+25n-1,用数学归纳法.当n=1时,命题显然成立.根据归纳假设,当n=k时,命题成立,即f(k)=1+2+22+23+25k-1能被31整除.要证明n=k+1时,命题也成立,即f(k+1)=1+2+22