第六章 6.1-6.2 共形映射及其基本问题

1 第六章共形映射 2 6 1共形映射的概念 3 平均伸缩率 一 伸缩率与旋转角 1 伸缩率 映射后 可以看出 曲线被伸缩和旋转 如图 过点的曲线经 为曲线经映射后 在点的伸缩率 变成了过点的曲线 4 为曲线经映射后 在点的旋转角 2 旋转角 这两个指标定量地刻画了曲线经映射后的局部变化特征 5 二 导数的几何意义 分析 由 有 切线 切线 6 二 导数的几何意义 设函数在区域D内解析 且 分析 1 导数的几何意义 为曲线在点的伸缩率 为曲线在点的旋转角 切线 切线 7 切线 切线 二 导数的几何意义 2 伸缩率不变性 任何一条经过点的曲线的 3 旋转角不变性 伸缩率均为 任何一条经过点的曲线的 旋转角均为 即 8 2 伸缩率不变性 任何一条经过点的曲线的 二 导数的几何意义 切线 切线 3 旋转角不变性 伸缩率均为 任何一条经过点的曲线的 旋转角均为 4 保角性 由 即保持了两条曲线的交角的大小与方向不变 即 保大小 保方向 9 三 共形映射 1 第一类保角映射 2 伸缩率不变性 1 保角性 保大小 保方向 则称函数为区域D内的 第一类保角映射 且 则函数为 区域D内的第一类保角映射 1 在点 因此 函数在处 其伸缩率为2 旋转角为 2 在点 因此 函数的保角性不成立 的伸缩率不变 且具有保角性 求函数 和 例 处的导数值 在 并说明其几何意义 11 三 共形映射 1 第一类保角映射 2 第二类保角映射 则称函数为区域D内的 第二类保角映射 2 伸缩率不变性 1 能保持两条曲线的交角的大小 不变 但方向相反 2 伸缩率不变性 1 保角性 保大小 保方向 函数 例 在复平面上是第二类保角映射 12 三 共形映射 1 第一类保角映射 2 第二类保角映射 3 共形映射 则称为区域D内 时 的共形映射 且当 2 伸缩率不变性 1 保角性 保大小 保方向 13 因此 它在整个复平面上是第一类保角映射 可见 它不是双方单值的 2 令 则 则 3 如果设区域 是双方单值的 则它在区域D内 因此 它不是共形映射 因此 它是区域D内共形映射 令 求函数 例 是否为共形映射 14 6 2共形映射的基本问题 15 一 问题一 1 保域性定理 则其象集合仍然为区域 意义 保域性定理将解析函数的象集合的求解问题变成了 求象区域的问题 16 一 问题一 2 边界对应原理 当沿C的正向绕行时 相应的的绕行 方向定为的正向 并令G是以为边界的区域 则 将D共形映射为G 意义 边界对应原理进一步将解析函数的象区域的求解问题 变成了求象曲线的问题 17 一 问题一 3 求象区域的一般步骤 则有 设函数在闭域上解析 且为一一映射 1 令 A B 2 求边界曲线C的象曲线 3 求象区域 方法一 沿边界C的正向找三点 考察象点的走向 方法二 在区域D的内部找一点 考察象点的位置 即将 B 代入曲线C的方程化简 18 则有 令 已知函数 区域 例 如图所示 求象区域 19 1 解 2 求边界曲线C的象曲线 即得象曲线的方程为 曲线C的方程为 已知函数 区域 例 如图所示 求象区域 20 1 解 2 求边界曲线C的象曲线 3 求象区域 代入函数 得到象点 故象区域G在曲线的 内部 已知函数 区域 例 如图所示 求象区域 21 1 解 2 求边界曲线C的象曲线 3 求象区域 故象区域G在曲线的 内部 已知函数 区域 例 如图所示 求象区域 22 其中 则C的方程为 曲线C对应的 其中 象曲线的方程为 即得象区域G如图所示 2 在的映射下 设区域 例 求它在下列映射下的象区域 23 二 问题二 基本问题 1 黎曼存在唯一性定理 上至少含有两个点 映射的函数是唯一的 则 域D双方单值地映射为G 如