材料力学(刘鸿文)第07章02广义胡克定律

广义胡克定律 主讲教师 王明禄 2020年4月21日星期二 1 7 8广义胡克定律 P P 2 1 2 2 1 一 平面应力状态的广义胡克定律 3 正应变只跟正应力有关 与剪应力无关 剪应变只跟剪应力有关 与正应力无关 4 二 三向应力状态的广义胡克定律 x y z xy xz x y z yx yz zx zy 5 三 主应力状态的广义胡克定律 1 2 3 6 四 应力 应变关系 7 例1 已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变值为 1 240 10 6 3 160 10 6 材料的弹性模量E 210GPa 泊松比 0 3 求该点处的主应力值数 并求另一应变 2的数值和方向 解 因主应力和主应变相对应 则由题意可得 即为平面应力状态 有 8 联立两式可解得 主应变 2为 其方向必与 1和 3垂直 沿构件表面的法线方向 9 例2 边长为a的一立方钢块正好置于刚性槽中 钢块的弹性模量为E 泊桑比为 顶面受铅直压力P作用 求钢块的应力 x y z和应变 x y z P x y z x y z 解 由已知可直接求得 10 P x y z x y z 11 例3 薄壁筒内压容器 t D 1 20 筒的平均直径为D 壁厚为t 材料的E 已知 已测得筒壁上k点沿45 方向的线应变 45 求筒内压强p k p t D x x y y 解 筒壁一点的轴向应力 筒壁一点的环向应力 12 k p t D x x y y 45 45 45 45 13 例4 受扭圆轴如图所示 已知m d E 求圆轴外表面沿ab方向的应变 ab A B m m d a b 45 解 14 A B m m d a b 45 45 45 15 例5 壁厚t 10mm 外径D 60mm的薄壁圆筒 在表面上k点处与其轴线成45 和135 角即x y两方向分别贴上应变片 然后在圆筒两端作用矩为m的扭转力偶 如图所示已知圆筒材料的弹性模量为E 200GPa和 0 3 若该圆筒的变形在弹性范围内 且 max 80MPa 试求k点处的线应变 x y以及变形后的筒壁厚度 16 D t x y m k 可求得 解 从圆筒表面k点处取出单元体 如图所示 17 k点处的线应变 x y为 18 圆筒表面上k点处沿径向 z轴 的应变为 同理可得 圆筒中任一点 该点到圆筒横截面中心的距离为 处的径向应变为 19 7 9复杂应力状态下的体积应变 比能 一 体积应变 dx dy dz dx dx dy dy dz dz 20 略去高阶微量 得 单元体的体积应变 代入式 21 得 纯剪应力状态 可见剪应力并不引起体积应变 对于非主应力单元体 其体积应变可改写为 体积应变只与三个主应力 正应力 之和有关 而与其比例无关 22 令 m称为平均正应力 K称为体积弹性模量 二 比能 单位体积的变形能称为变形能密度 简称比能 单向拉压比能 dx dz dy d l 23 dx dz dy 纯剪切比能 dx dy dz 复杂应力状态的比能 24 体积改变比能与形状改变比能 1 2 3 m m 1 m m 2 m 3 m u uV uf 状态1受平均正应力 m作用 因各向均匀受力 故只有体积改变 而无形状改变 相应的比能称为体积改变比能uV 状态2的体积应变 状态2无体积改变 只有形状改变 相应的比能称为形状改变比能uf 25 1 2 3 m m 1 m m 2 m 3 m u uV uf 26 例1 边长为a的一立方钢块正好置于刚性槽中 钢块的弹性模量为E 泊桑比为 顶面受铅直压力P作用 求钢块的体积应变 V和形状改变比能uf P x y z x y z 解 由已知可直接求得 27 x y z 28 例2 证明弹性模量E 泊桑比 剪切弹性模量G之间的关系为 3 1 证明 纯剪应力状态比能为 用主应力计算比能 29 30 构件由于强度不足将引发两种失效形式 1 脆性断裂 材料无明显的塑性变形即发生断裂 断面较粗糙 且多发生在垂直于最大正应力的截面上 如铸铁受拉 扭 低温脆断等 关于屈服的强度理论 最大切应力理论和最大畸变能密度理论 2 塑性屈服 材料破坏前发生显著的塑性变形 破坏断面粒子较光滑 且多发生在最大剪应力面上 例如低碳钢拉 扭 铸铁压 关于断裂的强度理论 最大拉应力理论和最大伸长线应变理论 7 10强度理论概述 31 1 最大拉应力理论 第一强度理论 最大拉应力是引起材料断裂的主要因素 即认为无论材料处于什么应力状态 只要最大拉应力达到简单拉伸时破坏的极限值 就会发生脆性断裂 构件危险点的最大拉应力 极限拉应力 由单拉实验测得 7 11四种常见强度理论及强度条件 32 断裂条件 铸铁拉伸 铸铁扭转 33 局限性 1 未考虑另外二个主应力影响 2 对没有拉应力的应力状态无法应用 3 对塑性材料的破坏无法解释 4 无法解释三向均压时 既不屈服 也不破坏的现象 实验表明 此理论对于大部分脆性材料受拉应力作用 结果与实验相符合 如铸铁受拉 扭 34 2 最大伸长线应变理论 第二强度理论 最大伸长线应变是引起断裂的主要因素 即认为无论材料处于什么应力状态 只要最大伸长线应变达到简单拉伸时破坏的极限值 就会发生脆性断裂 构件危险点的最大伸长线应变 极限伸长线应变 由单向拉伸实验测得 35 实验表明 此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合 如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况 断裂条件 即 36 最大切应力是引起材料屈服的主要因素 即认为无论材料处于什么应力状态 只要最大切应力达到了简单拉伸屈服时的极限值 材料就会发生屈服 3 最大切应力理论 第三强度理论 构件危险点的最大切应力 极限切应力 由单向拉伸实验测得 37 屈服条件 强度条件 低碳钢拉伸 低碳钢扭转 38 轴向拉 压 单向应力状态 圆轴扭转 纯剪切应力状态 第三强度理论在工程中实际问题中的应用 39 实验表明 此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释 并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实 局限性 2 不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象 1 未考虑的影响 试验证实最大影响达15 40 最大畸变能密度是引起材料屈服的主要因素 即认为无论材料处于什么应力状态 只要最大畸变能密度达到简单拉伸屈服时的极限值 材料就会发生屈服 4 最大畸变能密度理论 第四强度理论 构件危险点的形状改变比能 形状改变比能的极限值 由单拉实验测得 41 屈服条件 强度条件 实验表明 对塑性材料 此理论比第三强度理论更符合试验结果 在工程中得到了广泛应用 42 强度理论的统一表达式 相当应力 43 例1 试用第三强度理论分析图示三种应力状态中哪种最危险 44 解 危险点A的应力状态如图 例2直径为d 0 1m的铸铁圆杆受力T 7kNm P 50kN 40MPa 用第一强度理论校核强