高中数学第一章数1.3.2余弦函数正切函数的图象与性质第2课时课堂探究学案.docx

1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质课堂探究探究一 求函数的定义域与正切函数有关的定义域问题通常先借助正切函数的图象在一个周期内得出x的取值范围，然后加上周期【例1】 求下列函数的定义域：(1)y；(2)y分析：根据题意列出不等式，再根据图象找出不等式的解集解：(1)由tan x0，得tan x，利用图象(如图所示)可知，所求定义域为(kZ)(2)要使函数y有意义，则有即xk，且xk (kZ)所以函数的定义域为规律总结利用正切函数的图象，可解不等式tan x，其解题步骤是：(1)作出正切曲线ytan x在上的图象；(2)求出在内使tan xa成立的x的值；(3)利用图象确定tan xa在内的解；(4)把解扩展到整个定义域内同理，也可解形如tan xa及atan xb的不等式探究二 正切函数的性质1周期性yAcos(x)的最小正周期由公式T求解，yAtan(x)的最小正周期由公式T求解2单调性求yAtan(x)的单调区间，只需令kxk (kZ)解出x即可，但0时，应用诱导公式化为正的，还要注意A的正负对单调性的影响【例2】 求下列函数的周期：(1)y3tan；(2)y|tan x|解：(1)因为2，且T，所以函数的最小正周期T(2)函数y|tan x|的图象如图所示，显然为周期函数，且T【例3】 求y3tan的图象的对称中心解：由2x (kZ)，得x (kZ)故所求函数的图象的对称中心为 (kZ)温馨提示正切函数ytan x的图象是中心对称图形，它的对称中心有无数个，其坐标为 (kZ)，但它不是轴对称图形【例4】 (1)求函数ytan的单调区间；(2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小分析：对于(1)，由于x的系数小于零，故应将其进行变形，化为系数为正，再根据正切函数单调性求解；对于(2)可利用正切函数单调性进行比较解：(1)ytantan，则由kk得2kx2k(kZ)，所以函数ytan的单调递减区间是 (kZ)(2)因为tan 2tan(2)，tan 3tan(3)，又因为2，所以20因为3，所以30，显然231，且ytan x在内是增函数，所以tan(2)tan(3x)tan 1，即tan 2tan 3tan 1探究三 求函数的值域对于形如yAtan2xBtan xC型的函数，可以通过换元法将问题转化为给定区间上的二次函数求值问题，需要注意的是换元后新元的范围，一般可结合函数图象或单调性确定【例5】 求函数ytan2x2tan x的值域分析：利用换元法，将原函数化为二次函数的形式来解决解：令utan x因为|x|，所以由正切函数的图象知u，所以原函数可化为yu22u，u，因为二次函数的开口向上，对称轴方程为u1，所以当u1时，ymin12211当u时，ymax3所以f(x)的值域为1,3反思使用换元法求函数值域时，一定要注意换元后自变量的取值范围探究四 易错辨析易错点：因作图不准确而致错【例6】 当x时，确定方程tan xsin x0根的个数错解：同一平面直角坐标系中作出ytan x与ysin x在上的图象如图所示，两图象有5个交点，所以方程tan xsin x0有5个根错因分析：没有比较x时，ytan x与ysin x的大小正解：将方程变形为tan xsin x，作ytan x，ysin x在上的图象，则两图象交点的个数就是原方程根的个数在同一坐标系内画出ytan x与ysin x的图象，根据图象判断交点个数在同一平面直角坐标系中，首先作出ysin x与ytan x在内的图象，需明确x时，有sin xxtan x(利用单位圆中的正弦线、正切线就可证明)，然后利用对称性作出x时的两函数的图象，如图所示，由图象可知它们有3个交点所以方程有3个根点评判