2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 1-6-1-2 平面与平面垂直的判定学案 北师大版必修2

二平面与平面垂直的判定1二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角这条直线叫作二面角的棱这两个半平面叫作二面角的面以直线ab为棱、半平面，为面的二面角，记作二面角ab(如图)(2)以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，如图中的aob.平面角是直角的二面角叫作直二面角2平面与平面的垂直(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)画法记作：.(3)平面和平面垂直的判定定理判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角()(2)异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补()(3)二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角()(4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系()答案(1)(2)(3)(4)题型一二面角的概念及求法【典例1】四边形abcd是正方形，pa平面abcd，且paab.(1)求二面角apdc平面角的度数；(2)求二面角bpad平面角的度数；(3)求二面角bpac平面角的度数思路导引根据二面角的平面角的定义，先找出二面角的平面角，然后放在三角形中求角解(1)pa平面abcd，pacd.又四边形abcd为正方形，cdad.paada，cd平面pad.又cd平面pcd，平面pad平面pcd.二面角apdc平面角的度数为90.(2)pa平面abcd，abpa，adpa.bad为二面角bpad的平面角又由题意知bad90，二面角bpad平面角的度数为90.(3)pa平面abcd，abpa，acpa.bac为二面角bpac的平面角又四边形abcd为正方形，bac45，即二面角bpac平面角的度数为45.(1)求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”(2)求二面角的方法(定义法)：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线如图(1)所示，aob为二面角a的平面角(垂线法)：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角如图(2)所示，afe为二面角abcd的平面角(垂面法)：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角如图(3)所示，aob为二面角l的平面角针对训练1如图，ab是o的直径，pa垂直于o所在的平面，c是圆周上的一点，且paac，求二面角pbca的大小解由已知pa平面abc，bc平面abc，pabc.ab是o的直径，且点c在圆周上，acbc.又paaca，bc平面pac.而pc平面pac，pcbc.又bc是二面角pbca的棱，pca是二面角pbca的平面角由paac知pac是等腰直角三角形，pca45，即二面角pbca的大小是45.题型二面面垂直的判断【典例2】如图，在直三棱柱abca1b1c1中，d，e分别为ab、bc的中点，点f在侧棱b1b上，且b1da1f，a1c1a1b1.求证：(1)直线de平面a1c1f；(2)平面b1de平面a1c1f.思路导引(1)欲证直线de平面a1c1f，只需证dea1c1.(2)欲证平面b1de平面a1c1f，只需证b1d平面a1c1f.证明(1)在直三棱柱abca1b1c1中，a1c1ac.在abc中，d，e分别为ab，bc的中点，deac，dea1c1.de平面a1c1f，a1c1平面a1c1f，直线de平面a1c1f.(2)在直三棱柱abca1b1c1中，a1a平面a1b1c1.a1c1平面a1b1c1，a1aa1c1.又a1c1a1b1，a1a平面abb1a1，a1b1平面abb1a1，a1aa1b1a1，a1c1平面abb1a1.又b1d平面abb1a1，a1c1b1d.又b1da1f，a1c1平面a1c1f，a1f平面a1c1f，a1c1a1fa1，b1d平面a1c1f.b1d平面b1de，平面b1de平面a1c1f.本题涉及线面垂直，面面垂直的性质和判定，其中证明b1d平面a1c1f是关键针对训练2如图，三棱柱abca1b1c1中，侧棱垂直底面，acb90，acaa1，d是棱aa1的中点证明：平面bdc1平面bdc.证明由题设知bccc1，bcac，cc1acc，所以bc平面acc1a1.又dc1平面acc1a1，所以dc1bc.由题设知a1dc1adc45，所以cdc190，即dc1dc.又dcbcc，所以dc1平面bdc.又dc1平面bdc1，所以平面bdc1平面bdc.题型三面面垂直、线面垂直与线线垂直的联系【典例3】已知pa平面abcd，abcd为矩形，paad，m、n分别是ab、pc的中点，求证：(1)mn平面pad；(2)平面pmc平面pdc.思路导引(1)要证明mn平面pad，只需在平面pad找到一条mn的平行线(2)要证明平面pmc平面pdc，首先证明线面垂直证明(1)取pd的中点为q，连接aq、qn，pnnc，qn綊dc.四边形abcd为矩形，qn綊am，mnaq.又aq平面pad，mn平面pad，mn平面pad.(2)pa平面abcd，pad90，pad为等腰直角三角形q为pd中点，aqpd.cdad，cdpa，cd平面pad，cdaq，aq平面pdc，由(1)mnaq，mn平面pdc，又mn平面pmc，平面pmc平面pdc.掌握线线、线面、面面垂直的性质和判定是三种垂直相互转化的关键由线面垂直可知线与面内任何一条直线都垂直；由线面垂直亦可得到面面垂直(面面垂直的判定)因此说线面垂直是线线垂直和面面垂直的枢纽针对训练3如图，在四棱锥sabcd中，底面abcd是正方形，sa平面abcd，且saab，点e为ab的中点，点f为sc的中点(1)求证：efcd；(2)求证：平面scd平面sce.证明(1)连接ac，af，bf.sa平面abcd，af为rtsac斜边sc上的中线，afsc.又四边形abcd是正方形，cbab.而由sa平面abcd，得cbsa，cb平面sab，cbsb，bf为rtsbc斜边sc上的中线，bfsc，afbf，afb为等腰三角形e为ab的中点，efab.又cdab，efcd.(2)由已知易得rtsaertcbe，seec，即sec是等腰三角形，efsc.又sccdc，efcd，ef平面scd.又ef平面sce，平面scd平面sce.1下列说法：两个相交平面所组成的图形叫做二面角；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系其中正确的个数是()a0 b1 c2 d3解析根据二面角定义知都不正确选a.答案a2已知直线a，b与平面，下列能使成立的条件是()a，ba，ba，bca，ada，a解析由a，知内必有直线l与a平行，而a，l，.选d.答案d3如图所示，在三棱锥dabc中，若abcb，adcd，e是ac的中点，则下列结论中正确的是()a平面abc平面abdb平面abd平面bdcc平面abc平面bde，且平面adc平面bded平面abc平面adc，且平面adc平面bde解析abcb，adcd，e为ac中点acde，acbe，又bedee，ac平面edb.又ac平面abc，ac平面adc，平面abc平面bde，平面adc平面bde.选c.答案c4下列说法中，正确的是()a垂直于同一直线的两条直线互相平行b平行于同一平面的两个平面平行c垂直于同一平面的两个平面互相平行d平行于同一平面的两条直线互相平行解析a垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面c垂直于同一平面的两个平面可能相交、也可能平行d平行于同一平面的两条直线可能相交、平行或异面只有b正确答案b课后作业(十二)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1已知直线l平面，则经过l且和垂直的平面()a有1个 b有2个 c有无数个 d不存在解析经过l的平面都与垂直，而经过l的平面有无数个，故选c.答案c2在棱长都相等的四面体pabc中，d、e、f分别是ab、bc、ca的中点，则下面四个结论中不成立的是()abc平面pdfbdf平面paec平面pdf平面abcd平面pae平面abc解析可画出对应图形，如图所示，则bcdf，又df平面pdf，bc平面pdf，bc平面pdf，故a成立；由aebc，pebc，bcdf，知dfae，dfpe，df平面pae，故b成立；又df平面abc，平面abc平面pae，故d成立答案c3如图，ab是圆o的直径，pa垂直于圆o所在平面abc，点c是圆上的任意一点，图中互相垂直平面的对数为()a4 b3c2 d1解析pa圆o所在平面abc，平面pab平面abc，同理可得：平面pac平面abc，ab是圆o的直径，bcac，又pa圆o所在平面abc，bc平面abc，pabc.又paaca，pa，ac平面pac.bc平面pac.又bc平面pbc，平面pbc平面pac.综上相互垂直的平面共有3对答案b4如图所示，在三棱锥dabc中，若abcb，adcd，e是ac的中点，则下列命题中正确的是()a平面abc平面abdb平面abd平面bdcc平面abc平面bde，且平面adc平面bded平面abc平面adc，且平面adc平面bde解析abcb，adcd，e为ac的中点，acbe，acde，ac平面bde.ac平面abc，平面abc平面bde.同理平面adc平面bde.答案c5如图所示，已知四边形abcd是正方形，pa平面abcd，则图中所有互相垂直的平面共有()a8对 b7对c6对 d5对解析由pa平面abcd可得平面pab平面abcd，平面pad平面abcd，平面pac平面abcd.又abcd为正方形，cdad，因为pacd，paada，所以cd平面pad，所以平面pcd平面pad，平面pab平面pad，同理可得，平面pbc平面pab，平面pac平面pbd.共7对答案b6.在三棱锥pabc中，已知papb，pbpc，pcpa，如图所示，则在三棱锥pabc的四个面中，互相垂直的面有_对解析papb，papc，pbpcppa平面pbcpa平面pab，pa平面pac平面pab平面pbc，平面pac平面pbc.同理可证：平面pab平面pac.答案37在三棱锥sabc中，ac平面sbc，已知sca，bca，sb2a，则二面角sacb的平面角是_解析由已知可得ac平面sbc，ac、bc平面sbc，所以acsc，acbc，所以scb是二面角sacb的平面角，又sca，bca，sb2a，所以sb2sc2bc2，故scb为直角三角形，scb90.答案908已知，是两个不同的平面，m，n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：mn；n；m.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.(用序号表示)解析当m，mn时，有n或n.当n时，即.或当，m时，有m或m.当n时mn，即.答案(或)9.如图所示，四边形abcd是平行四边形，直线sc平面abcd，e是sa的中点，求证：平面edb平面abcd. 证明连接ac，交bd于点f，连接ef，ef是sac的中位线，efsc.sc平面abcd，ef平面abcd.又ef平面edb，平面edb平面abcd.10已知正四棱锥(底面为正方形各侧面为全等的等腰三角形)的体积为12，底面对角线的长为2，求侧面与底面所成的二面角解设正四棱锥为sabcd，如图所示，高为h，底面边长为a，则2a2(2)2，a212.又a2h12，h3.设o为s在底面上的射影，作oecd于e，连接se，可知secd，seo为所求二面角的平面角tanseo，seo60.侧面与底面所成二面角的大小为60.应试能力等级练(时间25分钟)11一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为()a相等b互补c相等或互补d不确定解析反例：如图，在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是cd，c1d1的中点，二面角daa1e与二面角b1abd的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补，故选d.答案d12如图，p是菱形abcd所在平面外一点，且papc，则平面pac与平面pbd之间的关系是_解析设acbdo，四边形abcd为菱形，o为ac的中点，papc，poac，bdac，bdpoo，ac平面pbd，又ac平面pac，平面pac平面pbd.答案垂直13.如图所示，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd.底面各边都相等，m是pc上的一动点，当点m满足_时，平面mbd平面pcd.(注：只要填写一个你认为正确的即可)解析四边形abcd的边长相等四边形为菱形acbd又pa平面abcd，pabdbd平面pac，bdpc.若pc平面bmd，则pc垂直于平面bmd中两条相交直线当bmpc时，pc平面bdm.平面pcd平面bdm.答案bmpc14.如图，在底面为直角梯形的四棱锥pabcd中，adbc，abc90，pa平面abcd，pa3，ad2，ab2，bc6.(1)求证：bd平面pac；(2)连接pe，求pea的大小解(1)证明：连接bd、ac交于epa平面abcd，bd平面abcd.bdpa.又tanabd，tanbac.abd30，bac60，aeb90，即bdac.