2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 1-5-2-1 直线与平面平行的性质学案 北师大版必修2

一直线与平面平行的性质直线和平面平行的性质定理1如图，直线l平面，直线a平面，直线l与直线a一定平行吗？为什么？答案不一定，因为还可能是异面直线2如图，直线a平面，直线a平面，平面平面直线b，满足以上条件的平面有多少个？直线a，b有什么位置关系？答案无数个ab.题型一线面平行的性质定理的应用【典例1】如图，用平行于四面体abcd的一组对棱ab，cd的平面截此四面体，求证：截面mnpq是平行四边形思路导引要证明mnpq是平行四边形，只需证明一组对边平行且相等或两组对边分别平行即可证明因为ab平面mnpq，平面abc平面mnpqmn，且ab平面abc，所以由线面平行的性质定理，知abmn.同理abpq，所以mnpq.同理可得mqnp.所以截面mnpq是平行四边形引申探究(1)若本例条件不变，求证：.(2)若本例中添加条件：abcd，ab10，cd8，且bppd11，求四边形mnpq的面积解(1)证明：由典例1知：pqab，.又qmdc，.(2)由典例1知，四边形mnpq是平行四边形，abcd，pqqm，四边形mnpq是矩形又bppd11，pq5，qm4，四边形mnpq的面积为5420.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的直线，然后确定线线平行，证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互关系针对训练1如图，正方体abcda1b1c1d1中，ab2，点e为ad的中点，点f在cd上，若ef平面ab1c，则线段ef的长度等于_解析ef平面ab1c，又平面adc平面ab1cac，ef平面adc，efac，e是ad的中点，efac2.答案题型二线面平行性质定理与判定定理的综合应用【典例2】求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行思路导引利用线面平行的性质定理在面中找到与线平行的直线，然后利用平行公理4，证明线线平行证明已知直线a、l，平面、满足l，a，a.求证：al.如图所示，过a作平面交平面于b，a，ab.同样过a作平面交平面于c，a，ac.则bc.又b，c，b.又b，l，bl.又ab，al.(1)已知线面平行，一般直接考虑应用性质，利用构造法找或“作”出经过直线的平面与已知平面相交的交线(2)要证线线平行，可把它们转化为线面平行针对训练2如图所示，在abc所在平面外有一点p，d，e分别是pb与ab上的点，过d，e作平面平行于bc，试画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法的依据解记过d，e的平面为，因为bc，且bc平面pbc，bc平面abc，所以平面与平面pbc和平面abc的交线都与bc平行据此作平面如下：连接de，过点d作dgbc交pc于点g，过点e作efbc交ac于点f，连接gf，平面defg即为平面.1如图，已知s为四边形abcd外一点，g，h分别为sb，bd上的点，若gh平面scd，则()aghsabghsdcghscd以上均有可能解析因为gh平面scd，gh平面sbd，平面sbd平面scdsd，所以ghsd，显然gh与sa，sc均不平行，故选b.答案b2若直线a平行于平面，则下列结论错误的是()aa平行于内的所有直线b内有无数条直线与a平行c直线a上的点到平面的距离相等d内存在无数条直线与a成90角解析直线a平行于平面，a与平面内的直线平行或异面，选项a错误；选项b、c、d正确故选a.答案a3对于直线m，n和平面，下列命题中正确的是()a如果m，n，m，n是异面直线，那么nb如果m，n，m，n是异面直线，那么n与相交c如果m，n，m，n共面，那么mnd如果m，n，m，n共面，那么mn解析对于a，如图，此时n与相交，故不正确；对于b，如图，此时m，n是异面直线，而n与平行，故不正确；对于d，如图，m与n相交，故不正确答案c4下列命题正确的是()a若直线a平面，直线b平面，则直线a直线bb若直线a平面，直线a与直线b相交，则直线b与平面相交c若直线a平面，直线a直线b，则直线b平面d若直线a平面，则直线a与平面内任意一条直线都无公共点解析a中，直线a与直线b也可能异面、相交，所以不正确；b中，直线b也可能与平面平行，所以不正确；c中，直线b也可能在平面内，所以不正确；根据直线与平面平行的定义知d正确，故选d.答案d课后作业(九)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1梯形abcd中，abcd，ab平面，cd平面，则直线cd与平面内的直线的位置关系只能是()a平行b平行或异面c平行或相交d异面或相交解析cd，直线cd与平面内的直线的位置关系是平行或异面答案b2直线a平面，内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有()a0条b1条c0条或1条d无数条解析过直线a与交点作平面，设平面与交于直线b，则ab，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条答案c3如图，在长方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是棱aa1和bb1的中点，过ef的平面efgh分别交bc和ad于g，h，则gh与ab的位置关系是()a平行b相交c异面d平行或异面解析由长方体性质知：ef平面abcd，ef平面efgh，平面efgh平面abcdgh，efgh.又efab，ghab.答案a4在空间四边形abcd中，e，f，g，h分别是ab，bc，cd，da上的点，当bd平面efgh时，下面结论正确的是()ae，f，g，h一定是各边的中点bg，h一定是cd，da的中点cbeeabffc，且dhhadggcdaeebahhd，且bffcdggc解析根据题意作出示意图，由bd平面efgh，结合直线与平面平行的性质可得bdeh，dbfg，由平行线分线段成比例的性质，可知d正确答案d5已知正方体ac1的棱长为1，点p是面aa1d1d的中心，点q是面a1b1c1d1的对角线b1d1上一点，且pq平面aa1b1b，则线段pq的长为 ()a1bcd解析由pq平面aa1bb知pqab1，又p为ao1的中点，pqab1.答案c6.如图，a，a是的另一侧的点，b、c、da，线段ab、ac、ad分别交平面于e、f、g，若bd4，cf4，af5，则eg_.解析a，平面abdeg，a平面abd，aeg，即bdeg，则eg.答案7.如图，四边形abdc是梯形，abcd，且ab平面，m是ac的中点，bd与平面交于点n，ab4，cd6，则mn_. 解析因为ab平面，ab平面abdc，平面abdc平面mn，所以abmn.又m是ac的中点，所以mn是梯形abdc的中位线，所以mn5.答案58.如图所示的正方体的棱长为4，e，f分别为a1d1，aa1的中点，过c1，e，f的截面的周长为_解析由ef平面bcc1b1可知平面bcc1b1与平面efc1的交线为bc1，平面efc1与平面abb1a1的交线为bf，所以截面周长为effbbc1c1e46.答案469.如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，n是pb的中点，过a、n、d三点的平面交pc于点m，求证：admn.证明abcd为平行四边形，adbc，又bc平面pbc，ad平面pbc，ad平面pbc，又ad平面admn，平面pbc平面admnmn，admn.10如图所示，已知p是abcd所在平面外一点，m，n分别是ab，pc的中点，平面pbc平面padl.(1)求证：lbc；(2)mn与平面pad是否平行？试证明你的结论解(1)证明：因为bcad，bc平面pad，ad平面pad，所以bc平面pad.又因为平面pbc平面padl，所以bcl.(2)平行证明如下：如图，取pd的中点e，连接ae，ne，可以证得neam且neam，所以四边形mnea是平行四边形，所以mnae.又ae平面pad，mn平面pad，所以mn平面pad.应试能力等级练(时间25分钟)11a、b是两条异面直线，下列结论正确的是()a过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b平行b过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b相交c过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都平行d过a可以并且只可以作一个平面与b平行解析a错，若点与a所确定的平面与b平行时，就不能使这个平面与a平行了b错，若点与a所确定的平面与b平行时，就不能作一条直线与a、b相交c错，假如这样的直线存在，根据公理4就可有ab，这与a、b异面矛盾d正确，在a上任取一点a，过a点作直线cb，则c与a确定一个平面与b平行，这个平面是唯一的答案d12.如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，aa1平面abcd，abcd，dcb90，abadaa12dc，q为棱cc1上一动点，过直线aq的平面分别与棱bb1，dd1交于点p，r，则下列结论错误的是()a对于任意的点q，都有apqrb对于任意的点q，四边形apqr不可能为平行四边形c存在点q，使得arp为等腰直角三角形d存在点q，使得直线bc平面apqr解析abcd，aa1dd1，平面abb1a1平面cdd1c1，平面apqr平面abb1a1ap，平面apqr平面cdd1c1rq.apqr，故a正确；四边形abcd是直角梯形，abcd，平面bcc1b1与平面add1a1不平行平面apqr平面bcc1b1pq，平面apqr平面add1a1ar.pq与ar不平行，故四边形apqr不可能为平行四边形，故b正确；延长cd至m(图略)，使dmcd，则四边形abcm是矩形，bcam.当r，q，m三点共线时，am平面apqr，bc平面apqr，故d正确；故c错误选c.答案c13如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形efgh为截面，则四边形efgh的形状为_. 解析平面abfe平面dcgh，又平面efgh平面abfeef，平面efgh平面dcghhg，efhg.同理，ehfg，四边形efgh是平行四边形答案平行四边形14.长方体abcda1b1c1d1的底面abcd是正方形，其侧面展开图是边长为8的正方形e，f分别是侧棱aa1，cc1上的动点，aecf8.p在棱aa1上，且ap2，若ef平面pbd，则cf_.解析连接ac交bd于o，连接po，过点c作cqop交aa1于点q，ef平面pbd，ef平面eacf，平面eacf平面pbdpo，efpo.又cqop，efqc，qecf.四边形abcd为正方形，cqop，p为aq的中点，pqap2.aecfappqqecf22cfcf8，cf2.答案215如图所示，一平面与空间四边形对角线ac、bd都平行，且交空间四边形边ab、bc、cd、da分别于e、f、g、h.(1)求证：efgh为平行四边形；(2)若acbd，efgh能否为菱形？(3)若acbda，求证：平行四边形efgh周长为定值解(1)证明：ac平