2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 1-4-2-2 空间图形的公理（第2课时）学案 北师大版必修2

4.2空间图形的公理(第2课时)1空间图形的公理公理4平行于同一条直线的两条直线平行定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补2异面直线(1)异面直线的定义不共面(不同在任何一个平面内)的两条直线叫作异面直线(2)空间两条直线的位置关系有且只有三种异面直线：不共面的两条直线，没有公共点(3)异面直线所成的角过空间任意一点p分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(al1，bl2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角如果两条异面直线所成的角是直角，我们称这两条直线互相垂直，记作：ab.判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)分别在两个平面内的直线一定为异面直线()(2)两条直线垂直，则一定相交()(3)两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行()(4)两条直线若不是异面直线，则必相交或平行()(5)两条直线无公共点，则这两条直线平行()(6)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线()(7)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)题型一空间两直线位置关系的判定【典例1】已知a、b、c是空间三条直线，下面给出四个命题：如果ab，bc，那么ac；如果a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c也是异面直线；如果a、b是相交直线，b、c是相交直线，那么a、c也是相交直线；如果a、b共面，b、c共面，那么a、c也共面在上述命题中，正确命题的个数是()a0b1 c2d3思路导引两条直线的位置关系拓展到空间中有且仅有三种：相交、平行、异面根据具体情况，具体分析解析a与c可能相交，也可能异面；a与c可能相交，也可能平行；a与c可能异面，也可能平行；a与c可能不在一个平面内故均不正确答案a(1)判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断(2)判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面针对训练1如图，正方体abcda1b1c1d1中，判断下列直线的位置关系：直线a1b与直线d1c的位置关系是_；直线a1b与直线b1c的位置关系是_；直线d1d与直线d1c的位置关系是_；直线ab与直线b1c的位置关系是_解析根据题目条件知道直线a1b与直线d1c在平面a1bcd1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以应该填“平行”；点a1、b、b1在一个平面a1bb1内，而c不在平面a1bb1内，则直线a1b与直线b1c“异面”同理，直线ab与直线b1c“异面”所以都应该填“异面”；直线d1d与直线d1c相交于d1点，所以应该填“相交”答案平行异面相交异面题型二公理4及等角定理的应用【典例2】如图，已知在棱长为a的正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别是棱cd，ad的中点求证：(1)四边形mna1c1是梯形；(2)dnmd1a1c1.思路导引(1)由中位线定理可证mnac，mnac.由正方体的性质得：aca1c1，aca1c1.从而应用公理4，可证mna1c1，且mna1c1，于是命题可证(2)利用等角定理可证证明(1)如图，连接ac，在acd中，m，n分别是cd，ad的中点，mn是acd的中位线，mnac，mnac.由正方体的性质得：aca1c1，aca1c1.mna1c1，且mna1c1，即mna1c1，四边形mna1c1是梯形(2)由(1)可知mna1c1.又nda1d1，dnm与d1a1c1相等或互补而dnm与d1a1c1均为锐角，dnmd1a1c1.(1)空间两条直线平行的证明一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行(2)求证角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相似针对训练2长方体abcda1b1c1d1中，e，f分别为棱aa1，cc1的中点(1)求证：d1ebf；(2)求证：b1bfa1ed1.证明(1)取bb1的中点m，连接em，c1m.在矩形abb1a1中，易得em綊a1b1，a1b1綊c1d1，em綊c1d1，四边形emc1d1为平行四边形，d1ec1m.在矩形bcc1b1中，易得mb綊c1f，bfc1m，d1ebf.(2)ed1bf，bb1ea1，又b1bf与a1ed1的对应边方向相同，b1bfa1ed1.题型三异面直线所成的角【典例3】如图所示，在正方体abcdefgh中，o为侧面adhe的中心，求：(1)be与cg所成的角；(2)fo与bd所成的角. 思路导引(1)由于cgbf，即ebf(或其补角)为异面直线cg与be所成的角(2)由于bdfh，故hfo(或其补角)为异面直线fo与bd所成的角解(1)如图，因为cgbf，所以ebf(或其补角)为异面直线be与cg所成的角，又在bef中，ebf45，所以be与cg所成的角为45.(2)连接fh，因为hdea，eafb，所以hdfb，又hdfb，所以四边形hfbd为平行四边形所以hfbd，所以hfo(或其补角)为异面直线fo与bd所成的角连接ha，af，易得fhhaaf，所以afh为等边三角形，又知o为ah的中点所以hfo30，即fo与bd所成的角为30.求异面直线所成的角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线(2)求转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角(3)结论设由(2)所求得的角的大小为.若090，则为所求；若90180，则180为所求提醒：求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角的范围是090.针对训练3如图，p是平面abc外一点，pa4，bc2，d、e分别为pc和ab的中点，且de3.求异面直线pa和bc所成角的大小解如图，取ac中点f，连接df、ef，在pac中，d是pc中点，f是ac中点，dfpa，同理可得efbc，dfe为异面直线pa与bc所成的角(或其补角)在def中，de3，又dfpa2，efbc，de2df2ef2.dfe90，即异面直线pa与bc所成的角为90.1过一点与已知直线垂直的直线有()a一条b两条c无数条d无法确定解析过一点与已知直线垂直的直线有无数条，包括相交垂直和异面垂直答案c2异面直线是指()a空间中两条不相交的直线b分别位于两个不同平面内的两条直线c平面内的一条直线与平面外的一条直线d不同在任何一个平面内的两条直线解析不相交的直线有可能是平行也有可能是异面，故a不正确；如图中，a，b，但是，aba，故b不正确；如图，a，b，但是aba，故c不正确；d是异面直线的定义答案d3若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()aacba、c是异面直线ca、c相交da、c平行或相交或异面解析a、b、c的位置关系有下面三种情况，如图所示，由图形分析可得答案为d.答案d4过直线l外两点可以作l的平行线条数为()a1b2 c3d0或1解析以如图所示的正方体abcda1b1c1d1为例令a1b1所在直线为直线l，过l外的两点a，b可以作一条直线与l平行，过l外的两点b，c不能作直线与l平行，故选d.答案d探究空间中四边形的形状问题根据三角形的中位线、公理4证明两条直线平行是常用的方法公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两条直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法【示例】如图，空间四边形abcd中，e，f，g，h分别是ab，bc，cd，da的中点求证：四边形efgh是平行四边形思路分析欲证efgh为平行四边形，只需证ehfg，只需证bdfg且bdeh.证明连接bd，因为eh是abd的中位线，所以ehbd，且ehbd.同理，fgbd，且fgbd.因此ehfg.又ehfg，所以四边形efgh为平行四边形引申探究(1)本例中若加上条件“acbd”，则四边形efgh是什么形状？(2)本例中，若加上条件“acbd”，则四边形efgh是什么形状？(3)本例中，若加上条件“acbd，且acbd”，则四边形efgh是什么形状？解(1)由例题可知ehbd，同理efac，又bdac，因此ehef，所以四边形efgh为矩形(2)由例题知ehbd，且ehbd，同理efac，且efac.又acbd，所以ehef.又efgh为平行四边形，所以efgh为菱形(3)由(1)(2)可知，efgh为正方形针对训练如图所示，设e、f、g、h分别是空间四边形abcd的边ab、bc、cd、da上的点，且，(，(0,1)，试判断四边形efgh的形状解连接bd，在abd中，ehbd，且ehbd.在cbd中，fgbd，且fgbd，ehfg，顶点e、f，g、h在由eh和fg确定的平面内(1)当时ehfg，故四边形efgh为平行四边形；(2)当时ehfg，故四边形efgh是梯形课后作业(六)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()a一定平行b一定相交c一定异面d相交或异面解析可能相交也可能异面，选d.答案d2下列选项中，点p，q，r，s分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线pq与rs是异面直线的一个图是() 解析易知选项a，b中pqrs，选项d中rs与pq相交，只有选项c中rs与pq是异面直线答案c3异面直线a，b，有a，b，且c，则直线c与a，b的关系是()ac与a，b都相交bc与a，b都不相交cc至多与a，b中的一条相交dc至少与a，b中的一条相交解析若c与a，b都不相交，c与a在内，ac.又c与b都在内，bc.由公理4，可知ab，与已知条件矛盾如图，只有以下三种情况答案d4如图，三棱柱abca1b1c1中，底面三角形a1b1c1是正三角形，e是bc的中点，则下列叙述正确的是()acc1与b1e是异面直线bc1c与ae共面cae与b1c1是异面直线dae与b1c1所成的角为60解析由于cc1与b1e都在平面c1b1bc内，故c1c与b1e是共面的，所以a错误；由于c1c在平面c1b1bc内，而ae与平面c1b1bc相交于e点，点e不在c1c上，故c1c与ae是异面直线，b错误；同理ae与b1c1是异面直线，c正确；而ae与b1c1所成的角就是ae与bc所成的角，e为bc中点，abc为正三角形，所以aebc，d错误答案c5已知空间四边形abcd中，m，n分别为ab，cd的中点，则下列判断正确的是()amn(acbd)bmn(acbd)cmn(acbd)dmnmn，(acbd)mn.答案d6在四棱锥pabcd中，各棱所在的直线互相异面的有_对. 解析以底边所在直线为准进行考查，因为四边形abcd是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有428(对)异面直线答案87如图，正方体abcda1b1c1d1中，ac与bc1所成角的大小是_解析连接ad1，则ad1bc1.cad1(或其补角)就是ac与bc1所成的角，连接cd1，在正方体abcda1b1c1d1中，acad1cd1，cad160，即ac与bc1所成的角为60.答案608如图，在三棱锥abcd中，e，f，g分别是ab，bc，ad的中点，gef120，则bd和ac所成角的度数为_解析依题意知，egbd，efac，所以gef所成的角或其补角即为异面直线ac与bd所成的角，又gef120，所以异面直线bd与ac所成的角为60.答案609如图所示，空间四边形abcd中，abcd，abcd，e、f分别为bc、ad的中点，求ef和ab所成的角解取ac的中点g，连接eg，fg，则fgcd，egab，所以feg即为ef与ab所成的角(或其补角)，且fgcd，egab，所以fgeg.又由abcd得fgeg，所以feg45.故ef和ab所成的角为45.10在平行六面体abcda1b1c1d1中，m、n、p分别是cc1、b1c1、c1d1的中点求证：nmpba1d.证明如图，连接cb1、cd1，cd綊a1b1四边形a1b1cd是平行四边形a1db1c.m、n分别是cc1、b1c1的中点mnb1c，mna1d.bc綊a1d1，四边形a1bcd1是平行四边形a1bcd1.m、p分别是cc1、c1d1的中点，mpcd1mpa1bnmp和ba1d的两边分别平行且方向都相反nmpba1d.应试能力等级练(时间25分钟)11若直线a、b分别与直线l相交且所成的角相等，则a、b的位置关系是()a异面b平行c相交d三种关系都有可能解析以正方体abcda1b1c1d1为例a1b1、ab所在直线与bb1所在直线相交且所成的角相等，a1b1ab；a1b1、bc所在直线与bb1所在直线相交且所成的角相等，a1b1与bc是异面直线；ab、bc所在直线与ac所在直线相交且所成的角相等，ab与