2019-2020学年高中数学 课时作业16 平摆线和渐开线 北师大版选修4-4

课时作业(十六)1关于渐开线和平摆线的叙述，正确的是()a只有圆才有渐开线b渐开线和平摆线的概念是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形c正方形也可以有渐开线d对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同答案c解析不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形等也有渐开线，选项a错误；渐开线和平摆线的概念上虽有相似之处，但它们的实质是完全不同的，因此得到的图形也不相同，选项b错误；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同，选项d错误，只有选项c正确故选c.2已知圆的渐开线(为参数)上有一点的坐标为(3，0)，则渐开线对应的基圆的面积为()ab2c4 d9答案d解析把已知点(3，0)代入参数方程得cossin得r3cos，又tan0，所以cos1，即r3，所以基圆的面积为9.选d.3半径为2的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，则其横坐标可能是()a b2c4 d6答案c解析半径为2的圆的平摆线的参数方程为(为参数)，把y0代入参数方程得2k，kz，所以x4k，kz，当k1时，x4.选c.4已知一个圆的参数方程是(为参数)，那么圆的平摆线方程中参数对应的点的坐标与点(，2)之间的距离为()a.1 b.c. d. 答案c解析根据圆的参数方程可知圆的半径是3.那么其对应的平摆线的参数方程为(为参数)，把代入参数方程，得所以对应的点的坐标为(3(1)，3)代入距离公式，可得距离为.故选c.5半径为3的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是()a b2c12 d14答案c解析根据条件可知圆的摆线的参数方程为(为参数)，把y0代入，得cos1，所以2k(kz)而x33sin6k(kz)，根据选项可知选c.6圆的渐开线方程为(为参数)，当，时，渐开线上对应的点为a、b，则a、b间的距离为()a. b.c. d答案a解析由渐开线的形成过程知，a、b两点间的距离就是基圆上a、b两点对应的弧长，由于基圆半径为1，故由弧长公式得|ab|.7半径为5的圆沿地平面内一定直线作无滑动的滚动，圆与该直线的切点为a，则a相邻两次着地点间的距离为_答案10解析取a的初时位置为坐标原点，定直线为x轴，滚动方向为正方向建立直角坐标系，则a的轨迹方程为令y0得cos1，取10，22，则x10，x210，x2x110.8已知某渐开线的参数方程为(为参数)，根据参数方程可以得出该渐开线的基圆半径为_，当时，对应的曲线上的点的坐标为_答案(，)解析基圆半径为r的渐开线的参数方程为(为参数)，与题中所给参数方程对照可知r，时对应的点为(，)9如图所示，abcd是边长为1的正方形，曲线aefgh叫作“正方形的渐开线”，其中，的圆心依次按b，c，d，a循环，它们依次相连接，求曲线aefgh的长解析根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为；继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2.所以曲线aefgh的长是5.10已知圆c的参数方程是(为参数)和直线l对应的普通方程是xy60.(1)如果把圆心平移到原点o，请问平移后圆和直线l满足什么关系？(2)写出平移后圆的平摆线方程解析(1)圆c平移后圆心为o(0，0)，它到直线xy60的距离d6，恰好等于圆的半径，所以直线l和圆是相切的(2)由于圆的半径是6，所以可得平摆线方程是(为参数)1(2010湖南)极坐标方程cos和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是()a圆、直线b直线、圆c圆、圆 d直线、直线答案a解析cos，x2y2x表示圆y3x1表示直线2(2012湖南)在极坐标系中，曲线c1：(cossin)1与曲线c2：a(a0)有一个交点在极轴上，则a_答案解析把曲线c1：(cossin)1化成直角坐标方程，得xy1.把曲线c2：a(a0)化成直角坐标方程，得x2y2a2.c1与c2的一个交点在极轴上，xy1与x轴交点(，0)在c2上，即()20a2.又a0，a.3(2012广东)在平面直角坐标系xoy中，曲线c1和c2的参数方程分别为(t为参数)和(为参数)，则曲线c1与c2的交点坐标为_答案(1，1)解析由c1得y，即y2x(y0)由c2得x2y22.由联立得4(2012广东)在平面直角坐标系xoy中，曲线c1和c2的参数方程分别为(为参数，0)和(t为参数)，则曲线c1与c2的交点坐标为_答案(2，1)解析由c1得x2y25，且由c2得x1y.由联立得得5(2012安徽)在极坐标系中，圆4sin的圆心到直线(r)的距离是_答案解析由极坐标下圆的方程4sin，可得24sin，所以x2y24y，即x2(y2)24，表示以(0，2)为圆心，2为半径的圆又(r)表示直线yx，由点到直线的距离公式可得d.6(2012北京)直线(t是参数)与曲线(为参数)的交点个数为_答案2解析由题意知直线与曲线的参数方程可分别化为xy10，x2y29，进而求出圆心(0，0)到直线xy10的距离d0，焦点为f，准线为l.过抛物线上一点m作l的垂线，垂足为e.若|ef|mf|，点m的横坐标是3，则p_答案2解析由参数方程(t为参数)，p0，可得曲线方程为y22px(p0)|ef|mf|，且|mf|me|(抛物线定义)，mef为等边三角形又e的横坐标为，m的横坐标为3，em中点的横坐标为，与f的横坐标相同，p2.8(2012湖南)在直角坐标系xoy中，已知曲线c1：(t为参数)与曲线c2：(为参数，a0)有一个公共点在x轴上，则a_答案解析c1：c1的方程为2xy30.c2：c2的方程为1.c1与c2有一个公共点在x轴上，且a0，c1与x轴的交点(，0)在c1上，代入解得a.9(2012江西)曲线c的直角坐标方程为x2y22x0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线c的极坐标方程为_答案2cos10(2012陕西)直线2cos1与圆2cos相交的弦长为_答案解析直线2cos1，即2x1，且2cos，即为(x1)2y21，如图可得弦长为.11(2012湖北)在直角坐标系xoy中，以原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系已知射线与曲线(t为参数)相交于a，b两点，则线段ab的中点的直角坐标为_答案解析由极坐标方程可知，表示直线yx，而表示y(x2)2.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab的中点m(x0，y0)联立可得x25x40，可得x1x25.即x0y0，故m(，)12(2012上海)如图，在极坐标系中，过点m(2，0)的直线l与极轴的夹角.若将l的极坐标方程写成f()的形式，则f()_答案解析如图所示，根据正弦定理，有，.13(2011广东)已知两曲线参数方程分别为(0)，(tr)，它们的交点坐标为_答案(1，)解析由两曲线参数方程消去x，y，t，得cossin2，由此得5cos24cos50.又0，解得cos.sin.故交点坐标为(1，)14(2011湖南)在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为(为参数)，在极坐标系(与直线坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为原点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线c2的方程为(cossin)10，则c1与c2的交点个数为_答案2解析由c1：得曲线c1：x2(y1)21.由c2：(cossin)10，得曲线c2：xy10.方法一：(几何法)圆心(0，1)到直线xy10的距离d00，c1与c2有2个交点15(2011江西)若曲线的极坐标方程为2sin4cos，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为_答案x2y24x2y0解析2sin4cos，22sin4cos.将2x2y2，siny，cosx代入，有x2y22y4x，即x2y24x2y0.16(2010广东)在极坐标系(，)(02)中，曲线2sin与cos1的交点的极坐标为_答案(，)解析由2sin，cos1，得2sincos1，即sin21，2，.所以交点极坐标为(，)17(2010广东)在极坐标系(，)(02)中，曲线(cossin)1与(sincos)1的交点的极坐标为_答案(1，)解析由(cossin)1，(sincos)1，得又因0，所以即所以交点极坐标为(1，)18(2010陕西)已知圆c的参数方程为(为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin1，则直线l与圆c的交点的直角坐标为_答案(1，1)，(1，1)解析sin1y1，圆方程为x2(y1)21，联立，得到所求交点坐标为(1，1)，(1，1)19(2012福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系已知直线l上两点m，n的极坐标分别为(2，0)，圆c的参数方程为(为参数)(1)设p为线段mn的中点，求直线op的平面直角坐标方程；(2)判断直线l与圆c的位置关系解析(1)由题意知，m，n的平面直角坐标分别为(2，0)，.又p为线段mn的中点，从而点p的平面直角坐标为，故直线op的平面直角坐标方程为yx.(2)因为直线l上两点m，n的平面直角坐标分别为(2，0)，所以直线l的平面直角坐标方程为x3y20.又圆c的圆心坐标为(2，)，半径r2，圆心到直线l的距离d0，故可设t1，t2是上述方程的两实根所以又直线l过点p(3，)，故由上式及t的几何意义，得|pa|pb|t1|t2|t1t23.25(2014新课标全国)已知曲线c：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线c的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线c上任意一点p作与l夹角为30的直线，交l于点a，求|pa|的最大值与最小值解析(1)曲线c的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线c上任意一点p(2cos，3sin)到l的距离为d|4cos3sin6|，则|pa|5sin()6|，其中为锐角，且tan.当sin()1时，|pa|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|pa|取得最小值，最小值为.26(2014新课标全国)在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半