2019-2020学年高中数学 课时作业13 数学归纳法 北师大版选修4-5

课时作业(十三)1若f(n)1(nn)，则当n1时，f(n)为()a1b1c1 d1答案c解析当n1时，2n12113，故f(1)1.故选c.2用数学归纳法证明(nn)时，从“nk到nk1”时，等式左边需增添的项是()a. b.c. d.答案d解析当nk(kn)时，等号左边，当nk1时，等式左边，所以当nk到nk1时，等式左边需增添的项为.故选d.3设数列an的前n项和为sn，且a11，snn2an(nn)试归纳猜想出sn的表达式为()a. b.c. d.答案a解析因为a11，所以s11；又s24a2a1a2，所以3a21，所以a2，s2；又s39a3s2a3，8a3，所以a3，所以s3，由此可猜想sn(nn)4设f(n)(nn)，在利用数学归纳法证明时，从nk到nk1需添的项为()a. b.c. d.答案d5设平面内有k条直线，其中任意两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k1)与f(k)的关系是()af(k1)f(k)k1 bf(k1)f(k)k1cf(k1)f(k)k df(k1)f(k)k2答案c解析当nk1时，任取其中1条直线，记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f(k)kf(k1)6用数学归纳法证明“1aa2an1(a1，nn*)”时，在验证当n1成立时，左边计算所得的结果是()a1 b1ac1aa2 d1aa2a3答案c解析左边n1时，幂指数最大值为112，左边结果为1aa2.7用数学归纳法证明n(n1)(2n1)能被6整除时，由归纳假设推证nk1时命题成立，需将nk1时的原式表示成()ak(k1)(2k1)6(k1)b6k(k1)(2k1)ck(k1)(2k1)6(k1)2d以上都不对答案c8记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)()a. bc. d2答案b解析由凸k边形变为凸k1边形时，增加了一个三角形图形故f(k1)f(k).故选b.9用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除”时，第二步正确的证明方法是()a假设nk(kn*)时成立，证明nk1时命题成立b假设nk(k是正奇数)时成立，证明nk1时命题也成立c假设n2k1(kn*)时成立，证明n2k3时命题也成立d假设n2k1(kn*)时成立，证明n2k1时命题也成立答案d解析由完全归纳法知，只有当n的初始值取值成立，且nk成立，能推出nk1时也成立，才可证明结论成立，两者缺一不可a，b选项都是错误的，因为n是正奇数c选项当k1时的起始值为3，所以也不正确，故选d.10某学生在证明等差数列前n项和公式时，证法如下：(1)当n1时，s1a1显然成立(2)假设当nk(k1，kn*)时，公式成立，即skka1.当nk1时，sk1a1a2akak1a1(a1d)(a12d)a1(k1)da1kd(k1)a1d(k1)a1d.当nk1时公式成立由(1)(2)可知对nn*，公式成立以上证明错误的是()a当n取第一个值1时，证明才对b归纳假设写法不对c从nk到nk1的推理中未用归纳假设d从nk到nk1的推理有错误答案c解析因为没有用上归纳假设，所以是错误的11若凸k边形对角线条数为f(k)，则凸k1边形对角线条数f(k1)f(k)_答案k1解析凸k1边形a1a2a3ak1的对角线条数由下列三部分相加而得凸k边形a1a2a3ak的对角线条数f(k)a1ak由原凸k边形的边变为凸k1边形的对角线顶点ak1与另外k2个顶点a2、a3、ak1生成k2条对角线所以，f(k1)f(k)1(k2)f(k)k1.12用数学归纳法证明：设f(n)1，则nf(1)f(2)f(n1)nf(n)(nn*，且n2)第一步要证明的式子是_答案2f(1)2f(2)解析n2时，等式左边2f(1)，右边2f(2)13用数学归纳法证明：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)，从k到k1左端需增乘的代数式为_答案2(2k1)解析当nk时，(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)，当nk1时，(k2)(k3)2k(2k1)(2k2)2k1132k(2k1)左端需增乘2(2k1)14用数学归纳法证明：1(nn*)证明(1)当n1时，左边1，右边，命题成立(2)假设当nk(k1，且kn*)时命题成立，即有1.当nk1时，左边1.从而可知，当nk1时，命题亦成立由(1)(2)可知，命题对一切正整数n均成立15用数学归纳法证明对于整数n0，an11n2122n1能被133整除证明(1)当n0时，a011212133能被133整除(2)假设nk时，ak11k2122k1能被133整除当nk1时，ak111k3122k31111k2122122k11111k211122k1(12211)122k111(11k2122k1)133122k1.nk1时，命题也成立根据(1)(2)，对于任意整数n0，命题都成立1对于不等式n1(nn)，某学生用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n1时命题显然成立(2)假设nk(kn，k1)时原不等式成立，即k1，则nk1时，左边(k1)1.即nk1时原不等式也成立由(1)(2)可知，原不等式一切nn都成立对上述证明过程，下列说法正确的是()a过程全部分正确bn1时验证不正确c归纳假设不正确d从nk到nk1的推理不正确答案d解析上述过程中，n1的验证及假设均正确，只是在(2)中的证明没有使用归纳假设，因此证明过程错误，故选d.2证明：凸n(nn*，n4)边形的对角线的条数f(n)n(n3)证明(1)当n4时，f(4)4(43)2，四边形有两条对角线，命题成立(2)假设当nk(kn*，k4)时命题成立，即凸k边形的对角线的条数f(k)k(k3)(k4)当nk1时，凸(k1)边形是在k边形的基础上增加了一条边，增加了一个顶点ak1，增加的对角线条数是顶点ak1与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边a1ak，共增加的对角线条数为k1.f(k1)k(k3)k1(k2k2)(k1)(k2)(k1)(k1)3故当nk1时，命题也成立由(1)(2)可知，对于n4，nn*命题成立点评用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k1个时，所证的几何量将增加多少3已知函数f(x)x3x，数列an满足条件：a11，an1f(an1)试比较与1的大小，并说明理由解析231，由此猜想：an2n1.下面用数学归纳法证