复变函数习题详解习题三.doc

习题三解答A类1.沿下列路线计算积分。（1）自原点到的直线段（2）自原点沿实轴至3，再由3沿垂直向上至；（3）自原点沿虚轴至i，再由i沿水平方向右至。3+iC2C1OC3iC4y(z)3解（1） ，故，。于是x（2）。之参数方程为；之参数方程为故。（3）。；，故2分别沿与算出、积分的值。解（1）沿。此时。，于是。（2）沿，此时。，故。3.计算积分，其中是一条闭路，由直线段：，yxi(z)1O-1与上半单位圆周组成。解 区间的参数方程为即，从1到的上半单位圆周的参数方程为。于是。4设在单连域D内解析，C为D内任何一条正向简单闭曲线，问是否成立，如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。解 未必成立。令，则在全平面上解析，但是5.利用在单位圆上的性质及柯西积分公式说明，其中C表明单位圆周且沿正向积分。证 因在C上有，故又由柯西积分公式有于是6计算积分的值，其中C为正向圆周：（1）；（2）解 （1）因在上有，从而有，故有（2）因在C上有，从而有，故有7直接得到下列积分的结果，并说明理由。（1）； （2）；（3）； （4）解 （1）因被积函数的奇点均在的外部从而被积函数在1上解析，故由Cauchy-Gourssat定理，有；（2）因被积函数的奇点均在=1的外部从而它在上解析，故（3）因被积函数在全平面解析，故=0。（4）因被积函数的奇点在的外部从而它在上解析，故=08沿指定曲线的正向计算下列各积分。（1），（2），（3），（4）（5），；（6），（7），其中，；（8），其中a为的任何复数，；（9）（10），解 （1）由Cauchy积分公式，（2）由高阶求导公式，；（3）由高阶求导公式，；（4）因被积函数的奇点在C的内部，在C的外部，故由复合闭路定理及Cauchy积分公式有：=（5）因被积函数的奇点在的外部从而它在上解析，故由Cauchy-Gourssat定理，有=0。（6）解1：，解2：（7）由复合闭路定理yxO23即（8）当时，在的内部，故由高阶求导公式得当时，在的外部，故由Cauchy-Gourssat定理得；（9）由Cauchy积分公式得（10）被积函数的奇点，i在C的内部而奇点，在C的外部，作圆周和且取r充分小使得C1和C2均在C的内部并且互不相交也互不包含，则由复合闭路定理及Cauchy积分定理得9设C为不经过a与-a的正向简单闭曲线，a为不等于零的任何复数，试就a与-a同C的各种不同位置，计算积分。解 （i）当a在C的内部而-a在C的外部时。（ii）当在C的内部而a在C的外部时，（iii）当a与a在C的内部时，设,分别为以为心半径充分小的圆周使均在的内部且互不相交也互不包含，则由复合闭路定理及Cauchy积分公式得（iv）当a与a都在C的外部时，由Cauchy-Gourssat定理得。10.设与在区域D内处处解析，C为D内任何一条简单光滑闭曲线，它的内部全属于D。如果在C上所有点都成立，试证在的内部所有点处也成立。证 因在内处处解析故在上及其内部也处处解析，设为的内部的任一点，则由Cauchy积分公式有，又因在C上，故，从而由的任意性，在的内部均有。B类1、证明：若在单位圆内解析，则!, 证明 由高阶求导公式 故=取，得，n=1,2,2设在 单连通区域D内解析，且不为零，C为D内任何一条简单光滑闭曲线，问积分dz是否为零？为什么？解 等于零。因在D内解析，故具有各阶导数且仍为解析函数，从而在D内也解析，又因在D内，故在D内解析，从而在C上及C的内部也解析，于是由Cauchy-Gourssat定理，有3设函数在内解析，且沿任何圆周C：，的积分为零，问是否需在z=0处解析？试举例说明之。解 不一定。如令，则其在内解析，且沿任何圆周C：，的积分但显然在z=0处不解析。4设是单连通区域D内除以外解析的函数且，则于任一属于D而不通过的简单光滑闭曲线C，恒有。证 （i）当在C的外部时，由Cauchy-Gourssat定理显然有；（ii）当在C的内部时，设，则当r充分小时，有的内部及均含于C的内部，由复合闭路定理，有，又因，故，使得当时，有。取r充分小且，则当时，有。于是即，有，令时 得 ，即。5设C为一内部包含实轴上线段a, b的简单光滑闭曲线，函数在C内及其上解析且在a, b上取实值。证明对于任两点，总有点使证 不妨设。由Cauchy积分公式，得 （1）由数学分析中的中值定理