2019-2020学年高中数学 第2章 解析几何初步 2-1-1 直线的倾斜角和斜率学案 北师大版必修2

11直线的倾斜角和斜率1直线的确定在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向2直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0.(2)倾斜角的范围是0，180)3直线的斜率(1)定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫作这条直线的斜率，即ktan.(2)斜率与倾斜角的变化规律当倾斜角090时，斜率是非负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大；当倾斜角90180时，斜率是负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大(3)斜率公式：经过两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)的直线的斜率公式是k(x1x2)判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率()(2)倾斜角为135的直线的斜率为1.()(3)若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为ktan.()(4)直线斜率的取值范围是(，)()(5)对于不与x轴垂直的直线，直线的倾斜角越大，斜率就越大()答案(1)(2)(3)(4)(5)题型一直线的倾斜角【典例1】设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40，得直线l1，则直线l1的倾斜角为()a40b140c140d当0140时为40，当140180时为140思路导引(1)注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论解析根据题意，画出图形，如图所示：因为0180，显然a，b，c未分类讨论，均不全面，不合题意通过画图(如图所示)可知：当0140时，l1的倾斜角为40；当140180时，l1的倾斜角为40180140.故选d.答案d求直线倾斜角的方法及关注点(1)定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角(2)关注点结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论提醒：理解倾斜角的概念时，要注意三个条件：x轴正向；直线向上的方向；小于180的非负角针对训练1已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30，则直线l的倾斜角为_解析有两种情况：如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60，即直线l的倾斜角为60.如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120，即直线l的倾斜角为120.答案60或120题型二直线的斜率角度1：直线斜率的定义【典例2】已知直线l1与l2向上的方向所成的角为100，若l1的倾斜角为20，求直线l2的斜率思路导引结合题作图分析，求l2的倾斜角后利用ktan可求解如图，设直线l2的倾斜角为，斜率为k，则10020120，ktantan120.直线l2的斜率为.直线的斜率k随倾斜角增大时的变化情况(1)当090时，随的增大，k在0，)范围内增大；(2)当90180时，随的增大，k在(，0)范围内增大针对训练2如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为()ak1k2k3bk1k3k2ck2k1k3dk3k2k1解析根据“直线倾斜角均为锐角时，斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项a正确答案a角度2：直线的斜率公式【典例3】求经过下列两点的直线的斜率(如果存在)和倾斜角，其中a，b，c是两两不相等的实数(1)(a，c)，(b，c)；(2)(a，b)，(a，c)；(3)(a，ab)，(c，bc)思路导引先确定斜率，再由公式ktan确定倾斜角，当两点的横坐标相等时，斜率不存在解(1)k0，倾斜角为0.(2)直线所经过的两点的横坐标相同此直线的斜率不存在，倾斜角为90.(3)k1，倾斜角为45.只有倾斜角不是90的直线才有斜率，因此运用斜率公式时，要注意两点的横坐标是否相等针对训练3(1)已知m(1，)，n(，3)，若直线l的倾斜角是直线mn的倾斜角的一半，则直线l的斜率为()a.b.c.d1(2)经过两点a(m,6)，b(1,3m)的直线的斜率是12，则m的值为_解析(1)设直线mn的倾斜角为，则tan，60，故直线l的倾斜角为30.由tan30，得直线l的斜率为.(2)由两点连线的斜率公式可得12，解得m2.答案(1)a(2)2角度3：斜率公式的应用【典例4】已知实数x，y满足y2x8，且2x3，求的最大值和最小值思路导引实数x，y满足y2x8且2x3，可以看作线段，而可以看作是线段上的点与原点连线的斜率解如图所示，由于点(x，y)满足关系式2xy8，且2x3，可知点p(x，y)在线段ab上移动，并且a，b两点的坐标可分别求得为a(2,4)，b(3,2)由于的几何意义是直线op的斜率，且koa2，kob，所以可求得的最大值为2，最小值为.根据题目中代数式的特征，看是否可以写成的形式，若能，则联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用图形的直观性来分析解决问题针对训练4点m(x，y)在函数y2x8的图象上，当x2,5时，则的取值范围是_解析设p坐标(1，1)，a，b坐标分别为(2,4)，(5，2)，kpa，kpb，所以的取值范围是.答案1对于下列命题：若是直线l的倾斜角，则01时，tan0，090，故090.答案(0，90课后作业(十七)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1下列四个命题中，正确的命题共有 ()坐标平面内的任意一条直线均有倾斜角与斜率；直线的倾斜角的取值范围是0，180；若一条直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为；若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan.a0个 b1个 c2个 d3个解析根据斜率公式可知，倾斜角为90时，斜率不存在，故不正确；倾斜角的范围为0，180)，故不正确；若一条直线的斜率为tan，只有当0，180)时，才是直线的倾斜角，故不正确，故选a.答案a2直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是()a090 b90180c90180 d0180解析直线倾斜角的取值范围是0180，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是90180.答案c3若过两点a(4，y)、b(2，3)的直线的倾斜角为45，则y等于 ()a b. c1 d1解析直线的倾斜角为45，直线的斜率ktan451，1，y1.答案c4已知直线l的倾斜角为25，则角的取值范围为()a25，155) b25，155)c0，180) d25，205)解析因为直线倾斜角的取值范围是0，180)，所以由250，180)，得25，205)，故选d.答案d5如下图，已知直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则 ()ak1k2k3 bk3k1k2ck3k2k1 dk1k390230，所以k10k3k2.答案d6若直线ab与y轴的夹角为60，则直线ab的倾斜角为_，斜率为_. 解析因为直线ab与y轴的夹角为60，所以直线ab的倾斜角为30或150.当倾斜角为30时，斜率为tan30；当倾斜角为150时，斜率为tan150.答案30或150或7已知点a(2，1)，若在坐标轴上存在一点p，使直线pa的倾斜角为45，则点p的坐标为_解析设x轴上点p(m,0)或y轴上点p(0，n)由kpa1，得1，得m3，n3.故点p的坐标为(3,0)或(0，3)答案(3,0)或(0，3)8在平面直角坐标系中，正abc的边bc所在直线的斜率是0，则ac，ab所在直线的斜率之和为_解析如图，易知kab，kac，则kabkac0.答案09已知a(m，m3)，b(2，m1)，c(1,4)，直线ac的斜率等于直线bc的斜率的3倍，求m的值解由题意知直线ac的斜率存在，即m1.kac，kbc.3.整理得m1(m5)(m1)，即(m1)(m4)0，m4或m1(舍去)m4.10如图，已知abc三个顶点坐标a(2,1)，b(1,1)，c(2,4)，求三边所在直线的斜率，并根据斜率求这三条直线的倾斜角. 解由斜率公式知直线ab的斜率kab0，倾斜角为0.直线bc的斜率kbc1，倾斜角为135.由于点a，c的横坐标均为2，所以直线ac的倾斜角为90，其斜率不存在应试能力等级练(时间25分钟)11斜率为2的直线经过(3,5)，(a,7)，(1，b)三点，则ab的值是()a0 b3 c1 d4解析依题意，得2，2，解得a4，b3.故ab1.答案c12若经过点p(1a,1a)和q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为_. 解析k且直线的倾斜角为钝角，0，即或解得2a1.答案(2,1)13若三点a(3,1)，b(2，k)，c(8,1)能构成三角形，则实数k的取值范围为_解析kab，kac0.要使a，b，c三点能构成三角形，需三点不