2019_2020学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1用向量方法解决平行问题练习新人教A版.docx

第1课时用向量方法解决平行问题课时过关能力提升基础巩固1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ACB1的一个法向量为()A.BD1B.DBC.BA1D.BB1解析:由于直线BD1平面ACB1,所以BD1是平面ACB1的一个法向量.答案:A2设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),若,则k等于()A.2B.-4C.4D.-2解析:,1-2=2-4=-2k,k=4.答案:C3若AB=CD+CE,则直线AB与平面CDE的位置关系是()A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内解析:AB=CD+CE,AB,CD,CE共面,则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.答案:D4若两个不同的平面与的法向量分别是a=(1,0,-2),b=(-1,0,2),则平面与平面的关系是()A.平行B.垂直C.相交不垂直D.无法判断解析:a=-b,ab,.答案:A5若直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,则能使l的是()A.a=(1,0,0),u=(-2,0,0)B.a=(1,3,5),u=(1,0,1)C.a=(0,2,1),u=(-1,0,1)D.a=(1,-1,3),u=(0,3,1)解析:l,au,即au=0.故选D.答案:D6已知两个不同的平面与有公共的法向量n=(1,-1,1),则平面,的位置关系为.答案:7如图,在正三棱锥S-ABC中,点O是ABC的外心,点D是棱BC的中点,则平面ABC的一个法向量可以是,平面SAD的一个法向量可以是.答案:OSBC(答案不唯一)8已知a=(3,6,+6),b=(+1,3,2)为两个平行平面的法向量,则=.答案:29已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,M,N分别是BC,AE,CD1的中点,AD=AA1=a,AB=2a.求证:MN平面ADD1A1.证明:以D为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(a,0,0),B(a,2a,0),C(0,2a,0),D1(0,0,a),E12a,2a,0.M,N分别为AE,CD1的中点,M34a,a,0,N0,a,a2.MN=-34a,0,a2.取n=(0,1,0),显然n平面A1D1DA,且MNn=0,MNn.又MN平面ADD1A1,MN平面ADD1A1.10如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,ABC=4,PA底面ABCD,PA=2,点M为PA的中点,点N为BC的中点.AFCD于点F,如图建立空间直角坐标系.求出平面PCD的一个法向量并证明MN平面PCD.解:由题设知,在RtAFD中,AF=FD=22,A0,0,0,B1,0,0,F0,22,0,D-22,22,0,P(0,0,2),M(0,0,1),N1-24,24,0.MN=1-24,24,-1,PF=0,22,-2,PD=-22,22,-2.设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),则nPF=0,nPD=022y-2z=0,-22x+22y-2z=0,令z=2,得n=(0,4,2).因为MNn=1-24,24,-1(0,4,2)=0,且MN平面PCD,所以MN平面PCD.能力提升1已知直线l的方向向量a=2,3,13,平面的法向量为n=6,-12,若l,则的值是()A.4B.-7118C.253D.-236解析:l,an,即an=0,26+3-16=0,解得=-7118.答案:B2给出下列命题:若n1,n2分别是平面,的法向量,则n1n2;若n1,n2分别是平面,的法向量,则n1n2=0;若n是平面的法向量,且向量a与平面共面,则an=0.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.0解析:中,与可能重合;中,可得到n1n2.答案:A3在三棱锥P-ABC中,CP,CA,CB两两垂直,AC=CB=1,PC=2,在如图所示的坐标系下,下列向量是平面PAB的法向量的是()A.1,1,12B.(1,2,1)C.(1,1,1)D.(2,-2,1)解析:PA=(1,0,-2),AB=(-1,1,0).设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,1),则x-2=0,-x+y=0,解得x=2,y=2,n=(2,2,1).又1,1,12=12n,A正确.答案:A4已知直线a,b的方向向量分别为m=(4,k,k-1)和n=k,k+3,32,若ab,则k=.解析:当k=0时,a与b不平行.当k0时,由4k=kk+3=k-132,解得k=-2.答案:-25已知向量a=(1,3,5),b=(2,4,6),若n与x轴垂直,且an=12,nb=14,则n=.解析:设n=(0,y,z),由题意得3y+5z=12,4y+6z=14,解得y=-1,z=3.故n=(0,-1,3).答案:(0,-1,3)6已知平面内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面的法向量为n=(-1,-1,-1),且与不重合,则.(填“”或“”)解析:AB=(0,1,-1),AC=(1,0,-1),则nAB=-10+(-1)1+(-1)(-1)=0,nAC=-11+(-1)0+(-1)(-1)=0.又与不重合,故.答案:7在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点,求证:平面AMN平面EFBD.证法一:建立如图所示的空间直角坐标系,取MN,DB及EF的中点R,T,S,连接RA,ST,则A(2,0,0),M(1,0,4),N2,32,4,D0,0,0,B2,3,0,E0,32,4,F(1,3,4),R32,34,4,S12,94,4,T1,32,0,MN=1,32,0,EF=1,32,0,AR=-12,34,4,TS=-12,34,4.MN=EF,AR=TS,MNEF,ARTS,MN平面EFBD,AR平面EFBD.又MNAR=R,平面AMN平面EFBD.证法二:由证法一可知,A(2,0,0),M(1,0,4),N2,32,4,D(0,0,0),E0,32,4,F(1,3,4),则AM=(-1,0,4),AN=0,32,4,DE=0,32,4,DF=(1,3,4).设平面AMN,平面EFBD的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),则n1AM=0,n1AN=0-x1+4z1=0,32y1+4z1=0,令x1=1,得z1=14,y1=-23.又n2DE=0,n2DF=032y2+4z2=0,x2+3y2+4z2=0,令y2=-1,得z2=38,x2=32.n1=1,-23,14,n2=32,-1,38.n2=32n1,得n1n2.平面AMN平面EFBD.8如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EFAB,EFFB,AB=2EF,BFC=90,BF=FC,H为BC的中点,求证:FH平面EDB.证明:四边形ABCD为正方形,ABBC.又EFAB,EFBC.又EFFB,FBBC=B,EF平面BFC,EFFH.ABFH.又BF=FC,H为BC的中点,FHBC.又ABBC=B,FH平面ABC.以