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一元微积分学 高等数学 上 第十五讲微分中值定理 教案制作 吴洪武 作业 习题3 1 教材125页 1 2 3 4 5 6 第一节微分中值定理 第三章微分中值定理与导数的应用 一 费马定理 二 罗尔中值定理 三 拉格朗日中值定理 四 柯西中值定理 函数导数的定义为 导数与差商 我们常常需要从函数的导数所给出的局部的或 小范围 性质 推出其整体的或 大范围 性质 为此 我们需要建立函数的差商与函数的导数间的基本关系式 这些关系式称为 微分学中值定理 这些中值定理的创建要归功于费马 拉格朗日 柯西等数学家 首先 从直观上来看看 函数的差商与函数的导数间的基本关系式 是怎么一回事 导数与差商 相等 将割线作平行移动 那么它至少有一次会 达到这样的位置 在曲线上与割线距离最远的那一点P处成 为切线 即在点P处与曲线的切线重合 该命题就是微分中值定理 极值的定义 一 费马定理 可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零 定理 费马定理的几何解释 如何证明 则有 于是 极小值类似可证 证 但是 不保证在内部 水平的 可保证在内部一点取到极值 二 罗尔中值定理 设 则至少存在一点 定理 实际上 切线与弦线AB平行 最小值至少各一次 证 最小值至少各一次 由费马定理可知 证 其中 综上所述 连续 可微 端点函数值相等 证 由罗尔定理 至少存在一点 分析问题的条件 作出辅助函数是证明的关键 且满足罗尔定理其它条件 证 想想 看能不能找到证明的方法 证 则由已知条件可知 该矛盾说明命题为真 证 证 引理1 达布中值定理 达布中值定理 费马定理的一种推广 证明引理1 证明达布中值定理 请自己完成 如何描述 这一现象 三 拉格朗日中值定理 设 则至少存在一点 定理 切线与弦线AB平行 如何利用罗尔定理来证明 则由已知条件可得 故由罗尔定理 至少存在一点 证 还有什么 推论1 推论2 C为常数 推论3 用来证明一些重要的不等式 推论4 用来判断函数的单调性 推论5 则 再由推论4 即得命题成立 该推论可以用来证明不等式 证 解 故 从而 证 证 证 延拓 证 从而 解 解 又 故 从而 即 证 则 又 且 故 即 证 在拉格朗日中值定理中 将曲线用参数方程表示 会出现什么结论 使曲线在该点的切线与弦线平行 即它们的 斜率相等 注意 并不具备任意性 它们间的关系由曲线确定 四 柯西中值定理 设 则至少存在一点 有人想 分子分母分别用拉格朗日中值定理 就可证明柯西中值定理了 故由罗尔中值定理至少存在一点 使得 亦
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