3.3.3函数的最大(小)值与导数 (2)ppt课件.ppt

3 3 3函数的最大 小 值与导数 高二数学选修1 1第三章导数及其应用 1 f x 0 f x 0 复习 一 函数单调性与导数关系 如果在某个区间内恒有 则为常数 设函数y f x 在某个区间内可导 f x 为增函数 f x 为减函数 2 二 函数的极值定义 设函数f x 在点x0附近有定义 如果对X0附近的所有点 都有f x f x0 则f x0 是函数f x 的一个极大值 记作y极大值 f x0 如果对X0附近的所有点 都有f x f x0 则f x0 是函数f x 的一个极小值 记作y极小值 f x0 函数的极大值与极小值统称为极值 使函数取得极值的点x0称为极值点 3 观察下列图形 你能找出函数的极值吗 观察图象 我们发现 是函数y f x 的极小值 是函数y f x 的极大值 4 求解函数极值的一般步骤 1 确定函数的定义域 2 求函数的导数f x 3 求方程f x 0的根 4 用方程f x 0的根 顺次将函数的定义域分成若干个开区间 并列成表格 5 由f x 在方程f x 0的根左右的符号 来判断f x 在这个根处取极值的情况 左正右负极大值 左负右正极小值 5 在社会生活实践中 为了发挥最大的经济效益 常常遇到如何能使用料最省 产量最高 效益最大等问题 这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题 函数在什么条件下一定有最大 最小值 他们与函数极值关系如何 新课引入 极值是一个局部概念 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 6 知识回顾 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M满足 1 最大值 1 对于任意的x I 都有f x M 2 存在x0 I 使得f x0 M 那么 称M是函数y f x 的最大值 2 最小值 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M满足 1 对于任意的x I 都有f x M 2 存在x0 I 使得f x0 M 那么 称M是函数y f x 的最小值 7 观察下列图形 你能找出函数的最值吗 在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值 在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值 8 如何求出函数在 a b 上的最值 一般的如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 9 观察右边一个定义在区间 a b 上的函数y f x 的图象 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下 怎样才能判断出f x3 是最小值 而f b 是最大值呢 10 2 将y f x 的各极值与f a f b 端点处 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个最小值 求f x 在闭区间 a b 上的最值的步骤 1 求f x 在区间 a b 内极值 极大值或极小值 新授课 11 求函数的最值时 应注意以下几点 1 函数的极值是在局部范围内讨论问题 是一个局部概念 而函数的最值是对整个定义域而言 是在整体范围内讨论问题 是一个整体性的概念 2 闭区间 a b 上的连续函数一定有最值 开区间 a b 内的可导函数不一定有最值 但若有唯一的极值 则此极值必是函数的最值 3 函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个 而函数的极值则可能不止一个 也可能没有极值 并且极大值 极小值 不一定就是最大值 最小值 12 题型 求函数的最大值和最小值 1 求出所有导数为0的点 2 计算 3 比较确定最值 13 例2 求函数y x4 2x2 5在区间 2 2 上的最大值与最小值 解 令 解得x 1 0 1 当x变化时 的变化情况如下表 从上表可知 最大值是13 最小值是4 题型 求函数的最大值和最小值 14 练习 函数y x 3x 9x在 4 4 上的最大值为 最小值为 分析 1 由f x 3x 6x 9 0 2 区间 4 4 端点处的函数值为f 4 20 f 4 76 得x1 3 x2 1 函数值为f 3 27 f 1 5 76 5 当x变化时 y y的变化情况如下表 比较以上各函数值 可知函数在 4 4 上的最大值为f 4 76 最小值为f 1 5 15 练习 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值 54 54 22 10 2 18 a a 40 16 典型例题 反思 本题属于逆向探究题型 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上 从而解决问题 往往伴随有分类讨论 17 拓展提高 1 我们知道 如果在闭区间 a b 上函数y f x 的图像是一条连续不断的曲线 那么它必定有最大值和最小值 那么把闭区间 a b 换成开区间 a b 是否一定有最值呢 如下图 不一定 2 函数f x 有一个极值点时 极值点必定是最值点 3 如果函数f x 在开区间 a b 上只有一个极值点 那么这个极值点必定是最值点 18 有两个极值点时 函数有无最值情况不定 19 动手试试 20 4 函数y x3 3x2 在 2 4 上的最大值为 A 4 B 0 C 16 D 20 C 21 1 求函数f x x2 4x 6在区间 1 5 内的极值与最值 故函数f x 在区间 1 5 内的极小值为3 最大值为11 最小值为2 解法二 f x 2x 4 令f x 0 即2x 4 0 得x 2 3 11 2 选做题 解法一 将二次函数f x x2 4x 6配方 利用二次函数单调性处理 22 2 解 令 解得 x 0 0 0 0 0 23 应用 2009年天津 文 21T 答 1 斜率为1