《工程流体力学》电子教案第四至七章

工程流体力学 第四至七章 周云龙洪文鹏合编 开始 第四章不可压缩流体的有旋流动和二维无旋流动 第一节流体微团运动分析第二节有旋流动和无旋流动第三节无旋流动的速度势函数第四节二维平面流动的流函数第五节基本的平面有势流动第六节平面势流的叠加流动 欢迎进入第四章的学习 流体由于具有易变形的特性 易流动性 因此流体的运动要比工程力学中的刚体的运动复杂得多 在流体运动中 有旋流动和无旋流动是流体运动的两种类型 由流体微团运动分析可知 有旋流动是指流体微团旋转角速度的流动 无旋流动是指的流动 实际上 黏性流体的流动大多数是有旋流动 而且有时是以明显的旋涡形式出现的 如桥墩背流面的旋涡区 船只运动时船尾后形成的旋涡 大气中形成的龙卷风等等 但在更多的情况下 流体运动的有旋性并不是一眼就能看得出来的 如当流体绕流物体时 在物体表面附近形成的速度梯度很大的薄层内 每一点都有旋涡 而这些旋涡肉眼却是观察不到的 至于工程中大量存在着的紊流运动 更是充满着尺度不同的大小旋涡 流体的无旋流动虽然在工程上出现得较少 但无旋流动比有旋流动在数学处理上简单得多 因此 对二维平面势流在理论研究方面较成熟 对工程中的某些问题 在特定条件下对黏性较小的流体运动进行无旋处理 用势流理论去研究其运动规律 特别是绕流物体的流动规律 对工程实践具有指导意义和应用价值 因此 本章先阐述有旋流动的基本概念及基本性质 然后再介绍二维平面势流理论 第一节流体微团运动分析 刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分 流体与刚体的主要不同在于它具有流动性 极易变形 因此 任一流体微团在运动过程中不但与刚体一样可以移动和转动 而且还会发生变形运动 所以 在一般情况下流体微团的运动可以分解为移动 转动和变形运动三部分 一 表示流体微团运动特征的速度表达式 图4 1分析流体微团运动用图 剪切变形速率 引入记号 并赋予运动特征名称 线变形速率 4 1 4 2 于是可得到表示流体微团运动特征的速度表达式为 旋转角速度 4 3 4 4 二 流体微团运动的分解 为进一步分析流体微团的分解运动及其几何特征 对式 4 4 有较深刻的理解 现在分别说明流体微团在运动过程中所呈现出的平移运动 线变形运动 角变形运动和旋转运动 为简化分析 仅讨论在平面上流体微团的运动 假设在时刻 流体微团ABCD为矩形 其上各点的速度分量如图4 2所示 由于微团上各点的速度不同 经过时间 势必发生不同的运动 微团的位置和形状都将发生变化 现分析如下 1 平移运动 图4 2分析流体微团平面运动用图 a 2 线变形运动 b 图4 3流体微团平面运动的分解 a 返回 图4 3流体微团平面运动的分解 b 返回 图4 3流体微团平面运动的分解 c 返回 图4 3流体微团平面运动的分解 d 返回 3 角变形运动 c 4 旋转运动 d 综上所述 在一般情况下 流体微团的运动总是可以分解成 整体平移运动 旋转运动 线变形运动及角变形运动 与此相对应的是平移速度 旋转角速度 线变形速率和剪切变形速率 第二节有旋流动和无旋流动 一 有旋流动和无旋流动的定义二 速度环量和旋涡强度 一 有旋流动和无旋流动的定义 流体的流动是有旋还是无旋 是由流体微团本身是否旋转来决定的 流体在流动中 如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动 则称为有旋流动 如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动 则称为无旋流动 这里需要说明的是 判断流体流动是有旋流动还是无旋流动 仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定 而与流体微团的运动轨迹无关 在图4 4 a 中 虽然流体微团运动轨迹是圆形 但由于微团本身不旋转 故它是无旋流动 在图4 4 b 中 虽然流体微团运动轨迹是直线 但微团绕自身轴线旋转 故它是有旋流动 在日常生活中也有类似的例子 例如儿童玩的活动转椅 当转轮绕水平轴旋转时 每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动 但是每个儿童始终是头向上 脸朝着一个方向 即儿童对地来说没有旋转 图4 4流体微团运动 无旋流动 有旋流动 判断流体微团无旋流动的条件是 流体中每一个流体微团都满足 根据式 4 3 则有 4 8 二 速度环量和旋涡强度 1 速度环量为了进一步了解流场的运动性质 引入流体力学中重要的基本概念之一 速度环量 在流场中任取封闭曲线k 如图4 5所示 速度沿该封闭曲线的线积分称为速度沿封闭曲线k的环量 简称速度环量 用表示 即式中 在封闭曲线上的速度矢量 速度与该点上切线之间的夹角 速度环量是个标量 但具有正负号 4 9 图4 5沿封闭曲线的速度环量 在封闭曲线k上的速度矢量 速度与该点上切线之间的夹角 速度环量的正负不仅与速度方向有关 而且与积分时所取的绕行方向有关 通常规定逆时针方向为K的正方向 即封闭曲线所包围的面积总在前进方向的左侧 如图4 5所示 当沿顺时针方向绕行时 式 4 9 应加一负号 实际上 速度环量所表征的是流体质点沿封闭曲线K运动的总的趋势的大小 或者说所反映的是流体的有旋性 由于和 则 代入式 4 9 得 4 10 2 旋涡强度 沿封闭曲线 的速度环量与有旋流动之间有一个重要的关系 现仅以平面流动为例找出这个关系 如图4 6所示 在平面上取一微元矩形封闭曲线 其面积 流体在A点的速度分量为和 则B C和D点的速度分量分别为 图4 6沿微元矩形的速度环量 于是 沿封闭曲线反时针方向ABCDA的速度环量将 和 各值代入上式 略去高于一阶的无穷小各项 再将式 4 3 的第三式代入后 得然后将式 4 11 对面积积分 得 4 11 4 12 于是得到速度环量与旋转角速度之间关系的斯托克斯定理 沿封闭曲线的速度环量等于该封闭周线内所有的旋转角速度的面积积分的二倍 称之为旋涡强度I 即和式中 在微元面积的外法线上的分量 4 13 由式 4 11 可导出另一个表示有旋流动的量 称为涡量 以表示之 它定义为单位面积上的速度环量 是一个矢量 它在Z轴方向的分量为对于流体的空间流动 同样可求得X和Y轴方向涡量的分量和 于是得即 4 14 4 15 也就是说 在有旋流动中 流体运动速度的旋度称为涡量 由此可见 在流体流动中 如果涡量的三个分量中有一个不等于零 即为有旋流动 如果在一个流动区域内各处的涡量或它的分量都等于零 也就是沿任何封闭曲线的速度环量都等于零 则在这个区域内的流动一定是无旋流动 下面举两个简单的例子来说明速度环量和旋涡强度的物理意义 以及有旋流动和无旋流动的区别 例4 1 一个以角速度按反时针方向作像刚体一样的旋转的流动 如图4 7所示 试求在这个流场中沿封闭曲线的速度环量 并证明它是有旋流动 解 例4 2 一个流体绕O点作同心圆的平面流动 流场中各点的圆周速度的大小与该点半径成反比 即 其中C为常数 如图4 8所示 试求在流场中沿封闭曲线的速度环量 并分析它的流动情况 解 解 在流场中对应于任意两个半径和的圆周速度各为和 沿图中画斜线扇形部分的周界ABCDA的速度环量可见 在这个区域内是有旋流动 又由于扇形面积于是上式正是斯托克斯定理的一个例证 以上结论可推广适用于圆内任意区域内 返回例题 图4 7有旋流动中速度环量的计算 图4 8无旋流动中速度环量的计算 返回例题 解 沿扇形面积周界的速度环量可见 在这区域内是无旋流动 这结论可推广适用于任何不包围圆心O的区域内 例如 若包有圆心 该处速度等于无限大 应作例外来处理 现在求沿半径的圆周封闭曲线的速度环量上式说明 绕任何一个圆周的流场中 速度环量都不等于零 并保持一个常数 所以是有旋流动 但凡是绕不包括圆心在内的任何圆周的速度环量必等于零 故在圆心O点处必有旋涡存在 圆心是一个孤立涡点 称为奇点 返回例题 第三节无旋流动的速度势函数 如前所述 在流场中流体微团的旋转角速度在任意时刻处处为零 即满足的流动为无旋流动 无旋流动也称为有势流动 一 速度势函数引入二 速度势函数的性质 一 速度势函数引入 由数学分析可知 是成为某一标量函数全微分的充分必要条件 则函数称为速度势函数 因此 也可以说 存在速度势函数的流动为有势流动 简称势流 根据全微分理论 势函数的全微分可写成于是得 4 16 按矢量分析对于圆柱坐标系 则有于是从以上分析可知 不论是可压缩流体还是不可压缩流体 也不论是定常流动还是非定常流动 只要满足无旋流动条件 必然存在速度势函数 4 17 4 18 二 速度势函数的性质 1 不可压缩流体的有势流动中 势函数满足拉普拉斯方程 势函数是调和函数 将式 4 16 代入到不可压缩流体的连续性方程 3 28 中 则有式中为拉普拉斯算子 式 4 19 称为拉普拉斯方程 所以在不可压流体的有势流动中 速度势必定满足拉普拉斯方程 而凡是满足拉普拉斯方程的函数 在数学分析中称为调和函数 所以速度势函数是一个调和函数 4 19 从上可见 在不可压流体的有势流动中 拉普拉斯方程实质是连续方程的一种特殊形式 这样把求解无旋流动的问题 就变为求解满足一定边界条件下的拉普拉斯方程的问题 2 任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数值之差 而与曲线的形状无关 根据速度环量的定义 沿任意曲线AB的线积分这样 将求环量问题 变为求速度势函数值之差的问题 对于任意封闭曲线 若A点和B点重合 速度势函数是单值且连续的 则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于零 即 第四节二维平面流动的流函数 一 流函数的引入对于流体的平面流动 其流线的微分方程为 将其改写成下列形式 4 20 在不可压缩流体的平面流动中 速度场必须满足不可压缩流体的连续性方程 即或 4 21 由数学分析可知 式 4 21 是 成为某函数全微分的充分必要条件 以表示该函数 则有 4 22 函数称为流场的流函数 由式 4 22 可得 4 23 由式 4 22 令 即常数 可得流线微分方程式 4 20 由此可见 常数的曲线即为流线 若给定一组常数值 就可得到流线簇 或者说 只要给定流场中某一固定点的坐标 代入流函数 便可得到一条过该点的确定的流线 因此 借助流函数可以形象地描述不可压缩平面流场 对于极坐标系 可写成 4 24 4 25 在已知速度分布的情况下 流函数的求法与速度势函数一样 可由曲线积分得出 至此可看到 在不可压缩平面流动中 只要求出了流函数 由式 4 23 或式 4 24 就可求出速度分布 反之 只要流动满足不可压缩流体的连续性方程 不论流场是否有旋 流动是否定常 流体是理想流体还是黏性流体 必然存在流函数 这里需说明 等流函数线与流线等同 仅在平面流动时成立 对于三维流动 不存在流函数 也就不存在等流函数线 但流线还是存在的 二 流函数的性质 1 对于不可压缩流体的平面流动 流函数永远满足连续性方程 将式 4 23 代入式 4 21 得即流函数永远满足连续性方程 2 对于不可压缩流体的平面势流 流函数满足拉普拉斯方程 流函数也是调和函数 对于平面无旋流动 则将式 4 23 代入上式因此 不可压缩流体平面无旋流动的流函数也满足拉普拉斯方程 也是一个调和函数 因此 在平面不可压缩流体的有势流场中的求解问题 可以转化为求解一个满足边界条件的的拉普拉斯方程 3 平面流动中 通过两条流线间任一曲线单位厚度的体积流量等于两条流线的流函数之差 这就是流函数的物理意义 如图4 9所示 在两流线间任一曲线AB 则通过单位厚度的体积流量为 4 26 由式 4 26 可知 平面流动中两条流线间通过的流量等于这两条流线上的流函数之差 图4 9说明流函数物理意义用图 三 和的关系 1 满足柯西 黎曼条件如果是不可压缩流体的平面无旋流动 必然同时存在着速度势和流函数 比较式 4 16 和式 4 23 可得到速度势函数和流函数之间存在的如下关系 4 27 4 28 这是一对非常重要的关系式 在高等数学中称作柯西 黎曼条件 因此 和互为共轭调和函数 这就有可能使我们利用复变函数这样一种有力的工具求解此类问题 当势函数和流函数二者知其一时 另一个则可利用式 4 27 的关系求出 而至多相差一任意常数 2 流线与等势线正交 式 4 28 是等势线簇 常数 和流线簇 常数 互相正交的条件 若在同一流场中绘出相应的一系列流线和等势线 则它们必然构成正交网格 称为流网 如图4 10所示 图4 10流网 例4 3 有一不可压流体平面流动的速度分布为 该平面流动是否存在流函数和速度势函数 若存在 试求出其表达式 若在流场中A 1m 1m 处的绝对压强为1 4 105Pa 流体的密度1 2kg m3 则B 2m 5m 处的绝对压强是多少 解 1 由不可压流体平面流动的连续性方程该流动满足连续性方程 流动是存在的 存在流函数 由于是平面流动该流动无旋 存在速度势函数 2 由流函数的全微分得 积分由速度势函数的全微分得 积分 3 由于 因此 A和B处的速度分别为由伯努里方程可得 第五节基本的平面有势流动 流体的平面有势流动是相当复杂的 很多复杂的平面有势流动可以由一些简单的有势流动叠加而成 所以 我们首先介绍几种基本的平面有势流动 它包括均匀直线流动 点源和点汇 点涡等 一 均匀直线流动 流体作均匀直线流动时 流场中各点速度的大小相等 方向相同 即和 由式 4 16 和式 4 23 得于是速度势和流函数各为以上两式中的积分常数和可以任意选取 而不影响流体的流动图形 称为流谱 若令 即得均匀直线流动的速度势和流函数各为 4 29 4 30 由式 4 29 和式 4 30 可知 等势线簇 常数 和流线簇 常数 互相垂直 如图4 11所示 各流线与轴的夹角等于 由于流场中各点的速度都相等 根据伯努里方程 3 41 得常数如果均匀直线流动在水平面上 或流体为气体 一般可以忽略重力的影响 于是常数即流场中压强处处相等 图4 11均匀直线流的流谱 二 平面点源和点汇 如果在无限平面上流体不断从一点沿径向直线均匀地向各方流出 则这种流动称为点源 这个点称为源点 图4 12 a 若流体不断沿径向直线均匀地从各方流入一点 则这种流动称为点汇 这个点称为汇点 图4 12 b 显然 这两种流动的流线都是从原点O发出的放射线 即从源点流出和向汇点流入都只有径向速度 现将极坐标的原点作为源点或汇点 则 图4 12点源和点汇的流谱 点源 点汇 back 根据流动的连续性条件 流体每秒通过任一半径为的单位长度圆柱面上的流量都应该相等 即常数由此得 4 31 式中是点源或点汇在每秒内流出或流入的流量 称为点源强度或点汇强度 对于点源 与同向 取正号 对于点汇 与异向 取负号 于是积分得式中积分常数是任意给定的 现令 又由于 于是得速度势 4 32 当时 速度势和速度都变成无穷大 源点和汇点都是奇点 所以速度势和速度的表达式 4 31 和式 4 32 只有在源点和汇点以外才能应用 现在求流函数 由式 4 25 积分得 令式中的积分常数为零 4 33 等势线簇 常数 即常数 是同心圆簇 在图4 12中用虚线表示 与流线簇 常数 即常数 成正交 而且除源点或汇点外 整个平面上都是有势流动 如果平面是无限水平面 则根据伯努里方程 3 41 式中为在处的流体压强 该处的速度为零 将式 4 31 代入上式 得 4 34 由式 4 34 可知 压强随着半径的减小而降低 当时 图4 13表示当时 点汇沿半径的压强分布 图4 13点汇沿半径的压强分布 三 点涡 设有一旋涡强度为的无限长直线涡束 该涡束以等角速度绕自身轴旋转 并带动涡束周围的流体绕其环流 由于直线涡束为无限长 所以可以认为与涡束垂直的所有平面上的流动情况都一样 也就是说 这种绕无限长直线涡束的流动可以作为平面流动来处理 由涡束所诱导出的环流的流线是许多同心圆 如图4 14所示 根据斯托克斯定理可知 沿任一同心圆周流线的速度环量等于涡束的旋涡强度 即常数于是 4 35 因此涡束外的速度与半径成反比 若涡束的半径 则成为一条涡线 这样的流动称为点涡 又称为纯环流 但当时 所以涡点是一个奇点 图4 14点涡的流谱 现在求点涡的速度势和流函数 由于由积分后得速度势 4 36 又由于由积分后得流函数 4 37 当时 环流为反时针方向 如图4 14所示 当时 环流为顺时针方向 由式 4 36 和式 4 37 可知 点涡的等势线簇是经过涡点的放射线 而流线簇是同心圆 而且除涡点外 整个平面上都是有势流动 设涡束的半径为 涡束边缘上的速度为 压强为 时的速度显然为零 而压强为 代入伯努里方程 3 41 得涡束外区域内的压强分布为 4 38 由式 4 38 可知 在涡束外区域内的压强随着半径的减小而降低 涡束外缘上的压强为或 4 39 所以涡束外区域内从涡束边缘到无穷远处的压强降是一个常数 又由式 4 38 可知 在处 压强 显然这是不可能的 所以在涡束内确实存在如同刚体一样以等角速度旋转的旋涡区域 称为涡核区 由式 4 39 可得涡核的半径 由于涡核内是有旋流动 故流体的压强可以根据欧拉运动微分方程求得 平面定常流动的欧拉运动微分方程为将涡核内任一点的速度和代入上两式 得以和分别乘以上两式 然后相加 得或积分得 在处 代入上式 得最后得涡核区域内的压强分布为 4 40 或 4 40a 于是涡核中心的压强而涡核边缘的压强所以可见 涡核内 外的压强降相等 都等于用涡核边缘速度计算的动压头 涡核内 外的速度分布和压强分布如图4 15所示 图5 14涡流中涡核内 外的速度和压强分布 第六节平面势流的叠加流动 从上节可以看到 只有对一些简单的有势流动 才能求出它们流函数和势函数 但当流动较复杂时 根据流动直接求解流函数和势函数往往十分困难 我们可以将一些简单有势流动进行叠加 得到较复杂的流动 这样一来 为求解流动复杂的流场提供了一个有力的工具 因此 本节先介绍势流的叠加原理 然后再介绍几种典型的有实际意义的叠加流动 一 势流叠加原理 前面我们知道 速度势函数和流函数都满足拉普拉斯方程 凡是满足拉普拉斯方程的函数 在数学分析上都称为调和函数 所以速度势函数和流函数都是调和函数 根据调和函数的性质 即若干个调和函数的线性组合仍然是调和函数 可将若干个速度势函数 或流函数 线性组合成一个代表某一有势流动的速度势函数 或流函数 现将若干个速度势函数 叠加 得 4 41 而 4 42 显然 叠加后新的速度势函数也满足拉普拉斯方程 同样 叠加后新的流函数也满足拉普拉斯方程 即 4 43 这个叠加原理方法简单 在实际应用上有很大意义 可以应用这个原理把上一节所讨论的几个简单的基本平面有势流动叠加成所需要的复杂有势流动 将新的速度势函数分别对 和取偏导数 就等于新的有势流动的速度分别在 和轴方向上的分量 4 44 或 4 45 即 4 46 由此可见 叠加后所得的复杂有势流动的速度为叠加前原来的有势流动速度的矢量和 由此 可得出一个重要结论 叠加两个或多个不可压平面势流流动组成一个新的复合流动 只要把各原始流动的势函数或流函数简单地代数相加 就可得到该复合流动的势函数或流函数 该结论称为势流的叠加原理 二 螺旋流 螺旋流是点涡和点汇的叠加 将式 4 36 和式 4 32 相加以及将式 4 37 和式 4 33 相加即得新的有势流动的速度势和流函数 4 47 4 48 式中取反时针方向为正 于是得等势线方程常数或 4 49 流线方程为常数或 4 50 显然 等势线簇和流线簇是两组互相正交的对数螺旋线簇 图4 16 称为螺旋流 流体从四周向中心流动 图4 16螺旋流的流谱 研究螺旋流在工程上有重要意义 例如旋流燃烧室 旋风除尘设备及多级离心泵反导叶中的旋转气流即可看成是这种螺旋流 螺旋流的速度分布为 4 51 4 52 4 53 代入伯努里方程 3 41 得流场的压强分布 4 54 三 偶极流 将流量各为的点源和的点汇相距2a距离放在X轴上 叠加后的流动图形如图4 17所示 它的速度势和流函数各为 4 55 4 56 由流线方程 4 56 常数 得常数 所以流线是经过源点A和汇点B的圆簇 而且从源点流出的流量全部流入汇点 图4 17点源和点汇的叠加 常数 现在分析一种在点源和点汇无限接近的同时 流量无限增大 即 以至使保持一个有限常数值的极限情况 在这种极限情况下的流动称为偶极流 称为偶极矩或偶极强度 偶极流是有方向的 一般规定由点源指向点汇的方向为正向 如图4 18所示 偶极流指向轴方向 这时的偶极矩取正值 偶极流的速度势可由式 4 55 根据上述极限条件求得 将式 4 55 改写成 常数 常数 图4 18偶极流的流谱 从图4 19中可知 当A点和B点向原点O无限接近时 而且当 时 又由于当为无穷小时 可以略去高阶项 得 因此 偶极流的速度势或 4 57 图4 19推导偶极流用图 在图4 19中 BC为从B点向AP所作的垂线 则又当 所以 代入式 4 56 得偶极流的流函数或 4 58 令式 4 58 等于常数 于是得流线方程 4 59 即流线簇是半径为 圆心为 0 且与轴在原点相切的圆簇 如图4 18中实线所示 又令式 4 57 等于常数 得等势线方程 4 60 即等势线簇是半径为 圆心为 0 且与轴在原点相切的圆簇 如图4 18中虚线所示 四 绕圆柱体无环量流动 将均匀直线流与偶极流叠加 可以得到绕圆柱体无环量流动 设有一在无穷远处速度为 平行于X轴 由左向右流的均匀直线流 与在坐标原点O上偶极矩为M 方向与X轴相反的偶极流叠加 如图4 20所示 组合流动的流函数为 4 61 流线方程 4 62 选取不同的常数值 可得到如图4 20所示的流动图形 对的所谓零流线的方程为或 图4 20均匀流绕圆柱体无环量流动 由此可知 零流线是一个以坐标原点为圆心 半径的圆周与正负X轴和所构成的图形 该流线到A点处分为两段 沿上 下两个半圆周流到B点 又重新汇合 这个平面组合流动的流函数为 4 63 同样 也可得到它的速度势 4 64 以上两式中 这是因为的圆柱体内的流动没有实际意义 流场中任一点的速度分量为 4 65 在 处 这表示 在离开圆柱体无穷远处是速度为的均匀直线流动 在图4 20中的A点 0 和B点 0 处 A点为前驻点 B点为后驻点 用极坐标表示的速度分量为 4 66 沿包围圆柱体圆周的速度环量为所以 均匀直线流绕圆柱体的平面流动是没有速度环量的 因此 一个速度为的均匀直线流绕半径为的圆柱体无环量的平面流动 可以用由这个均匀直线流与偶极矩的偶极流叠加而成的平面组合流动来代替 当 在圆柱面上 4 67 这说明 流体在圆柱面上各点的速度都是沿切线方向的 也就是说理想流体绕圆柱体无环量的平面流动不会与圆柱面发生分离 由式 4 67 可知 在圆柱面上的速度是按照正弦曲线规律分布的 如图4 21所示 在 图4 20中的B点 和 图4 20中的A点 处 在处 达到最大值 与圆柱体的半径无关 而等于无穷远处速度的两倍 由伯努里方程 3 41 可求得不可压缩理想流体的圆柱面上压强分布的公式 即将式 4 67 代入上式 得 4 68 在工程上常用无量纲的压强系数来表示流体的压强分布 它定义为 4 69 将式 4 68 代入上式 得 4 70 无穷远处流体的压强 图4 21均直流绕圆柱体无环量流动中圆柱面上的速度分布 根据式 4 70 计算出理论无量纲压强系数曲线如图4 22中实线所示 注意 在计算时 角是从前驻点A 起沿顺时针方向增加 在前驻点A 上 速度等于零 压强达到最大值 垂直于来流方向的最大截面 上 速度增加到最大值 压强降到最小值 在后驻点B 上 速度又降到零 压强又回升到最大值 这种流动在圆柱面上的压强分布上下 前后都是对称的 因此流体作用在圆柱面上的压强合力等于零 由于流体作用在圆柱面上的压强合力可分为与来流方向垂直的升力和与来流方向平行的阻力 因此 无黏性的理想流体绕圆柱体无环量流动时 圆柱体上既不承受升力 也不承受阻力 不承受升力与实际情况是相符合的 但是不承受阻力则与实际情况大不相符 这就是著名的达朗伯 J R d Alembert 疑题 事实上 有黏性的实际流体绕圆柱体无环量流动时 在圆柱面上流动方向的压强分布是不对称的 这是由于实际流体存在着黏性 当流体绕流圆柱体时 从前驻点开始在圆柱面上逐渐形成一层边界层 在第五章中讲述 流体在圆柱体的前半部的流动是降压增速 边界层处于较稳定状态 到圆柱体的后半部变为升压减速流动 容易发生边界层分离 在圆柱体后面形成尾涡区 压强下降 破坏了圆柱体面上前后压强分布的对称性 使圆柱体前后产生压强差 形成压差阻力 图4 22中所示的实验所得的亚临界雷诺数下 层流 的压强分布曲线 虚线 比超临界雷诺数下 紊流 的压强分布曲线 点划线 更远离理论曲线 根据实验所得 在亚临界雷诺数下层流边界层的分离和超临界雷诺数下紊流边界层的分离分别发生在大约和附近 图4 22压强系数沿圆柱面的分布 理论线 超临界 亚临界 第五章不可压缩流体二维边界层概述 第一节边界层的基本概念第二节边界层的动量积分方程第三节曲面边界层分离现象卡门涡街第四节绕流阻力和阻力系数 在本世纪初之前 流体力学的研究分为两个分支 一是研究流体运动时不考虑黏性 运用数学工具分析流体的运动规律 另一个是不用数学理论而完全建立在实验基础上对流体运动进行研究 解决了技术发展中许多重要问题 但其结果常受实验条件限制 这两个分支的研究方法完全不同 这种理论和实验分离的现象持续了150多年 直到本世纪初普朗特提出了边界层理论为止 由于边界层理论具有广泛的理论和实用意义 因此得到了迅速发展 成为黏性流体动力学的一个重要领域 本章介绍边界层的基本概念及研究方法 第一节边界层的基本概念 一 边界层的概念 1904年 在德国举行的第三届国际数学家学会上 德国著名的力学家普朗特第一次提出了边界层的概念 他认为对于水和空气等黏度很小的流体 在大雷诺数下绕物体流动时 黏性对流动的影响仅限于紧贴物体壁面的薄层中 而在这一薄层外黏性影响很小 完全可以忽略不计 这一薄层称为边界层 普朗特的这一理论 在流体力学的发展史上有划时代的意义 图5 1所示为大雷诺数下黏性流体绕流翼型的二维流动 根据普朗特边界层理论 把大雷诺数下均匀绕流物体表面的流场划分为三个区域 即边界层 外部势流和尾涡区 图5 1翼型上的边界层 III外部势流 II尾部流区域 I边界层 边界层外边界 边界层外边界 在边界层和尾涡区内 黏性力作用显著 黏性力和惯性力有相同的数量级 属于黏性流体的有旋流动区 在边界层和尾涡区外 流体的运动速度几乎相同 速度梯度很小 边界层外部的流动不受固体壁面的影响 即使黏度较大的流体 黏性力也很小 主要是惯性力 所以可将这个区域看作是理想流体势流区 可以利用前面介绍的势流理论和理想流体伯努里方程来研究流场的速度分布 普朗特边界层理论开辟了用理想流体理论和黏性流体理论联合研究的一条新途径 实际上边界层内 外区域并没有明显的分界面 一般将壁面流速为零与流速达到来流速度的99 处之间的距离定义为边界层厚度 边界层厚度沿着流体流动方向逐渐增厚 这是由于边界层中流体质点受到摩擦阻力的作用 沿着流体流动方向速度逐渐减小 因此 只有离壁面逐渐远些 也就是边界层厚度逐渐大些才能达到来流速度 根据实验结果可知 同管流一样 边界层内也存在着层流和紊流两种流动状态 若全部边界层内部都是层流 称为层流边界层 若在边界层起始部分内是层流 而在其余部分内是紊流 称为混合边界层 如图5 2所示 在层流变为紊流之间有一过渡区 在紊流边界层内紧靠壁面处也有一层极薄的层流底层 判别边界层的层流和紊流的准则数仍为雷诺数 但雷诺数中的特征尺寸用离前缘点的距离x表示之 特征速度取边界层外边界上的速度 即 5 1 图5 2平板上的混合边界层 层流边界层 过渡区域 紊流边界层 层流底层 对平板的边界层 层流转变为紊流的临界雷诺数为 临界雷诺数的大小与物体壁面的粗糙度 层外流体的紊流度等因素有关 增加壁面粗糙度或层外流体的紊流度都会降低临界雷诺数的数值 使层流边界层提前转变为紊流边界层 二 边界层的基本特征 1 与物体的特征长度相比 边界层的厚度很小 2 边界层内沿厚度方向 存在很大的速度梯度 3 边界层厚度沿流体流动方向是增加的 由于边界层内流体质点受到黏性力的作用 流动速度降低 所以要达到外部势流速度 边界层厚度必然逐渐增加 4 由于边界层很薄 可以近似认为边界层中各截面上的压强等于同一截面上边界层外边界上的压强值 5 在边界层内 黏性力与惯性力同一数量级 6 边界层内的流态 也有层流和紊流两种流态 第二节边界层的动量积分方程 边界层内的流体是黏性流体的运动 理论上可以用N S方程来研究其运动规律 但由此得到的边界层微分方程中 非线性项仍存在 因此即使对于外形很简单的绕流物体求解也是很复杂的 目前只能对平板 楔形体绕流层流边界层进行理论计算求得其解析解 但工程上遇到的很多问题 如任意翼型的绕流问题和紊流边界层 一般来说求解比较困难 为此人们常采用近似解法 其中应用的较为广泛的是边界层动量积分方程解法 下面来推导边界层动量积分方程 假定平面边界内流动是定常的并忽略质量力 在边界层的任一处 取单位宽度 沿边界层长度为d的微元段作为控制体 如图5 3所示 控制体的控制面由边界层的横断面AB与CD以及内边界AD和外边界BC组成 对控制体应用物理概念十分清楚的动量方程则有 通过控制面AB BC CD的动量变化率等于作用在控制面AB BC CD AD上所有外力的合力 首先计算通过边界层控制面在轴方向上的动量变化率 单位时间流入x处控制面AB的动量为 从处控制面CD流出的动量为 从控制面BC流入的动量采用下列求法 首先计算从处控制面AB流入的质量流量 而从处控制面CD流出的质量流量为 由不可压缩流体的连续性方程可知 通过CD与AB控制面质量流量的差值应等于由BC控制面流入的质量流量 于是流入BC控制面的质量流量与动量分别为 图5 3推导边界层的动量积分关系式用图 整理上述单位时间内通过控制面的流体动量的通量在x方向的分量 得 下面计算作用在控制面上所有外力在x轴方向的合力 忽略质量力 故只有表面力 作用在控制面AD上的表面力为 作用在控制面AB CD上的表面力分别为 作用在边界层外边界控制面BC上的表面力 因摩擦应力为零 而压强可取B C两点压强的平均值 于是有 整理上述作用在控制面上的所有表面力在x方向的代数和 并注意到略去二阶小量 得 式 5 2 又称为边界层动量积分关系式 该式是匈牙利科学家冯 卡门 Von Karman 于1921年根据边界层的动量定理首先推导出来的 由于在推导过程中未加任何近似条件 从这个意义上讲 它是严格的 而且对边界层的流动性质也未加限制 因此它既可求解层流边界层 又可适用于紊流边界层 根据动量定理 令 可得边界层动量积分方程为 5 2 由于积分上限只是的函数 因此式 5 2 中的可写成 又根据势流的伯努里方程 注意到式 5 3 则式 5 2 可写成 常数 则有 5 3 5 4 考察边界层的动量积分方程式 5 2 和式 5 4 可以看到 方程中含有五个未知量 其中和可由主流区的势流方程求得 剩下的三个未知量是 因此要求解边界层动量积分方程 原则上还需要补充两个方程 即 1 满足绕流物体壁面条件和边界层外边界条件的速度分布 2 与速度分布有关的与的关系式 事实上 与的关系可根据边界层内的速度分布求出 通常在求解边界层动量积分方程时 总是先选取边界层内速度分布 选取的速度分布越接近实际 则所得结果越正确 但由于边界层运动的复杂性 而预先选定的速度分布只能满足主要的边界条件 不可能正好满足动量积分方程 这样求得的结果 等 就都是近似的 故积分方程的解法只能是近似的解法 但这种解法有一个很大的优点 就是只要能大致选定速度分布形式 则可以得到误差并不很大的结果 而且解法较简单 因此在工程上用得较广泛 下面列出了用动量积分方程求得的平板层流和紊流边界层的部分近似解 对于层流边界层平板上离前缘点处的边界层厚度 5 5 在平板一个壁面上由粘滞力引起的总摩擦阻力 5 6 摩擦阻力系数 5 7 对于紊流边界层平板上离前缘点处的边界层厚度 5 8 在平板一个壁面上由粘滞力引起的总摩擦阻力 5 9 摩擦阻力系数 5 10 以上几式中 均匀来流速度 m s 平板的宽度 m 平板的长度 m 来流的密度 kg m3 第三节曲面边界层分离现象卡门涡街 如前所述 当不可压缩黏性流体纵向流过平板时 在边界层外边界上沿平板方向的速度是相同的 而且整个流场和边界层内的压强都保持不变 当黏性流体流经曲面物体时 边界层外边界上沿曲面方向的速度是改变的 所以曲面边界层内的压强也将同样发生变化 对边界层内的流动将产生影响 曲面边界层的计算是很复杂的 这里不准备讨论它 这一节将着重说明曲面边界层的分离现象 一 曲面边界层的分离现象 在实际工程中 物体的边界往往是曲面 流线型或非流线型物体 当流体绕流非流线型物体时 一般会出现下列现象 物面上的边界层在某个位置开始脱离物面 并在物面附近出现与主流方向相反的回流 流体力学中称这种现象为边界层分离现象 如图5 4所示 流线型物体在非正常情况下也能发生边界层分离 如图5 4 a 所示 a 流线形物体 b 非流线形物体图5 4曲面边界层分离现象示意图 边界层 外部流动 外部流动 尾迹 外部流动 外部流动 尾迹 边界层 现以不可压缩流体绕流圆柱体为例 着重从边界层内流动的物理过程说明曲面边界层的分离现象 当黏性流体绕圆柱体流动时 在圆柱体前驻点A处 流速为零 该处尚未形成边界层 即边界层厚度为零 随着流体沿圆柱体表面上下两侧绕流 边界层厚度逐渐增大 层外的流体可近似地作为理想流体 理想流体绕流圆柱体时 在圆柱体前半部速度逐渐增加 压强逐渐减小 是加速流 当流到圆柱体最高点B时速度最大 压强最小 到圆柱体的后半部速度逐渐减小 压强逐渐增加 形成减速流 由于边界层内各截面上的压强近似地等于同一截面上边界层外边界上的流体压强 所以 在圆柱体前半部边界层内的流动是降压加速 而在圆柱体后半部边界层内的流动是升压减速 因此 在边界层内的流体质点除了受到摩擦阻力的作用外 还受到流动方向上压强差的作用 在圆柱体前半部边界层内的流体质点受到摩擦阻滞逐渐减速 不断消耗动能 但由于压强沿流动方向逐渐降低 使流体质点得到部分增速 也就是说流体的部分压强能转变为动能 从而抵消一部分因摩擦阻滞作用而消耗的动能 以维持流体在边界层内继续向前流动 但当流体绕过圆柱体最高点B流到后半部时 压强增加 速度减小 更促使边界层内流体质点的减速 从而使动能消耗更大 当达到S点时 近壁处流体质点的动能已被消耗完尽 流体质点不能再继续向前运动 于是一部分流体质点在S点停滞下来 过S点以后 压强继续增加 在压强差的作用下 除了壁上的流体质点速度仍等于零外 近壁处的流体质点开始倒退 接踵而来的流体质点在近壁处都同样被迫停滞和倒退 以致越来越多被阻滞的流体在短时间内在圆柱体表面和主流之间堆积起来 使边界层剧烈增厚 边界层内流体质点的倒流迅速扩展 而边界层外的主流继续向前流动 这样在这个区域内以ST线为界 如图5 5所示 在ST线内是倒流 在ST线外是向前的主流 两者流动方向相反 从而形成旋涡 图5 5曲面边界层分离现象 使流体不再贴着圆柱体表面流动 而从表面分图5 5曲面边界层分离现象离出来 造成边界层分离 S点称为分离点 形成的旋涡 不断地被主流带走 在圆柱体后面产生一个尾涡区 尾涡区内的旋涡不断地消耗有用的机械能 使该区中的压强降低 即小于圆柱体前和尾涡区外面的压强 从而在圆柱体前后产生了压强差 形成了压差阻力 压差阻力的大小与物体的形状有很大关系 所以又称为形状阻力 二 卡门涡街 1911年 匈牙利科学家卡门在德国专门研究了这种圆柱背后旋涡的运动规律 实验研究表明 当时黏性流体绕过圆柱体 发生边界层分离 在圆柱体后面产生一对不稳定的旋转方向相反的对称旋涡 超过40后 对称旋涡不断增长 至时 这对不稳定的对称旋涡 最后形成几乎稳定的非对称性的 多少有些规则的 旋转方向相反 上下交替脱落的旋涡 这种旋涡具有一定的脱落频率 称为卡门涡街 如图5 6所示 图5 6卡门涡街形成示意图 圆柱体的卡门涡街的脱落频率与流体流动的速度和圆柱体直径有关 由泰勒 F Taylor 和瑞利 L Rayleigh 提出下列经验公式 5 11 式 5 11 适用于范围内的流动 式中无量纲数称为斯特劳哈 V Strouhal 数 即 5 12 根据罗斯柯 A Roshko 1954年的实验结果 当大于1000时 斯特劳哈数近似地等于常数 即 0 21 根据卡门涡街的上述性质 可以制成卡门涡街流量计 即在管道内从与流体流动相垂直的方向插入一根圆柱体验测杆 管内流体流经圆柱体验测杆时 在验测杆下游产生卡门涡街 测得了旋涡的脱落频率 便可由式 5 12 求得管内流体的流速 进而确定管内流体的流量 测定卡门涡街脱落频率的方法有热敏电阻丝法 超音波束法等等 在日常生活中 常听到风吹电线嘘嘘发响的鸣叫声 这种鸣响也是由于卡门涡街的交替脱落引起空气中压强脉动所造成的声波 在工程设备中 如管式空气预热器 空气横向绕流管束 卡门涡街的交替脱落会引起管箱中气柱的振动 特别是当旋涡脱落频率与管箱中的声学驻波振动频率相等时 便会发生声学共振现象 产生严重的噪声 并使器壁在脉动压力作用下弯曲变形 甚至振裂 最严重的情况是气室的声学驻波振动频率 管束的固有频率 卡门涡街的脱落频率三者相合时 将造成设备的严重破坏 通常消除声学共振的措施是提高设备气室的声学驻波频率 也就是顺着流体流动方向加装若干块隔板 将设备气室的横向尺寸分成若干段 提高其声学驻波振动频率 使之与卡门涡街的声振频率错开 这种简单的办法实践证明是行之有效的 但具体做时要通过试验及必要的计算来解决 第四节绕流阻力和阻力系数 黏性流体绕物体流动时 物体一定受到流体的压强和切向应力的作用 这些力的合力一般可分解为与来流方向一致的作用力和垂直于来流方向的升力 由于与物体运动方向相反 起着阻碍物体运动的作用 所以称为阻力 绕流物体的阻力由两部分组成 一部分是由于流体的黏性在物体表面上作用着切向应力 由此切向应力所形成的摩擦阻力 另一部分是由于边界层分离 物体前后形成压强差而产生的压差阻力 摩擦阻力和压差阻力之和统称为物体阻力 对于圆柱体和球体等钝头体 压差阻力比摩擦阻力要大得多 而流体纵向流过平板时一般只有摩擦阻力 虽然物体阻力的形成过程 从物理观点看完全清楚 但是要从理论上来确定一个任意形状物体的阻力 至今还是十分困难的 目前还只能在风洞中用实验方法测得 这种实验称为风洞实验 通过实验分析可以得出 物体阻力与来流的动压头和物体在垂直于来流方向的截面积A的乘积成正比 即 5 13 为了便于比较各种形状物体的阻力 工程上引用无因次阻力系数来表达物体阻力的大小 其公式为 5 14 由实验得知 对于不同的不可压缩流体的几何相似的物体 如果雷诺数相同 则它们的阻力系数也相同 因此在不可压缩流体中 对于与来流方向具有相同方位角的几何相似体 其阻力系数只与雷诺数有关 即 物体的总阻力 N 无量纲的阻力系数 图5 7给出了无限长圆柱体以及其它形状物体的阻力系数与雷诺数的关系曲线 以无限长圆柱体为例 当Re 1时 与Re成反比 在图上以直线表示之 这时边界层没有分离 只有摩擦阻力 雷诺数从2增加到约40时 边界层发生分离 压差阻力在总的物体阻力中的比例逐渐增大 到时 开始形成卡门涡街 压差阻力占总阻力近90 在时 达到最小值 约等于0 9 在时 逐渐上升到1 2 这是由于尾涡区中的紊流增强 另外也由于边界层分离点逐渐向前移动的结果 这时差不多全部物体阻力都是压差阻力造成 在时 层流边界层变成紊流边界层 这时 由于紊流边界层内流体质点相互掺混 发生强大的动量交换 以致承受压强增高的能力比层流边界层变强 使分离点向后移动一大段 尾涡区大大变窄 从而使阻力系数显著降低 即从到一段 从1 2急剧下降到0 3 无限长圆柱体 有限长圆柱体 平板垂直流动方向 无限长圆柱体 无限长方柱体 椭圆形柱体 流线型柱体 图5 7几种形状物体的阻力系数 由图5 7清楚地看出 若把物体制成流线型 可使边界层的分离点后移 甚至不发生分离 阻力系数大大减小 所以将物体制成流线型的外形 如飞机的机翼 汽轮机叶片的剖面等 是减少物体阻力的主要措施之一 第六章粘性流体的一维定常流动 第一节黏性流体总流的伯努利方程第二节黏性流体的两种流动型态第三节流动损失分类第四节圆管中流体的层流流动第五节圆管中流体的紊流流动第六节沿程阻力系数的实验研究第七节非圆形截面管道沿程损失的计算第八节局部损失的计算第九节管道水力计算第十节水击现象 在第三章中 通过对理想流体运动的基本规律的讨论 得到了流场中任一空间点上 任一时刻流体微团的压强和速度等流动参数之间的关系式 但在推导流体微团沿流线运动的伯努利方程中 仅局限于微元流束的范围内 而在工程实际问题中要研究实际流体在整个流场中的运动 其中大量的是在管道和渠道中的流动问题 所以除了必须把所讨论的范围从微元流束扩展到整个流场 如管道 外 还需考虑黏性对流体运动的影响 实际流体都具有黏性 在流动过程中要产生摩擦阻力 为了克服流动阻力以维持流动 流体中将有一部分机械能不可逆地损失掉 由此可见 讨论黏性流体流动的重点就是讨论由于黏性在流动中所造成的阻力问题 即讨论阻力的性质 产生阻力的原因和计算阻力的方法 第一节黏性流体总流的伯努利方程 一 黏性流体微元流束的伯努利方程在第三章中已经得到了理想不可压缩流体作定常流动时 质量力仅为重力情况下的微元流束的伯努利方程 该式说明流体微团沿流线运动时总机械能不变 但是对于黏性流体 在流动时为了克服由于黏性的存在所产生的阻力将损失掉部分机械能 因而流体微团在流动过程中 其总机械能沿流动方向不断地减少 如果黏性流体从截面1流向截面2 则截面2处的总机械能必定小于截面1处的总机械能 若以表示单位重量流体自截面1到2的流动中所损失的机械能 又称为水头损失 则黏性流体微元流束的伯努利方程为 6 1 式 6 1 的几何解释如图6 1所示 实际总水头线沿微元流束下降 而静水头线则随流束的形状上升或下降 图6 1伯努利方程的几何解释 二 黏性流体总流的伯努利方程流体的实际流动都是由无数微元流束所组成的有效截面为有限值的总流流动 例如流体在管道中和渠道中的流动等 微元流束的有效截面是微量 因而在同一截面上流体质点的位置高度 压强和流速都可认为是相同的 而总流的同一有效截面上 流体质点的位置高度 压强和流速是不同的 总流是由无数微元流束所组成的 因此 由黏性流体微元流束的伯努利方程来推导总流的伯努利方程 对总流有效截面进行积分时 将遇到一定的困难 这就需要对实际流动作某些必要的限制 为了便于积分 首先考虑在什么条件下总流有效截面上各点的常数 这只有在有效截面附近处有缓变流动时才能符合这个要求 由于流线几乎是平行直线 则各有效截面上相应点的流速几乎不变 成为均匀流 由于速度的变化很小即可将惯性力忽略不计 又由于流线的曲率半径很大 故向心力加速度很小 以致可将离心力忽略 于是缓变流中的流体微团只受重力和压强的作用 故缓变流的有效截面上各点的压强分布与静压强分布规律一样 即在同一有效截面上各点的常数 当然在不同的有效截面上有不同的常数值 掌握了缓变流动的特性之后 就可以将黏性流体微元流束的伯努利方程应用于总流 从