2019-2020学年高中数学 第2章 解析几何初步 2-1-2-2 直线方程的两点式和一般式学案 北师大版必修2VIP

二直线方程的两点式和一般式1直线方程的两点式2.直线方程的截距式3.直线方程的一般式(1)定义：关于x、y的二元一次方程axbyc0_(a、b不同时为0)表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式(2)适用范围：平面直角坐标系中任意一条直线都可用直线方程的一般式来表示(3)系数的几何意义当b0时，yx，它表示平面直角坐标系中一条不垂直于x轴的直线(其中就是直线的斜率)当b0时，则a0，所以有x，它表示平面直角坐标系中一条与x轴垂直的直线1已知两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，其中x1x2，y1y2，求通过这两点的直线方程答案yy1(xx1)，即.2过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？答案不能，因为110，而0不能做分母过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示3截距式方程能否表示过原点的直线？答案不能因为ab0，即有两个非零截距4当b0时，方程axbyc0(a，b不同时为0)表示怎样的直线？b0呢？答案当b0时，由axbyc0，得yx，所以该方程表示斜率为，在y轴上截距为的直线；当b0时，a0，由axbyc0，得x，所以该方程表示一条垂直于x轴的直线题型一直线的两点式方程【典例1】已知a(3,2)，b(5，4)，c(0，2)，在abc中，(1)求bc边的方程；(2)求bc边上的中线所在直线的方程思路导引(1)bc边的直线方程可以用两点式表示(2)先求出bc边上的中点，然后利用两点式求bc边上的中线所在直线的方程解(1)bc边过两点b(5，4)，c(0，2)，由两点式，得，即2x5y100，故bc边的方程是2x5y100(0x5)(2)设bc的中点m(a，b)，则a，b3，所以m，又bc边的中线过点a(3,2)，所以，即10x11y80，所以bc边上的中线所在直线的方程为10x11y80.引申探究若本例条件不变，试求bc边的垂直平分线所在的直线方程解kbc，则bc的垂直平分线的斜率为，又bc的中点坐标为，由点斜式方程可得y3，即10x4y370.(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，要判断是否满足两点式方程的适用条件(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x2与y2是同一点坐标，而x1与y1是另一点坐标针对训练1若点p(3，m)在过点a(2，1)，b(3,4)的直线上，则m_.解析由直线方程的两点式得，即.直线ab的方程为y1x2，点p(3，m)在直线ab上，m132，得m2.答案2题型二直线的截距式方程【典例2】过点a(3，1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有()a2条b3条c4条d无数多条思路导引直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等，应考虑直线过原点和不过原点两类，分别设出方程，再由直线l过点a(3，1)求得直线方程解析当截距都为零时满足题意要求，直线为yx，当截距不为零时，设直线方程为1，或即直线方程为1或1，满足条件的直线共有3条故选b.答案b如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况针对训练2直线l过定点a(2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则直线l的方程为_解析解法一：设直线方程为1，则解得或所以直线l的方程为1或1，即9x2y120或x2y40.解法二：由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设为k，则直线l的方程为y3k(x2)，令x0，得y2k3，令y0，得x2，则s|2k3|4，所以(2k3)8.若(2k3)8，即4k24k90，无解若(2k3)8，即4k220k90，解得k或.所以直线l的方程为y3(x2)或y3(x2)即9x2y120或x2y40.答案9x2y120或x2y40题型三直线的一般式方程的应用【典例3】设直线l的方程为(a1)xy2a0(ar)(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围思路导引(1)直线在坐标轴上的截距相等，注意截距为零的情况(2)直线不经过第二象限，则其斜率大于零，在y轴上截距小于零解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为零，当然相等则(a1)002a0，a2，方程即3xy0；若a2，由题设l在两轴上的截距相等，a2，即a11，a0，方程即xy20.l的方程为3xy0或xy20.(2)将l的方程化为y(a1)xa2，欲使l不经过第二象限，当且仅当或a1.综上可知a的取值范围是a1.(1)截距概念的把握要注意两点：可以为零可以为负(不能与距离混淆)；在题目中出现“截距相等”、“截距互为相反数”、“一截距是另一截距的几倍”等条件时要全面考察，直线l不经过某象限不要漏掉过原点的情况(2)由直线的一般式方程axbyc0(a2b20)求直线在两轴上的截距时，令x0得纵截距；令y0得横截距由两截距位置可知直线的位置针对训练3设直线l的方程为(m22m3)x(2m2m1)y62m0.(1)若直线l在x轴上的截距为3，则m_；(2)若直线l的斜率为1，则m_.解析(1)由题意知m22m30，即m3且m1，令y0，则x，3，得m或m3(舍去)m.(2)由题意知，2m2m10，即m且m1.把直线l化为斜截式方程得yx，则1，得m2或m1(舍去)m2.答案(1) (2)21下列说法正确的是()a经过定点p0(x0，y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示b经过任意两个不同点p1(x1，y1)、p2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示c不经过原点的直线都可以用方程1表示d经过定点a(0，b)的直线都可以用方程ykxb表示解析当直线与y轴平行或重合时，斜率不存在，选项a、d不正确；当直线垂直于x轴或y轴时，直线方程不能用截距式表示，选项c不正确；当x1x2，y1y2时由直线方程的两点式知选项b正确，当x1x2，y1y2时直线方程为xx10，即(xx1)(y2y1)(yy1)(x2x1)，同理x1x2，y1y2时也可用此方程表示故选b.答案b2如图所示，直线l的截距式方程是1，则有()aa0，b0 ba0，b0ca0 da0，b0，b0，b0)，则由已知可得当ab时，可化为解得或(舍去)当a0时不成立解得k1，k2.所以直线l的方程为2x3y60或8x3y120.课后作业(十九)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1过两点(2,1)和(1,4)的直线方程为()ayx3 byx1cyx2 dyx2解析由两点式方程可得，即yx3.选a.答案a2直线(2m25m2)x(m24)y5m0的倾斜角为45，则m的值为()a2 b2c3 d3解析由已知得m240，且1，解得m3或m2(舍去)答案d3已知直线axby10在y轴上的截距为1，且它的倾斜角是直线xy0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为()a，1 b.，1c，1 d.，1解析原方程化为1，1，b1.又axby10的斜率ka，且xy0的倾斜角为60，ktan120，a，故选a.答案a4若直线l的横截距与纵截距都是负数，则()al的倾斜角为锐角且不过第二象限bl的倾斜角为钝角且不过第一象限cl的倾斜角为锐角且不过第四象限dl的倾斜角为钝角且不过第三象限解析依题意知，直线l的截距式方程为1(a0，b0)，显然直线l只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选b.答案b5直线ymx3m2(mr)必过定点()a(3,2) b(3,2)c(3，2) d(3，2)解析由ymx3m2，得y2m(x3)，所以直线必过点(3,2)答案a6已知直线1与坐标轴围成的图形面积为6，则a的值为_解析由1知s|a|6|6，所以a2.答案27过点p(3，1)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是_解析设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，当a0时，b0，此时直线l的方程为，所以x3y0；当a0时，a2b，此时直线l的方程为1，代入(3，1)得x2y10.答案x2y10或x3y08已知直线(a2)x(a22a3)y2a0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为_解析把(3,0)代入已知方程得：(a2)32a0，a6.直线方程为4x45y120，令x0，得y.答案9.三角形的三个顶点分别是a(5,0)，b(3，3)，c(0,2)，如右图所示，求这个三角形三边所在直线的方程解ab边所在直线的方程，由两点式得，即3x8y150；bc边所在直线的方程，由斜截式得yx2，即5x3y60；ac边所在直线的方程，由截距式得1，即2x5y100.10求满足下列条件的直线方程(1)经过点a(1，3)，且斜率等于直线3x8y10斜率的2倍；(2)过点m(0,4)，且与两坐标轴围成的三角形的周长为12. 解(1)因为3x8y10可化为yx，所以直线3x8y10的斜率为，则所求直线的斜率k2.又直线经过点(1，3)，因此所求直线的方程为y3(x1)，即3x4y150.(2)设直线与x轴的交点为(a,0)，因为点m(0,4)在y轴上，所以由题意有4|a|12，解得a3，所以所求直线的方程为1或1，即4x3y120或4x3y120.应试能力等级练(时间25分钟)11已知ab0，bc0，则直线axbyc通过(