高中数学第二章Ⅰ第2节对数函数3教案.docx

第二节对数函数第三课时教学目标1知识与技能推导对数的换底公式，培养学生分析、解决问题的能力，培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度2过程与方法让学生经历推导对数的换底公式的过程，归纳整理本节所学知识3情感态度与价值观通过对数的运算性质、对数换底公式的学习，培养学生的探究意识，培养学生的严谨的思维品质；感受对数的广泛应用重点难点重点：对数的运算性质、换底公式及其应用难点：正确使用对数的运算性质和换底公式导入新课思路1.问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？a0，且a1，c0，且c1，b0，logab.教师直接点出课题：对数与对数运算(3)之对数的换底公式及其应用思路2.前两节课我们学习了以下内容：1.对数的定义及性质；2.对数恒等式；3.对数的运算性质，用对数的运算性质我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容教师板书课题：对数与对数运算(3)之对数的换底公式及其应用思路3.从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题：对数与对数运算(3)之对数的换底公式及其应用推进新课已知lg20.301 0，lg30.477 1，求log23的值；根据，如a0，a1，你能用含a的对数式来表示log23吗？更一般地，我们有logab，如何证明？证明logab的依据是什么？你能用自己的话概括出换底公式吗？换底公式的意义是什么？有什么作用？活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力对目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对参考的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对借助的思路，利用对数的定义来证明；对根据证明的过程来说明；对抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了讨论结果：因为lg20.301 0，lg30.477 1，根据对数的定义，所以100.301 02,100.477 13.不妨设log23x，则2x3，所以(100.301 0)x100.477 1，100301 0x100.477 1，即0.301 0x0.477 1，x.因此log231.585 1.根据我们看到，最后的结果是log23用lg2与lg3表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数，不妨设log23x，由对数定义知道，2x3，两边都取以a为底的对数，得loga2xloga3，xloga2loga3，x，也就是log23.这样log23就表示成了以a为底的3的对数与以a为底的2的对数的商证明logab.证明：设logabx，由对数定义知道，axb；两边取c为底的对数，得logcaxlogcbxlogcalogcb；所以x，即logab.一般地，logab(a0，a1，b0，c0，c1)称为对数换底公式由的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M0，N0，MN，则logaMlogaN.一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算性质创造条件，更方便化简求值说明：我们使用的计算器中，“log”通常是常用对数，因此要使用计算器计算对数，一定要先用换底公式转化为常用对数如log23，即计算log23的值的按键顺序为：“log”“3”“”“log”“2”“”再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算xlog1.01，所以xlog1.0132.883 733(年)可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多例1 求log89log2732的值活动：学生观察题目，思考讨论，互相交流，教师适时提示，学生板演，利用换底公式统一底数；根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，可以化成常用对数或以2为底的对数，以3为底的对数也可解法一：log89log2732.解法二：log89log2732.解法三：log89log2732.点评：灵活运用对数的换底公式是解决问题的关键例2 计算：(1)；(2)log43log92log.活动：学生积极交流，教师引导，学生展示自己的思维过程，教师对学生的表现及时评价先利用对数运算性质和换底公式进行化简，然后再求值；对(1)根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，再利用对数的运算性质化简对(2)利用换底公式把底数统一起来，再化简求值解：(1)原式3.(2)log43log92loglog23log32log22.点评：在利用对数的换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果题目中所给的真数和底数互不相同，我们常选择以10为底的对数进行换底例3 (1)证明1logab；(2)已知loga1b1loga2b2loganbn，求证：loga1a2an(b1b2bn).活动：学生思考、讨论，教师适当提示：(1)运用对数换底公式，统一成以a为底的对数可直接得解，或利用对数的定义，分别把三个式子设出，再由定义转化成指数形式，利用指数幂的性质得解；(2)这是条件证明问题，应在现有条件下利用换底公式，转化成积的形式，从题目的结论来看，真数是积的形式，因此要创造对数的和的形式，这就想到先换底，再利用等比性质来解(1)证法一：设logaxp，logabxq，logabr，则xap，x(ab)qaqbq，bar.所以ap(ab)qaq(1r)，从而pq(1r)因为q0，所以1r，即1logab.证法二：显然x0且x1，x可作为底数，左边logaab1logab右边(2)证明：因为loga1b1loga2b2loganbn，所以由换底公式得.由等比定理，所以.所以.所以loga1a2an(b1b2bn).点评：在解题过程中，根据题目的需要，把底数转化，换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简例4 20世纪30年代，里克特(C.F.Richter)制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为MlgAlgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1)?活动：学生审题，教师引导，学生交流，展示自己的思维过程，教师强调实际问题的注意事项根据题目给出的数学模型及其含义来解决这是实际问题，但题目给出了数学模型即关系式，关系式是以常用对数的形式给出，因此要利用对数的定义和运算性质，同时注意要使实际问题有意义解：(1)Mlg20lg0.001lglg20 000lg2lg1044.3.因此，这是一次约为里氏4.3级的地震(2)由MlgAlgA0可得Mlg，即10M，所以AA010M.当M7.6时，地震的最大振幅为A1A0107.6；当M5时，地震的最大振幅为A2A0105.所以，两次地震的最大振幅之比是107.65102.6398.答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍点评：利用所学知识解决实际问题，是教学的一个难点课本本节练习4.【补充练习】(1)已知lg2a，lg3b，则等于()A. B. C. D.(2)已知2lg(x2y)lgxlgy，则的值为()A1 B4 C1或4 D4或1(3)若3a2，则log382log36_.(4)lg12.5lglg0.5_.答案：(1)C(2)B(3)a2(4)1探究换底公式的其他证明方法：活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导，大胆设想，运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质证法一：设logaNx，则axN，两边取以c(c0且c1)为底的对数，得logcaxlogcN，所以xlogcalogcN，即x.故logaN.证法二：由对数恒等式，得NalogaN，两边取以c(c0且c1)为底的对数，得logcNlogaNlogca，所以logaN.证法三：令logcam，logaNn，则acm，Nan，所以N(cm)ncmn.两边取以c(c0且c1)为底的对数，得mnlogcN，所以n，即logaN.对数换底公式的应用：换底公式logaN(c0且c1，a0且a1，N0)的应用包括两个方面，即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用，前者较为容易，而后者则易被学生忽视，因此，教学时应重视后者的用法，下面仅就后者举例说明：例：化简：.解：原式logNMlogNMlogNMlogNM4logNM.1对数换底公式；2换底公式可用于对数式的化简、求值或证明若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式，则该幂底数可被选作换底公式的底数，也可把对数式转化成以10为底的常用对数或以任意数a(a0且a1)为底的对数式的形式课本习题2.2A组6、11、12.【补充作业】1已知loga，logb，求log81175的值解：因为loglog277log37a，所以log373a.又因为loglog35b，所以log81175log3257(log325log37)(2log35log37).2求证：(log23log49log827log2n3n)log9.证明：左边(log23log49log827log2n3n)log9()log932nlog23log3log23log32右边本堂课主要是学习对数的换底公式，它在以后的学习中有着非常重要的应用，由于对数的运算性质是在同底的基础上，因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要，有时也可以逆用对数的换底公式达到我们的目的，特别是实际问题的应用十分广泛，因此要反复训练，强化记忆，所以设计了大量的例题与练习，授课时要加快速度，激发学生学习的兴趣，多运用多媒体的教学手段【备选例题】【例1】 化简：.解：原式logNMlogNMlogNMlogNM(logNM)4.【例2】 求证：logab(a0，b0且a1，b1)证法一：logab.证法二：logab.【例3】 试证：.证明：logx(234n)logx(1234n)logxn！.对数的创立对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是16世纪末到17世纪初的苏格兰数学家纳皮尔(Napier,15501617年)男爵在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法让我们来看看下面这个例子：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1 024、2 048、4 096、8 192、16 384、这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现比如，计算64256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6,256对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6814；第一行中的14，对应第二行中的16 384，所以有6425616 384.纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了回忆一下，我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思路吗？计算两个复杂数的乘积，先查常用对数表，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过常用对数的反对数表查出加和值的反对数值，就是原先那两个