数字信号处理(王震宇_张培珍编_)_第三章

第三章z变换及离散系统的频域分析 课程名称 数字信号处理 任课教师 莫秉戈 授课班级 通信1123 1124 3 1z变换 1 2 4 5 3 3 5序列的傅里叶变换及性质 3 4z变换与拉氏变换和傅里叶变换的关系 3 3z变换的性质和定理 3 2z反变换 3 6离散系统的频域分析 6 7 3 7综合实例 引言 Z变及离散时间系统的频域分析 3 z变换的定义 3 1z变换 Z变及离散时间系统的频域分析 3 Z变换Matlab函数 F ztrans Z逆变换Matlab函数 F itrans 双边 单边 z变换的收敛域 对于任意给定序列x n 使其z变换收敛的z平面上所有z值的集合称为z变换的收敛域 收敛域一般用环状域来表示 其中取值可为零 取值可为无穷大 如图所示 序列x n 的z变换绝对收敛的条件是绝对可和 即 3 1Z变换 3 例 3 1Z变换 3 讨论几类序列Z变化的收敛域1 有限长序列其z变换为 3 1Z变换 3 保证 z n 下面分四种情况来考虑其收敛域 3 1Z变换 3 例3 1序列如图3 8所示 求其z变换及收敛域 解这是一个有限序列 其z变换为 其收敛域为0 z 即除原点之外的整个z平面 如图3 9所示 图3 8序列 图3 9序列的收敛域 3 1Z变换 3 2 右边序列 第一项为有限长序列 其收敛域为 第二项为z的负幂级数 其收敛域为 即以为半径的圆外 其中 只有两项都收敛时 该z变换才收敛 一般而言 右边序列的收敛域为 3 1Z变换 3 当时 此时的右边序列就是因果序列 其收敛域为 例3 2求序列的z变换及收敛域 解这是一个右边序列 其z变换为 只有当时 即 该序列收敛 此时 只有当 收敛域为 即半径的圆外部 收敛域为 3 1Z变换 3 3 左边序列 第二项为有限长序列 其收敛域 第一项为z的正幂级数 其收敛域为 即以为半径的圆内 只有两项都收敛时 该z变换才收敛 一般而言 左边序列的收敛域为 当时 其收敛域为 即以 当 3 1Z变换 3 例3 3求序列的z变换及收敛域 解这是一个左边序列 其z变换为 显然 只有当时 即 该序列才收敛 因此 其收敛域为 即半径的圆内部分 图3 11收敛域 3 1Z变换 3 4 双边序列 只有当时 双边序列z变换才存在 其收敛域为 即为一环状域 若 则无公共收敛域 不存在 3 1Z变换 3 例3 4已知双边序列 b为实数 求X z 解这是一个双边序列 其z变换为 3 1Z变换 3 1 若 则存在公共收敛域 2 若 则不存在公共收敛域 X z 不存在 3 1Z变换 3 3 1Z变换 3 问题 n u n 属于哪一种序列 单边 双边 有限长 其Z变换 收敛域如何 总结 有限序列全z面 零和无穷要察看 右边序列圆外面 因果敛至无穷远 左边序列圆里面 逆向因果含零点 双边序列是圆环 边界考虑零极点 3 1Z变换 3 3 1Z变换 3 半径R 1的圆 N 1阶 例 3 1Z变换 3 3 1Z变换 3 3 2序列x n z反变换 其中c是在X z 的收敛域内一条绕原点的逆时针闭合单围线 求z反变换的方法通常有留数法 幂级数法和部分分式法三种 3 2Z反变换 3 若X z 是z的有理函数 利用留数定理来计算围线积分 其中X z zn 1须在围线上连续 在围线以内有K个极点zk 而在围线以外有M个极点zm 则有 或 注意在公式 3 12 中 必须满足X z zn 1的分母多项式z的阶次要比分子多项式z的阶次高二阶或二阶以上 3 12 3 11 3 2 1留数法 3 zk是X z zn 1的极点 其对应的留数计算方法是 1 zk是X z zn 1的单阶极点 2 zk是X z zn 1的l阶极点 3 2 1留数法 3 例3 5 设收敛域 试用留数法求x n 解由收敛域可知x n 是一个右边序列 式中 围线c是半径大于2的围线 如图3 13所示 图3 13例3 5的围线 3 2 1留数法 3 从X z zn 1的表达式可以看出 当时 有两个一阶极点和 当时有两个一阶极点和及n阶极点 当时 3 2 1留数法 3 当时 可用式 3 12 求留数 其留数为零 所以 或 3 2 1留数法 3 把X z 按z 1展成幂级数 即其级数的系数就是序列x n 常用方法有按幂级数公式展开法和长除法 3 2 2幂级数法 3 部分分式法是将X z 表达式展开成常见部分分式之和 然后分别求各部分的z反变换 最后把各z反变换相加即可得到 即 则 3 2 3部分分式法 3 例3 11若已知 设收敛域 试用部分分式法求x n 解由X z 的表达式可以看出 存在和两个单阶极点 所以 查表3 1 可得到 3 2 3部分分式法 3 1 线性若 则有 2 序列的移位若 则有 3 3Z变换的性质和定理 3 例 已知 求其z变换 3 3Z变换的性质和定理 3 3 序列的翻褶若 则有 4 乘以指数序列 若 则有 3 3Z变换的性质和定理 3 5 序列乘以若 则有 6 复序列的共轭若 则有 3 3Z变换的性质和定理 3 7 初值定理 若x n 为因果序列 则有 3 3Z变换的性质和定理 3 3 3Z变换的性质和定理 3 8 终值定理 如果x n 为因果序列 且X z 的极点在单位圆以内 单位圆上最多有一阶极点 则有 证明 9 序列的卷积 时域卷积定理 若 则 即收敛域等于两个收敛域的重叠部分 如果Y z X z H z 存在零极点相消情况时 收敛域会扩大 3 3Z变换的性质和定理 3 10 z域复卷积定理 若 则 其中c是平面上的公共收敛域内绕原点逆时针一周的封闭围线 3 3Z变换的性质和定理 3 11 帕斯瓦尔定理 3 3Z变换的性质和定理 3 它表明信号在时域的总能量等于信号在频域的总能量 即信号经傅里叶变换后其总能量保持不变 符合能量守恒定律 3 3Z变换的性质和定理 3 3 3Z变换的性质和定理 3 设为连续信号 为其理想采样信号 则的拉普拉斯变换为 即 而序列的z变换为 3 4z变换与拉普拉斯变换的关系 3 可以看出 当时 序列x n 的z变换就等于理想采样信号的拉普拉斯变换 即 3 4z变换与拉普拉斯变换的关系 3 3 28 又由式 3 26 可知 由于 所以 上式说明 在时域采样信号的拉式变换是连续时间信号拉氏变换在s平面上沿虚轴的周期延拓 3 31 结合式 3 28 和式 3 31 可知连续时间信号的拉普拉氏变换与离散时间信号x n 的z变换之间的关系为 离散时间信号与离散时间系统 3 由于傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴的特例 因而映射到z平面上为单位圆 也就是说 采样序列在单位圆上的z变换 就等于理想采样信号的傅里叶变换 式 3 30 也可写成 即采样序列的频谱是连续信号频谱以为周期的周期延拓 3 4z变换与傅里叶变换的关系 3 序列的傅里叶变换定义为 常用表示序列的傅里叶变换 序列的傅里叶反变换定义为 常用表示序列的傅里叶反变换 3 5序列的傅里叶变换 3 序列的傅里叶变换是具有周期性的 可以看出 是以为周期的周期性函数 因此在绘制图形时 一般只需在或区间上标注即可 3 5序列的傅里叶变换 3 序列傅里叶变换的性质 3 5序列的傅里叶变换 3 3 6 1系统函数线性移不变系统 可用单位脉冲响应h n 来表示 即等式两边取z变换 有Y z X z H z H z 称为线性时不变系统的系统函数 3 6离散系统的频域分析 3 一个N阶线性时不变系统 其常系数差分方程表示的一般形式为 两边取变换 有 3 6 2系统函数和差分方程 3 还可以表示为 其中 cm为H z 的零点 dk为H z 的极点 K为比例常数 从表达式可以看出 系统函数也可由系统的零 极点来确定 3 6 2系统函数和差分方程 3 例3 17差分方程 且 求 解对已知的差分方程两边取变换 有 代入已知条件 得到 取z反变换 得到 3 6 2系统函数和差分方程 3 3 6 3因果稳定系统 3 1 因果 其单位脉冲响应h n 0 n 0 那么系统的收敛域一定包括无穷点 收敛域在某一圆外 3 6 3因果稳定系统 3 序列h n 绝对可和 即而h n 的z变换的收敛域 2 稳定 稳定系统的系统函数H z 的收敛域须包含单位圆 Z 1 3 6 3因果稳定系统 3 H z 须从单位圆到 的整个z域内收敛即系统函数H z 的全部极点必须在单位圆内 3 因果稳定 不能构成既稳定又因果系统 例3 19已知某系统函数 分析其因果性和稳定性 解根据系统函数可知 H z 的极点为z1 0 5和z2 2 下面分三种情况讨论 1 当收敛域 该系统是因果系统 由于其收敛域不包含单位圆 所以不是稳定系统 对应的单位脉冲响应 这是一个因果序列 同时又是发散的序列 3 6 3因果稳定系统 3 2 当收敛域 该系统不是因果系统 由于其收敛域包含单位圆 所以是稳定系统 单位脉冲响应 这是一个非因果但收敛的双边序列 3 当收敛域 该系统不是因果系统 由于其收敛域不包含单位圆 所以也不是稳定系统 3 6 3因果稳定系统 3 设某一系统由差分方程y n y n 1 y n 2 x n 1 描述 1 求系统的系统函数H z 并画出零极点分布图 2 限定系统是因果的 写出H z 的收敛域 并求出其单位脉冲响应h n 3 限定系统是稳定的 写出H z 的收敛域 并求出其单位脉冲响应h n 4 求出系统的频率响应并画出响应的幅频特性曲线 5 设输入x n n n 1 且系统因果的条件下 求输出y n 综合实例 3 解 1 对差分方程两边求z变换可得 所以 其中 零点为 综合实例 3 极点为 2 若限定系统是因果的 则收敛域为 当n 0时 h n 0 当n 0时 综合实例 3 因而 3 若限定系统是稳定的 则收敛域包括单位圆 为 当n 0时 围线C内只有一个极点 当n 0时 围线C内只有两个极点 3 6 4系统频率响应的几何确定法 3 综合以上结果 可得 4 系统的频率响应为 3 6 4系统