有限元分析法第3章 杆单元PPT课件

第三章杆单元 如何用直接法求杆单元特性 如何用公式法导出杆单元特性 什么是虚功原理 杆单元刚度矩阵的特点 什么叫坐标变换 如何对节点位移向量进行坐标变换 如何对刚度矩阵进行坐标变换 应用举例 3 1一维等截面杆单元 L 杆长A 截面积E 弹性模量 考虑一个2节点一维等截面杆单元 3 1一维等截面杆单元 应力 应变关系 杆单元位移 杆单元应变 杆单元应力 应变 位移关系 3 1一维等截面杆单元 一 直接法导出单元特性杆单元伸长量 应变 应力 杆内力 杆的轴向刚度 一 直接法导出单元特性杆单元伸长量 3 1一维等截面杆单元 轴向拉压变形模式下 该杆单元的行为与弹簧单元相同 因此杆单元的刚度矩阵为 比照弹簧元的刚度方程 写出杆单元的刚度方程为 3 1一维等截面杆单元 二 公式法导出杆单元特性 单元上假设近似位移函数 位移模式 定义节点的插值函数 形函数 对杆单元 引入局部坐标 单元上位移假设为简单多项式函数 有限元中用插值法通过节点位移 待定参数 定义单元假设位移函数 3 1一维等截面杆单元 则单元假设位移函数 位移模式如下 矩阵形式 单元应变 单元应变矩阵 单元应力 应用弹性体虚功原理导出单元刚度方程 3 1一维等截面杆单元 虚功原理虚位移弹性体受力平衡时 若发生虚位移 则外力虚功等于弹性体内的虚应变能 平衡条件 对于杆单元 定义虚位移如下 节点虚位移 单元虚位移 节点力 外力 虚功 则单元虚应变 3 1一维等截面杆单元 单元虚应变能 对杆单元应用虚位移原理 得 考虑到的任意性 立刻得到 这就是刚度矩阵的一般形式 可推广到其他类型的单元 杆单元刚度矩阵 3 1一维等截面杆单元 对于上面的杆单元 与前面直接法得到的公式相同 3 1一维等截面杆单元 三 关于杆单元的讨论1 在单元坐标系下 每个节点一个未知位移分量 单元共有2个自由度 2 单元刚度矩阵元素的物理意义 刚度方程中令 则 单元刚度方程 3 1一维等截面杆单元 所以 单元刚度矩阵的第i i 1 2 列元素表示当维持单元的第i个自由度位移为 其它自由度位移为 时 施加在单元上的节点力分量 也可以用此方法直接导出杆单元的刚度矩阵元素 试练习 单元刚度矩阵对称 奇异 主对角元素恒正 3 1一维等截面杆单元 四 举例求图示 段杆中的应力 解 分 个杆单元 单元之间在节点 铰接 刚度矩阵分别为 3 1一维等截面杆单元 参考前面弹簧系统的方法 装配系统的有限元方程 平衡方程 引入边界位移约束和载荷 系统方程化为 3 1一维等截面杆单元 上述方程组中删除第 个方程 得到 位移解 单元1应力 解得 3 1一维等截面杆单元 单元2应力 提示 1 本例中单元应力的计算采用了材料力学中的方法 与采用有限元单元应力公式的结果相同 2 对锥形杆 单元截面积可用平均值 3 求应力之前需要求出节点位移 有限元位移法 3 1一维等截面杆单元 习题2 已知 求 杆两端的支反力 解 3 2二维空间中的杆单元 一 2 D空间中杆单元 平面桁架 1 D空间杆单元2 D空间杆单元 坐标变换 3 2二维空间中的杆单元 原来1 D空间中的杆坐标系作为局部坐标系 3 2二维空间中的杆单元 节点位移向量的坐标变换 3 2二维空间中的杆单元 向量的坐标变换矩阵为 显然是正交阵 即 单元节点位移向量的变换式如下 或 单元节点力的变换为 3 2二维空间中的杆单元 刚度矩阵的坐标变换 局部坐标系下杆单元的刚度方程为 扩充到4自由度形式 写成矩阵符号形式 3 2二维空间中的杆单元 利用前面的向量坐标变换式 得 考虑到变换矩阵的正交性 得 总体坐标系中的杆单元刚度矩阵为 用单元刚度矩阵装配系统刚度矩阵的方法与1 D情况相同 按节点号对子块重新排列 3 2二维空间中的杆单元 单元应力 即 3 2二维空间中的杆单元 二 例题 平面桁架由2根相同的杆组成 E A L 求 1 节点2位移2 每根杆应力 解 求出每个单元在总体坐标下的刚度矩阵 3 2二维空间中的杆单元 单元1 1 2 3 2二维空间中的杆单元 单元2 2 3 3 2二维空间中的杆单元 将单元1 2的刚度方程扩张到系统规模 6阶 相加后引入节点平衡条件 3 2二维空间中的杆单元 再引入边界约