高等数学武大社教案11第十一章二重积分.docx

第十一章 二重积分一、教学目标1.熟悉二重积分的概念；2.掌握二重积分的性质及计算，二重积分在几何上的应用；3.了解重积分在物理上的应用.二、课时分配本章节共3个小节，共安排6个学时.三、教学重点二重积分在直角坐标系、极坐标系下的计算方法.四、教学难点1.二重积分解决简单的几何量与物理量；2.二重积分在球面坐标系下的计算方法.五、教学内容第一节 二重积分的概念及性质一、二重积分的概念二重积分有以下几个结论成立：(1)若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上的二重积分存在，称它在D上可积.(2)若函数f(x,y)在区域D上可积，则二重积分的值与积分区域的分法无关.因此，在直角坐标系下，我们可用平行于坐标轴的两组直线分割D，小区域除了靠边界曲线以外都是矩形，而靠近边界的这些小区域，当其直径趋于零时，其面积也趋向于零，所以面积元素记作d=dxdy，二重积分记作Dfx,yd=Dfx,ydxdy(3)若在有界闭区域D上f(x,y)1，并记D的面积为，则由二重积分的定义，有Dd=二、二重积分的性质与定积分的性质类似，二重积分有如下性质：（1）Dkf(x,y)d=kDfx,yd （k为常数）（2）Dfx,ygx,yd=Dfx,yd Dgx,yd （3）若D分为两个没有公共点的部分D1和D2，则Dfx,yd=D1fx,yd+D2fx,yd（4）若f(x,y)在D上有f(x,y)g(x,y),则Dfx,ydDgx,yd特别地，有Dfx,ydDfx,yd(5)设M,m是f(x,y)在闭区域D上的最大值与最小值，D的面积为，则mDfx,ydM(6)(二重积分的中值定理)设f(x,y)在闭区域D上连续，则在D上至少存在一点(,)，使得Dfx,yd=f(,)其几何意义是：当f(x,y)0时，在D上以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积等于D上以某点(,)的函数值f(,)为高的平顶柱体的体积.第二节 二重积分的计算一、 利用直角坐标系计算二重积分在直角坐标系中，用平行于x轴和y轴的两族直线分割D时，面积元素d=dxdy，这时二重积分可表示为Dfx,yd=Dfx,ydxdy现在先假定f(x,y)0，从二重积分的几何意义来讨论它的计算问题，所得到的结论对于一般的二重积分也适用.设积分区域D是x型区域，该区域由直线x=a,x=b和曲线y=1(x)，y=2(x)所围成(平行于y轴的直线穿过区域D的内部时至多与边界有两个交点)，D可用不等式组1(x)y2(x)axb表示，其中函数1(x)，2(x)在区间a,b上连续.用垂直于x轴的任一平面x=x0(ax0b)去切割曲顶柱体，所得的截面是以z=f(x0,y)(1(x0)y2(x0)为曲边的曲边梯形，它的面积为Ax0=2x01x0f(x0,y)dy因为x0是在a与b之间任取的一个值，所以可把x0仍记为x，于是过区间a,b上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为Ax=2x1xf(x,y)dy由于x的变化区间为a,b,且A(x)dx为曲顶柱体中一个薄片的体积，所以整个曲顶柱体的体积V可由这样的薄片体积A(x)dx从x=a到x=b无限累加而得，故V=baAxdx=ba2x1xf(x,y)dydx这个体积就是所求的二重积分的值，简记为badx2x1xf(x,y)dy从而有Dfx,ydxdy=badx2x1xf(x,y)dy右端的积分称为先对y后对x的二次积分.就是说，先把x看作常数，把f(x,y)只看作y的函数，并对y计算从1(x)到2(x)的定积分，然后把算得的结果(为x的函数)再对x计算在区间a,b上的定积分.这样可使计算变得容易.计算二重积分的步骤归纳如下：(1) 画出积分区域D的图形，考察区域D是否需要分块；(2) 选择积分次序，将区域D用不等式组表示，以确定二次积分的上、下限；(3) 利用公式计算二次积分，得出积分结果.【例2】计算Dxy+x2d，其中D由直线y=x,y=2x,x=1所围成.【解】画出积分区域D的图形，如图所示.区域D为xy2x0x1按此区域的特征选择先对y积分最简单，所以Dxy+x2d=10dx2xxxy+x2dy=10x2y+xy222xxdx=102x3+2x3-x3+x32dx=0152x3dx=58为了进行比较，试选择先对x积分.区域D为y2xy0y1 和 y2x11y2所以Dxy+x2d=01dyy2yxy+x2dy+12dyy21xy+x2dx=1013x3+yx22yy2dy+1213x3+yx221y2dy=2301y3dy+1213+y2-y36dy=16y410+y3+y24-y42421=58二、利用极坐标系计算二重积分将Dfx,yd转化为极坐标形式，利用直角坐标与极坐标的变换公式x=rcosy=rsin得fx,y=f(rcos,rsin)，极坐标系下的面积元素d=rdrd（证明从略），则Dfx,yd=Dfrcos,rsinrdrd(1) 极点在区域D之内Dfrcos,rsinrdrd=02d0r()frcos,rsinrdr(2) 极点在积分区域D的边界上，区域D为所以有Dfrcos,rsinrdrd=d0r()frcos,rsinrdr(3) 极点在积分区域D之外所以有Dfrcos,rsinrdrd=dr1()r2()frcos,rsinrdr【例6】计算De-x2-y2d，区域D是圆域x2+y24.【解】如图所示，此区域D的边界曲线方程为r=2,02，所以De-x2-y2d=De-r2rdrd=02d02re-r2dr=202-12e-r2d-r2=-e-r220=1-e4第三节二重积分的应用一、曲面的面积设曲面由方程z=f(x,y)给出，D为曲面在xOy面上的投影区域，并且函数f(x,y)在D上具有连续偏导数fx(x,y)和fy(x,y)，那么曲面的面积A由下列二重积分给出：A=D1+zx2+zy2dxdy二、曲顶柱体的体积由二重积分的几何意义，当f(x,y)0时，以D为底、曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积V=Dfx,yd当f(x,y)0时，其曲顶柱体的体积为V=-Dfx,yd【例2】求由四个平面x=0，y=0，x=1，y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体的体积.【解】所围成的立体在xOy面上的投影如图所示.所求体积为V=D(6-2x-3y)d=01dx01(6-2x-3y)dy=016y-2xy-32y210dx=01(92-2x)dx=92-x210=72三、平面薄片的重心由物理学知道，平面薄片的重心(x，y)为x=my/m，y=mx/m，其中，m为薄片的质量，mx，my分别是薄片关于x轴、y轴的静力矩.现有一平面薄片，占有xOy坐标面上的一个区域D,该薄片在点(x,y)处的面密度为(x,y)，求该薄片重心的坐标.由二重积分的含义不难看出该薄片的重心坐标(x,y)为x=mym=Dxx,ydDx,ydy=mxm=Dyx,ydDx,yd如果薄片是均匀的(即(x,y)=常数)，重心坐标为x=1Dxd,y=1Dyd （=Dd是区域D的面积）我们把均匀平面薄片的重心叫作该平面薄片所占的平面图形的形心.四、平面薄片的转动惯量某些特殊形状的均匀的平面薄片的转动惯量可用定积分计算.对于形状非均匀的一般平面薄片，转动惯量的计算必须用二重积分.现有一平面薄片，它占有xOy坐标平面上的区域D，薄片在点(x,y)处的面密度为(x,y),且函数(x,y)在D上连续，求薄片对于x轴、