圆锥曲线知识结构.doc

最适合中国学生的教学模式 圆锥曲线知识结构简介：一、椭圆知识体系1、定义和方程（1）（2）方程（3）考题方向；2、性质； 设为椭圆上任意一点. 即，时（顶点），取得最大值. 3、直线与椭圆的综合（见后面）二、双曲线知识体系1、定义和方程（1）（2）方程（3）考题方向2、性质； 等轴双曲线：共轭双曲线： 注：都是开花不接果实的结论：3、直线与双曲线的综合（见后面）三、抛物线知识体系1、定义与方程（1）定义：（2）方程 （3）考题方向2、性质 ； 3、直线与抛物线的综合（见后面）四、直线与圆锥曲线的综合1、 点与圆锥曲线的位置关系 2、直线与圆锥曲线的位置关系设直线:，圆锥曲线:.由消去或，若消去后得： 3、弦长公式4、焦点弦（过焦点的弦） 对于椭圆， 对于双曲线，情形，有 对于抛物线， 注：如：已知双曲线，定点，过点作直线与所给双曲线相交于的中点，这样的直线存在吗？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.解析：由点差法求出直线的方程为.但是之后，由得到的.故求得的直线是不存在.：曲线上两点关于某直线对称 6、总结五、专题热点问题1、参数取值或取值范围问题求解圆锥曲线一类参数范围是涉及方程、不等式及函数的综合题，需要洞察已知条件和欲求参数范围之间内在联系，有时还须引入中间参量，通过中间参数使问题过渡，而曲线上点坐标的运动变化范围往往也是控制所求参数的必要条件.样题：已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于这条直线对称.分析 设出对称的两点及其所在的直线的方程，再使用判别式及中点在对称轴上求解.解 设椭圆上关于直线对称的两点为，其所在直线的方程为，代入椭圆的方程并整理得.又，而点又在上，.把代入得即得取值范围是.2、最值问题3、定点、定值问题4、求轨迹方程问题注：专题热点问题是热点，也是解析几何知识与函数、向量、数列知识交汇的力量之源，学生应当在学习过程中，注意总结归类这几大类题目的小技巧。这里，只说明两点，第一，很多题目都需要计算到韦达定理那一步，之后才会分化出很多的不同。我们在掌握通性通法的同时，也要注意掌握小经验、小技巧。第二，还有几个热点难点没有介绍，如相切问题、圆锥曲线与圆的问题等，不做相应专题的原因有两点。一是考虑到高考着重于以直线与圆锥曲线为载体，我们应当把主要精力投入到细化这方面的知识中来；二是没有介绍的专题目前并不是考察的重点，本身却是难点。巩固大练习一、椭圆部分（一）1、已知动圆过定点，并且在定圆的内部与其相切，求动圆圆心的轨迹方程.2、已知,且三边长依次成等差数列，求顶点的轨迹方程.3、椭圆和连接两点的线段有公共点，那么的取值范围是 .4、过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是 .5、椭圆上一点到两个焦点的距离分别为，则取最大值时，点的坐标是 .6、推算椭圆的焦点三角形面积公式.7、已知椭圆，试确定的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点，关于直线对称.8、过椭圆的一个焦点作与轴不垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明为定值.一、椭圆部分（二）1、已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是 .2、是椭圆的两焦点，是椭圆上任一点，过一焦点引的外角平分线的垂线，垂足为的轨迹为 .3、已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交（为圆的圆心）于，则动点的轨迹方程为 .4、如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则_.5、设椭圆的中心为原点，在轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且此焦点和长轴较近的端点的距离为，则椭圆的方程为 .6、椭圆上的点到直线的距离的最小值是 .7、椭圆与直线的交点情况是 .8、点是椭圆上一点，（是椭圆的两个焦点），则的最大值和最小值之差为 .9、是椭圆的两个焦点，椭圆方程为，点满足，则椭圆上点的个数是 .10、直线与椭圆恒有公共点，求的取值范围.11、是椭圆的左、右焦点，点在上，求的最大值.12、设椭圆的两焦点为F1、F2。（1）若点P是椭圆上一点，且，求F1PF2的面积；（2）若是经过椭圆中心的一条弦，求的面积的最大值.二、双曲线部分（一）1、已知为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点在双曲线上，求的最小值.2、已知双曲线定义中的常数为，线段为双曲线上过焦点的弦，且，为另一焦点，求的周长.3、已知动圆与圆外切，与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程.4、判断平面上同时和两相交定圆（半径不等）外切的动圆圆心的轨迹.5、求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线；如果过点呢？6、求与双曲线有公共焦点，且过点.7、已知为双曲线的左、右焦点，点在上，求点到轴的距离.8、求双曲线的焦点三角形.9、试确定实数的不同取值，讨论直线与双曲线的公共点的个数.10、试证明双曲线上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为常数.二、双曲线部分（二）1、设分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程.2、的顶点，的内切圆圆心在直线上，求顶点的轨迹方程.3、在中，且，试求顶点的轨迹方程.4、已知双曲线，过点的直线与双曲线只有一个公共点，求直线的斜率的值.5、双曲线与的四个顶点连线围成的图形面积为，四个焦点连线围成的图形面积为，求的最大值.6、设，求的最大值.7、已知双曲线，过点能否作直线，使直线与所给双曲线交于两点，且是弦的中点？如果存在，求出它的方程；如果不存在，请说明理由.8、直线和双曲线相交于两点，当为何值时，以为直径的圆过原点？9、已知双曲线与点，过点作直线与双曲线交于两点，若为的中点.（1）求直线的方程；（2）若，判断以为中点的弦是否存在？并说明理由.10、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使直线与双曲线交于，且是线段的中点，若存在这样的直线，求出它的方程；若不存在，说明理由.11、双曲线与椭圆有相同的焦点，直线为的一条渐近线.（1）求双曲线的方程；（2）过点的直线，交双曲线于两点，交轴于点（点与的顶点不重合）.当，且时，求点的坐标.三、抛物线部分（一）1、(1)若抛物线的焦点在直线上，求此抛物线的标准方程；（2）抛物线的一条弦过焦点，且，求抛物线的方程；（3）定长为3的线段的两个端点在抛物线上移动，的中点为，则当点的坐标为 时，到轴的距离最短，最短距离为 ；（4）已知是抛物线上动点，两定点和，求的最小值.2、（1）动点到轴的距离比到点的距离小，求点的轨迹方程（2）求抛物线的焦点坐标、准线方程.3、（1）已知是抛物线上的两个点，为坐标原点，且抛物线的焦点恰为的垂心，求直线的方程；（2）若的顶点在抛物线上，且的纵坐标，的重心恰是抛物线的焦点，求直线的方程.4、已知圆和点，其中，是圆上的动点，的垂直平分线交直线于点，判断点的轨迹.5、设为直线外一定点，点到直线的距离为，为直线上的定长线段，且，当在直线上滑动时.（1）求的外心的轨迹方程，并说明它表示什么曲线；（2）当时，若是上任一点，直线过点且与交于另一点，若直线与曲线上的处的切线垂直，求线段中点的轨迹方程.三、抛物线部分（二）1、已知点满足，判断点的轨迹.2、已知点是抛物线上的点，求点到的距离的最小值.3、直线交抛物线于两点，若的中点横坐标为2，求.4、顶点在原点，焦点在轴上的抛物线截直线所得的弦长为，求抛物线的方程.5、过抛物线的顶点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于两点，线段求的中点的轨迹方程.6、设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，求直线的斜率的取值范围.7、设是抛物线上的三个点，它们的横坐标依次为、，当的面积取最大值时，求的值.8、证明：过抛物线的对称轴上的定点任作一条直线交抛物线于两点，则为定值.9、已知为坐标原点，为抛物线上的点，设.（1）求的最小值； （2）当取最小值时，求的最小值.10、在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足=0；（1）求得重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（2）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由四、直线与圆锥曲线综合问题部分1、试确定实数的不同取值，讨论直线与双曲线的公共点的个数。2、过点作直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，求的范围。3、正方形的边在直线上，在抛物线上，求正方形的面积。4、过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若线段与的长分别为，求的值。5、设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，且、，是抛物线准线上一点，为坐标原点。（1）求证：； （2）直线的方向向量分别为，求证成等差数列。6、已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程。7、如果抛物线上总有关于直线对称的相异两点，试求的取值范围。8、直线与椭圆恒有公共点，求的取值范围。9、已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。10、直线与椭圆交于两点，是抛物线上一点，若直线与无公共点，且有最小面积，求的值和点的坐标。11、已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上.斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，与共线.（1）求；（2）设是椭圆上任意一点，且，证明为定值。12、已知椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）若不经过点的动直线与椭圆相交于两点，且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。高考大预测1、在中，、为定点，为动点，记、的对边分别为、，已知， （1） 证明：动点一定在某个椭圆上，并求出该椭圆的标准方程；（2） 设点为坐标原点，过点作直线与（1）中的椭圆交于两点，若，求直线的方程2、定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆。（1）若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；（2）写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围？（3）如图：直线与两个“相似椭圆”和分别交于点和点，证明：3、已知椭圆的焦点，过作垂直于轴的直线被椭圆所截线段长为，过作直线l与椭圆交于A、B两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若A是椭圆与y轴负半轴的交点，求的面积；（3）是否存在实数使，若存在，求的值和直线的方程；若不存在，说明理由4、已知椭圆：过点，上、下焦点分别为、，向量直线与椭圆交于两点，线段中点为（1）求椭圆的方程；（2）求直线的方程；（3）记椭圆在直线下方的部分与线段所围成的平面区域（含边界）为，若曲线与区域有公共点，试求的最小值5、设，点的坐标为，点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程.6、已知椭圆的方程为，点P的坐标为(1) 若直角坐标平面上的点M、A(0,-b)、B(a,0)满足，求点M的坐标；(2) 设直线l1:y=k1x+p交椭圆于C、D两点，交直线l2:y=k2x于点E若，证明：E为CD的中点；(3) 对于椭圆上的点Q()(0q 时,在双曲线的右支上不存在点,使之到直线的距离为.9、如图，已知抛物线与圆相交于四个点。（1）