线性代数习题及答案.doc

习题一（A）1计算下列二阶行列式：（1）；（2）；（3）；（4）.解：1）= (-3)5-(-1)2=-13 2）= 3）= 4）=(t+1)(t2-t+1)-1=t32计算下列三阶行列式：（1）；（2）；（3）；（4）.解：1) =10(-2)+11(-1)+(-1)11-(-1)0(-1)-111-(-2)11=-1 2) =115(-2)+2163+(-1)(-1)1-(-1)153-1611-(-2)2(-1)=92 3) = 4) =3求下列各排列的逆序数，并说明它们的奇偶性：（1）264315； （2）542163.解：1） 偶排列 2） 奇排列4确定i和j的值，使得9级排列（1）1 2 7 4 i 5 6 j 9成偶排列；（2）3 9 7 2 i 1 5 j 4成奇排列.解：1）当时成偶排列 2）当时成奇排列5利用行列式定义计算下列行列式 （1）；（2）.解：1） 2）6利用行列式性质计算下列行列式：（1）；（2）；（3）；（4）.（5）;（6）.解：1) = 2) = 3) = 4) = 5) = 6) = = =7计算下列行列式：（1）；（2）（n2）；（3）；（4）解：1) 2) 1当n=2时， 2当n2时，3) 4) 8解方程：（1）（2）.解：1) 或 2)9用克拉默法则解下列线性方程组：（1）（2）解：1) 2) 10k取何值时，下面的方程组仅有零解？（1）（2）解：1) 当仅有零解 2) 当仅有零解（B）1填空题（1）设，则方程f (x)=0的根为_；（2）=_；（3）设行列式，则第四行各元素余子式之和的值为_；（4）n阶行列式=_（5）设n阶行列式则Dn的第一行各元素的代数余子式之和_.解：1) 2) = 3) -28 4) 5) 2选择题（1）下列行列式中，不等于零的是（ ）.AB. C. D. （2）已知=（ ）.A6m B-6m C12m D-12m（3）多项式中的常数项是（ ）.A3 B-3 C15 D-15（4）设行列式，则方程=0的根为（ ）.ABCD（5）n阶行列式Dn为零的充分条件是（ ）.A主对角线上的元素全为零B有个元素都等于零C至少有一个（n-1）阶子式为零D所有（n-1）阶子式均为零解：D、A、A、B、D3证明：.证明: 左= 4证明：.解： =5计算下列n阶行列式：（1）；（2）；（3）；（4）.解： 1) 2) 3) 4) = 6用数学归纳法证明证明: 1当n=2时, 2设n=k时, 当n=k+1时,7证明n阶行列式证明: 1当n=2时, 2设n=k时, 当n=k+1时,8试证：一元二次函数可由其图像上三个横坐标互不相等的点唯一确定.证明: 设二次函数为,三点为,且,则 又则方程组只有唯一的解a,b,c9解线性方程组其中.解：10若齐次线性方程且有非零解，则a、b应满足什么条件？解：当即时,方程组有非零解.习题二（A）1设矩阵，且，求a，b，c的值.解: A=0时,则2设，求（1），（2）.解: 3如果矩阵X满足,其中，求X.解： 4某石油公司所属的三个炼油厂A1，A2，A3在2003年和2004年所生产的四种油品B1，B2，B3，B4的数量如下表（单位：104t）：厂工品油量产2003年2004年B1B2B3B4B1B2B3B4A158271546325135A272301859030207A365251438028185（1）作矩阵和分别表示2003年、2004年工厂Ai产油品Bj的数量；（2）计算和，分别说明其经济意义；（3）计算，并说明其经济意义.解: 1) 2) 上式表明:三个在2003年,2004年生产四种油品的总产量. 上式表明：三厂在2004年生产的四种与2003年相比的增加量. 3) 上式表明三厂在2003年、2004年生产四种油品的平均产量.5计算下列矩阵的乘积：（1）；（2）；（3）（-1，3，2）；（4）（-1，2）；（5）（6）（1，-1，2）解：1) 2) 3) =5 4) 5) 6) =156设求（1）AB和BA；（2）AB-BA.解：1) 2) 7求所有与A可交换的矩阵：（1）；（2）.解：1) 设,则 XA=AX得 a =d b =0 2) 设,则 得 8设矩阵A与B可交换.证明：（1）；（2）.解：1) 2) 9计算（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）解：1) 2) 3) 4) 5) 6) 10设，A是n阶矩阵，定义.（1）如果求.（2）如果求.解：1) 2) 11设，计算（1）ABT；（2）BTA；（3）ATA.解：1) 2) 3) 12设某港口在一月份出口到三个地区的两种货物的数量以及两种货物的单位价格、重量、体积如下表：物货地区量口出 北美西欧非洲单 位单 位单 位价 格重 量体 积（万元）（t）（m3）A1200010008000.20.0110.12A2120013005000.350.050.5（1）利用矩阵乘法计算经该港口出口到三个地区的货物总价值、总重量、总体积各为多少？（2）利用（1）的结果计算经该港口出口的货物总价值、总重量、总体积为多少？解：1) 2) 总价值为1810,总重量为191.8,总体积为195613设A为n阵对称矩阵，k为常数.试证kA仍为对称矩阵.证明: 设,则 则kA为对称矩阵14（1）证明：对任意的mn矩阵A，ATA和AAT都是对称矩阵.（2）证明；对任意的n阶矩阵A，A+AT为对称矩阵，而A-AT为反对称矩阵.解：1) 证明: 都是对称矩阵 2) 为对称矩阵 则为对称矩阵15设A、B是同阶对称矩阵，则AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.解：16判断下列矩阵是否可逆.若可逆，利用伴随矩阵法求其逆矩阵：（1）；（2）；（3）；（4）.解：1) 2)不可逆 3) 4) 17设n阶矩阵A可逆，且detA=a，求，.解： 18设A为n阶矩阵，AO且存在正整数k2，使.求证：可逆，且证明: 19已知n阶阵A满足.求证：A可逆，并求A-1。解： 20如果矩阵A可逆.（1）求证：A*也可逆，并求.设求.解：1) 2) 21设矩阵和分块为利用分块矩阵运算，求和.解： 22设A1，A2分别为m阶，n阶可逆矩阵，分块矩阵证明：A可逆，且.证明: 23设A为33矩阵，|A|=|-2|.把A按列分块为，其中是A的第j列.求（1）；（2）.解：1) 2) 24求下面分块矩阵的逆矩阵：（1）；（2）.解：1) 2)25把下列矩阵化为其等价标准形：（1）；（2）；（3）；（4）.解：1)2) 3)4)26利用初等行变换法求下列矩阵的逆矩阵：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解：1) 2) 3) 4) 5) 27解矩阵方程：（1）；（2） .解：1) 2) 28已知，X满足，求X.解： 29设A，B为三阶矩阵，且满足方程若矩阵求矩阵B.解： 30设A为四阶矩阵，矩阵，且满足，求矩阵A.（提示：方程两边左乘矩阵C，化简.）解： （B）1填空题（1）设矩阵，a，b，c为实数，且已知，则a= ，b=_，c=_；（2）设，n为正整数，则_；（3）已知.矩阵，则=_；（4）设，矩阵，n为正整数，则_；（5）设，则_；（6）设A，B均为三阶矩阵，且的伴随矩阵，则_；（7）设矩阵，则B-1=_；（8）设A，B都是三阶方阵.若_；（9）设矩阵，则det(AC)= _；解：1) 1,-1,32) 03) 4) 5）6） -367） 8） 249） 12选择题（1）设有矩阵，则下列运算中没有意义的是（ ）.ABACBAC+DDTCATB+2CDAC+DTD（2）设A，B为n阶对称矩阵，则下列结论中不正确的是（ ）.AA+B为对称矩阵B对任意的矩阵为对称矩阵CAB为对称矩阵D若A，B可换，则AB为对称矩阵（3）设A，B均为n阶矩阵，则下列结论中正确的是（ ）.ABCD（4）已知A为n阶矩阵，则下述结论中不正确的是（ ）.A （k为常数）B若A可逆，则 （k为非零常数）C若A可逆，则D若A可逆，则（5）设A为三阶矩阵，Aj是A的第j列（j=1，2，3），矩阵.若detA=-2，则detB=（ ）.A16 B12C10 D7（6）已知A，B，C均为n阶可逆矩阵，且ABC=E，则下列结论必成立的是（ ）.ABCD（7）设A，B都是n阶可逆矩阵，则下述结论中不正确的是（ ）ABC （k为正整数）D （k0为任意常数）（8）设A，B，C均为n阶矩阵，则下列结论中不正确的是（ ）.A若ABC=E，则A，B，C都可逆B若，且A可逆，则B=CC若，且A可逆，则BA=CAD若，且AO可逆，则B=O（9）设n阶矩阵A非奇异（n2），A*是A的伴随矩阵，则（ ）.ABCD（10）设，则必有（ ）.ABCD解：D、C、D、C、B、B、A、D、C、A3设矩阵，求矩阵X，使得.解：detA=70 4设矩阵（1）计算MMT；（2）利用（1）的结果，求detM.解：5设A为n1矩阵，矩阵.试证B为对称矩阵.如果A=(1，-1，2)T，求B.解：证明则B为对称矩阵当A=(1，-1，2)T时6设A，B为同阶矩阵，且.证明A2+A当且仅当.证明：7的主对角线上所有元素的和称为A的迹，记作tr (A)或迹（A）.即试证：如果A，B为同阶矩阵，则（1）；（2），k为任意常数；（3）；（4）.解：1）设则 tr(A)+tr(B)2）3）4）8设A为实对称矩阵，且A2=O，则A=O.证明：设其中，则9设A为奇数阶反对称矩阵，则.解：10设A、B、C为同阶矩阵，且C为非奇异矩阵，满足.求证：解：11已知A，B和A+B均为可逆矩阵，试证也可逆，并求其逆矩阵.可逆12证明：如果A是非奇异对称矩阵，则A-1也是对称矩阵.证明：A-1也是对称矩阵.13设是n1矩阵，0，.证明：（1）的充分必要条件是；（2）当时，A是不可逆矩阵.解： 1） 2）反证，若A可逆，则detA=detE-detaaT=1-detaaT=1-detaaT0即detaaT1与条件矛盾。14设n阶矩阵A和B满足关系A+B=AB.（1）证明：A-E为可逆矩阵；（2）已知，求矩阵A.证明：1）A+B=ABA-E-（AB-B）=-EA-E+（E-A）B=-EA-E）（E-B）=-E (A-E)(E-B)=-EA-E可逆2）当时，由得15设A，B，C均为n阶矩阵，如果.求证.解：16已知矩阵，且矩阵X满足求X.解：AXA+BXB=AXB+BXA+EAXA-AXB+BXB-BXA=E AX(A-B)+BX(B-A)=E AX-BX）（A-B）=E17设矩阵，矩阵X满足，其中A*是A的伴随矩阵，求X.解：18设A，B，C，D均为n阶矩阵，E为n阶单位阵，A是非奇异的.如果分块矩阵计算PQR.解：19设A为n阶非奇异矩阵，为n维列向量，b为常数.记分块矩阵 其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E是n阶单位矩阵.（1）计算并化简PQ；（2）证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是.解：1）2）习题三（A）1用消元法解下列线性方程组：（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：.1) 2） 无解3)4)5）（,均为任意常数）6）2当a取何值时，线性方程组无解？有唯一解？有无穷多解？当方程组有无穷多解时，求出其一般解.解：1当a=-3时，无解2当a=2时，无穷多解 （c为任意常数）3当a2且a2-3时，唯一解3当a，b取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？当方程组有无穷多解时，求其一般解.解：1当a5时，唯一解2a=5，b-3时，无解3当a=5且b=-3无究多解 （c为任意常数）4当k为何值时，齐次线性方程组有非零解？并求出此非零解.解：时，方程组有非零解 （c为任意常数） 5已知向量.计算：（1）；（2）.解：1）2）6设向量.求a，b的值，使.解： 则7判定下列各组中的向量是否可以表示为其余向量的线性组合，若可以，试求出其表示式.（1）；（2）；（3）.解：1)则2)则不能由线性表示3）则(c为任意常数)8设.问当为何值时（1）不能同线性表出？（2）可同线性表出，并且表示法唯一？（3）可同线性表出，并且表示法不唯一？解：1当时，不能由线性表示2当且时，可由唯一性表示3当时，表示法不唯一9判定下列向量组是线性相关，还是线性无关？（1）；（2）；（3）.解：1)无关2）23，相关3）无关10已知向量.试求a为何值时，向量线性相关？线性无关.解：1当即a=-2或a=3时，线性相关2当即a-2且a3时，线性无关11设线性无关，又.证明：向量组线性相关.解：设因为线性无关，则（c为任意常数）则线相关 12已知向量组可由向量组线性表示：（1）试把向量组由向量组线性表示；（2）这两个向量组是否等价？解：1）由得2）等价，因为和可以互相线性表示13设n维向量组.试证：向量组与n维基本单位向量组等价.解：因又即和，可以互相线性相示，则它们等价.14证明：如果n维基本单位向量组可以由n维向量组线性表示，则向量组线性无关.解：因为，和可以相互相线性表示，则它们等价.所以，线性无关.15求下列向量组的一个级大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示：（1）；（2）；（3）解：1)，为一个极大无关组，且2），为一个极大无关组，且=-3） ，为一个极大无相关组，且=5+2-2=-+16求下列向量组的秩：（1）（2）解：1)r(，,)=22)(，,)=317已知矩阵（1）计算A的所有三阶子式；（2）利用（1）的结果求矩阵A的秩.解：1）三阶子式2）二阶子式18把下列矩阵化为阶梯形矩阵，求矩阵的秩：（1）；（2）解： 1)r=22）r=319设向量组的秩为r，证明：中任意r个线性无关的向量都是它们的一个极大线性无关组.解：设故它们为20已知向量组（）；（）；（）.如果各向量组的秩分别为r（）=r（）=3， r（）=4.证明：向量组的秩为4.解：由线性无关()=3知线性相关,即可由线性表示()=4知线性无关则可由线性表示的秩为421求下列齐次线性方程组的一个基础解系和通解：（1）（2）（3）（4）解：1) 基础解系:通解为2） 基础解系:通解为3） 基础解系:通解为4) 基础解系:通解为22求下列非齐次线性方程组的全部解，并用其导出组的基础解系表示：（1）（2）（3）（4）解：1） =c(-3,0,1,）T+(11,-4,1,0） T (c为任意常数）2）(c1,c2为任意常数）3） = c1(1,0,-1,1,0）T+ c 2(1,0,0,0,1）T+(0,0,2,0,0）T (c1, c 2任意常数）4） =c1(-2,1,1,0）T+ c 2(1,0,1,1）T+(3,0,1,0）T (c1, c 2任意常数）23证明：线性方程组有解的充分必要条件是.在方程组有解时，求方程组的全部解.解： 当时，方程组有解X=+c (c为任意常数）24已知齐次线性方程（），（）的基础解系分别是试求方程组（），（）的全部公共解.解：方程组的全部解为K1+k2=l1+l2= (c为任意常数）且全部公共解为= (c为任意常数）25证明：如果线性方程组的系数矩阵与矩阵的秩相等，则此线性方程组有解.解：则则故方程组有解26设齐次线性方程组的系数矩阵的秩为n-1.求证：此方程组的全部解为其中为元aij的代数余子式，且至少有一个Aij0，c为任意常数.解：方程组只有一个基础解系又全部解为27设A为mn矩阵，B为ms矩阵.证明：AB=O的充分必要条件是B的每个列向量为齐次线性方程组AX=0的解. 解：设(）则(）=0 则等价于28设A为mn矩阵，且r(A)=rn.求证：存在秩为n-r的n(n-r)矩阵B，使得AB=O.解：设 为齐次方程组的一个基础解系令 (,）则 =0而 29设A为n阶矩阵，并且AO.求证：存在一个n阶矩阵BO使AB=O的充分必要条件是detA=0.解：存在一个阶矩阵，使30设A为mn矩阵，且r(A)= n，又B为n阶矩阵.求证：（1）如果，则；（2）如果，则.证明：由习题结论论知1）证:将分块，设=其中 =. 则：由可设 考虑齐次线性方程组. 其中显然的解向量，所以方程组的任一基础解系所含向量个数为.即又2）由上分析知从而（B）1填空题（1）设向量，则向量可表示为的线性组合_；（2）已知向量组，则当a=_时，线性相关；（3）设三阶矩阵，.已知与线性相关，则a=_；（4）已知向量组的秩为2，则a=_，b=_;（5）已知方程组无解，则a=_；（6）线性方程组有解的充分必要条件是满足_；（7）设矩阵，则齐次线性方程组的一个基础解系是_；（8）设矩阵若三阶矩阵BO满足，则t=_，=_；（9）设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n-1，则线性方程组AX=0的通解为_；（10）设四元线性方程组的系数矩阵A的秩均为此方程的解，且，则方程组的通解为_.解：1） 2） 3） 4） 5） 6）7）=8） 9）=10）=2选择题（1）已知向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）.ABCD（2）向量线性无关的充分条件是（ ）.A均不是零向量B中任意两个向量都不成比例C中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示D中有一个部分组线性无关（3）设均为n维向量，则下述结论中正确的是（ ）.A若，则向量组线性相关B若对任意一组不全为零的数，都有，则向量组线性无关C若向量组线性相关，则其中任意一个向量都可以用其余s-1个向量线表示D若向量组线性相关，则对任意一组不全为零的数，都有（4）若向量组线性无关，向量组线性相关，则（ ）.A必可由线性表示B必不可由线性表示C必可由线性表示D必不可由线性表示（5）设n阶矩阵A的秩r (A)=rn，则A的n个行向量中（ ）.A必有r个行向量线性无关B任意r个行向量线性无关C任意r-1个行向量线性无关D任意一个行向量都可由其他r个行向量线性表出（6）设A是mn矩阵，B是nm矩阵，则（ ）.A当mn时，必有行列式B当mn时，必有行列式C当nm时，必有行列式D当nm时，必有行列式（7）设非齐次线性方程组中，系数矩阵A为mn矩阵，且r (A)=r，则（ ）.Ar=m时，方程组有解Br=n时，方程组有唯一解Cm=n时，方程组有唯一解Drn时，方程组有无穷多解（8）设A是mn矩阵，线性方程组AX=b对应的导出组为AX=0，则下述结论中正确的是（ ）.A若仅有零解，则有唯一解B若有非零解，则有无穷多解C若有无穷多解，则仅有零解D若有无穷多解，则有非零解（9）设矩阵，B是34非零矩阵，且AB=0，则必有（ ）.ABCD（10）设有齐次线性方程组和，其中A，B都是mn矩阵.现有4 个命题：若的解都是的解，则.若，则的解都是的解.若与同解，则.若，是与同解.A B C D解：A，C，B，C，A，B，A，D，A，D3设.试讨论当a，b为何值，（1）不能由线性表示；（2）可由唯一地线性表示，并求出表示式；（3）可由线性表示，但表示式不唯一，并求表示式.解：1当 为任意常数时， 不能由线性表示2当时, 能由线性表示=+ 3当时, 能由线性表示,表示式不唯一=+（+c）+4设向量可由向量组线性表示，但不能由向量组（）：线性表示.记向量组（）：，.试证： 不能由（）线性表示，但可由（）线性表示.解：设能由(）线性表示,则= （1）其中不全为0即则 （2）则(1）代入(2）得由(2）得即可由(）线性表示5已知向量组线性无关，试证：向量组线性无关.解：设,则又线性无关6已知向量组线性无关，设.试问：当m为何值时，向量组线性无关？解：设 而则当线性无关;当线性无关7已知向量组（s2）线性无关.设，.试讨论向量组的线性相关.解：设而线性无关,则则当s为奇数时,上述方程组有零解,线性无关当s为偶数时,上述方程组有非零解, 线性无关8设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组有解向量，且.证明：向量组线性无关.解：设取即存在一组不全为0的数,使线性无关9已知向量组（）：和向量组（）：.问t为何值时，两个向量组等价？并写出等价时，两个向量组相互线性表示的表示式.解：当10设A，B均为mn矩阵，试证：解：设则而线性表示,则又11设A为n阶方阵，且，证明：.解： 12设A是n (n2)阶矩阵，A*是A的伴随矩阵.证明：解： 当 当 则当 13设A，B均为n阶矩阵.证明：解：设 则14已知线性方程组讨论参数p，t取何值时，方程组有解？无解？当有解时，试用其导出组的基础解系表示方程组的全部解.解： 15已知线性方程组：（）（）是同解方程，试确定参数a，b，c之值.解：）因（），（）同解，则16设mn矩阵A的秩为rn，又为非齐次线性方程组的个线性无关的解.求证：是其导出组的一个基础解系.解：因则又线性无关，则则17设mn矩阵A的秩为rn，又为非齐次线性方程组的一个解，而为其导出组的一个基础解系.求证：为方程组的个线性无关的解.解：18设A是mn矩阵.证明：（1）线性方程组与是同解方程组；（2）.解： 1）证明：设2）因19在一个包括三个部门的经济系统中，已知报告期的投入产出表（价值型）：入投量流间门部出产中间产品最终产品总产出部门1部门2部门3合计y中间投入部门120050010012002000部门2400200030023005000部门320050003001000新创价值z12002000600总投入200050001000（1）求直接消耗系数矩阵；（2）如果计划期的最终需求向量为，试求计划期的总产出.解：1）2）20用图解法求下列规划问题：（1）； （2）， （3）， 解：1）当 2） 3）无最优解21用单纯形方法求解下面的线性规划问题：解：22某厂生产甲、乙两种产品，都必须经过该厂的金工和装配两道工序.但一周内可供生产甲、乙两种产品的总时间为：金工部分80小时，装配部分100小时.此外，统计数学表明，生产甲产品一件需要4小时金工加工，2小时装配加工；生产乙产品一件需要2小时金工加工，4小时装配加工.而甲产品每件收益1万元，乙产品每件收益8千克.如下表，现要求合理安排一周生产，使得总收益为最大.序工品产甲乙总计金工（小时）装配（小时）422480100收益（千元/件）10解：每周生产甲产品10件，乙产品20件，最大收益26万元。习题四（A）1求下列矩阵的特征值和特征向量：（1）；（2）；（3）（4）解：1）得2）得3） 4） 得 2求下列矩阵A的特征值和特征向量：（1）A是n阶零矩阵，即A=O；（2）A是n阶数量矩阵，即.解：特征向量特征向量3设n阶矩阵A有特征值.证明：（1）若A可逆，则是的特征值；（2）是的特征值.解：1）由已知，存在而2） 4已知0是矩阵的一个特征值.（1）求a的值；（2）求A的特征值和和特征向量.解：1）2）5已知三阶可逆矩阵A的特征值为1，2，3，求下列矩阵B的特征值：（1）；（2）；（3）；（4）（5）解：1）的特征值为4，9，162）的特征值为3，3/4，1/33）的特征值为2，3/2，4/34）的特征值为6，3，25）的特征值为6,，12，186设矩阵有特征值和，求a，b，c和的值.解：7设是n阶矩阵A的两个不同的特征值，分别是A对应于的特征向量，证明不是A的特征向量.解：反证:设8证明：相似矩阵的行列式相等.解：设BA9证明：相似矩阵的秩相等.解：设BA则10设A，B为n阶矩阵，A可逆，则ABBA.解：AB11判断下列矩阵A是否可角化.若可以对角化，试求出可逆矩阵P，使为对角矩阵.（1）；（2）；（3）；（4）.解：1）令2）当令3）当 4）A不可对角化12已知三阶矩阵A的特征值为2，1，-1，对应的特征向量为(1，0，-1)T，(1，-1，0)T，(1，0，1)T，试求矩阵A.解：13设矩阵相似，求x，y的值.解：由题意知,为A、B共有特征值14证明：若A，B均为n阶矩阵，AB，则kAkB，ATBT.解：AB kB15证明：若A，B均为n阶可逆矩阵，且AB，则A-1B-1.解：AB 两边求逆16设n阶矩阵A与B相似，m阶矩阵C与D相似，证明分块矩阵与相似.解：设 令则 17设三阶矩阵，求An（n为正整数）.解： 18求向量与的内积：（1）；（2）；（3）.解：1) 2) 3) 19.利用施密特方法求与下列向量组等价的正交单位向量组：（1）；（2）.解：1) 单位化后 ,单位化后 ,单位化后 2) ,单位化后 ,单位化后 ,单位化后20在R4中求一个单位向量，与都正交.解：设,则由 得为上述方程组一个解,则 21证明：若Q为正交矩阵，则其行列式的值为1或-1.解：22证明：若Q为正交矩阵，则Q可逆且.解：23证明：如果正交矩阵有实特征值，则该特征值只能是1或-1.解：设为正交矩阵A的任一实特征值,对应的特征值向量为,则 即 24设矩阵，试判断A是否为正交矩阵，并求A的特征值.解：A为正交矩阵 25求正交矩阵Q，使为对角矩阵：（1）；（2）；（3）；（4）.解：1) 2) 3) 4) 26设三阶实对称矩阵A的特征值为（二重），对应于的特征向量.（1）求A对应于特征值1的特征向量；（2）求矩阵A.解：1) 设时对应特征向量,则 对应的特征向量 2) （B）1填空题（1）矩阵的特征值为_；（2）设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是_；（3）已知矩阵的特征值对应的一个特征向量为，则a=_，b=_，=_；（4）设矩阵有特征，则x=_；A的另一特征值_；（5）设三阶矩阵A，和均不可逆，则_；（6）已知三阶矩阵A的特征值为-1，3，-3.矩阵，则_；（7）设四阶矩阵A与B相似，A的特征值为，则_；（8）设矩阵AB，其中，则a=_；（9）设A是三阶实对称矩阵，A的特征值，则_；（10）设二阶实对称矩阵A的一个特征为1，A的属于特征值1的特征向量为.若，则A= _.解：1) 2) 3) 4) 5) 1 6) 1215 7) 24 8) 4 9) 10) 2选择题（1）设A为n阶矩阵，下述结论正确的是（ ）.A矩阵A有n个不同的特征根B矩阵A与AT有相同的特征值和特征向量C矩阵A的特征向量的线性组合仍是A的特征向量D矩阵A对应于不同特征值的特征向量线性无关（2）设A为三阶矩阵，A的特征值为-2，2，则下列矩阵中可逆的是（ ）.ABCD（3）设n阶矩阵A可逆，是A的属于特征值的特征向量，则下列结论中不正确的是（ ）.A是矩阵-2A的属于特征值-2的特征向量B是矩阵的属于特征值的特征向量C是矩阵A*的属于特征值的特征向量D是矩阵的属于特征值的特征向量，其中P为n阶可逆矩阵（4）设n阶矩阵A的行列式，是A的一个特征值，记A*为A的伴随矩阵，则A*的伴随矩阵（A*）*的一个特征值是（ ）.ABCD（5）已知=2是三阶矩阵A的一个特征值，是A的属于=2的特征向量，若，向量，则（ ）.ABCD（6）设A，B均为n阶矩阵，并且AB，则下述结论中不正确的是（ ）.AA与B有相同的特征值和特征向量BCDA-1B-1（7）下述结论中不正确的是（ ）.An阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量Bn阶矩阵A可对角化的充分必要条件是对于A的每一个ni重特征根，矩阵的秩是m-ni.Cn阶矩阵A可对角化的充分必要条件是对于A的每一个ni重特征根，齐次方程组的基础解系恰含有ni个向量Dn阶矩阵A可对角化的充分必要条件是对于A有n个相异的特征值（8）矩阵与矩阵（ ）相似.ABCD（9）设A为n阶实对称矩阵，则（ ）.AA的n个特征向量两两正交BA的n个特征向量组成单位正交向量组CA的k个重特征值有 DA的k个重特征值有（10）下述各结论中不正确的是（ ）.A单位矩阵E是正交矩阵B两个正交矩阵的和为正交矩阵C两个正交矩阵的积是正交矩阵D正交矩阵的逆矩阵为正交矩阵解：D，B，D，C，C，A，D，C，C，B3已知向量是矩阵的逆矩阵A-1的特征向量，试求常数k的值.解：由题意知,是A的特征向量 设,则 k=1或k=24设为n阶矩阵A的一个特征值，则是的一个特征值.解：设为对应的特征向量,即 是的一特征值5设A为n阶正交矩阵，说明：（1）若n为偶数，且|A|=-1，则-1是A的特征值；（2）若n为奇数，且|A|=1，则1是A的特征值.解：1) ,则是1是A的特征值 2) ,则1是A的特征值6已知三阶矩阵A的特征值为-1，1，2.矩阵.求B的特征值和detB.解：由题4知,B的特征值为4, 2, 10,则7设矩阵，若A的特征值=1（三重），求参数x，y，z的值和=1对应的特征向量.解：,比较系数得 对应的特征向量为8设n阶矩阵（1）求A的特征值和特征向量；（2）A是否可对角化？若可以，试求可逆矩阵P，使为对角矩阵.解：1) 当 当时, 2) 令,则9设向量都是非零向量，且满足条件，记n阶矩阵.求：（1）A2及其特征值；（2）利用（1）的结论，求A的特征值和特征向量；（3）矩阵A是否可对角化.解：1) ,则 2) A的特征值,不妨设,则A 其中 3) A不可对角化10设三阶矩阵A满足，其中，求矩阵A.解：令,由 得11若矩阵相似于对角矩阵，试确定常数a的值，并求可逆矩阵P使.解： 当时, 当时, 当时, 令 , 则12设n阶矩阵A满足，且，证明：A与n矩阵相似.解： 则A的特征值为0或1相似13设n阶矩阵A满足，证明：存在可逆矩阵P，使.解：则A的特征值为1或1则存在, 使14设n阶非零矩阵A满足，则A不能相似于对角矩阵.解：由知A的任一特征值为0,则A不能相似于对角矩阵15设实对称矩阵，求可逆矩阵P，使为对角矩阵，并计算行列式的值.解： 当时 当时 令, 则 16设矩阵，已知