2020年中考数学基础题型提分讲练 专题19 以三角形为背景的证明与计算（含解析）

专题19 以三角形为背景的证明与计算考点分析【例1】（2019山东中考真题）如图，已知等边，于，为线段上一点，且，连接，bf，于，连接（1）求证：；（2）试说明与的位置关系和数量关系【答案】（1）详见解析；（2），理由详见解析【解析】（1）是等边三角形，且，（2），.理由如下：连接，是等边三角形，且，.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练运用三角形中位线定理是本题的关键【例2】（2019山东中考真题）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.（一）猜测探究在中，是平面内任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接（1）如图1，若是线段上的任意一点，请直接写出与的数量关系是 ，与的数量关系是 ；（2）如图2，点是延长线上点，若是内部射线上任意一点，连接，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由（二）拓展应用如图3，在中，是上的任意点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接求线段长度的最小值【答案】（一）（1）结论：，理由见解析；（2）如图2中，中结论仍然成立理由见解析；（二）的最小值为【解析】（一）（1）结论：，理由：如图1中，（），故答案为，（2）如图2中，中结论仍然成立理由：，（），（二）如图3中，在上截取，连接，作于，作于，（），当的值最小时，的值最小，在中，在，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，的最小值为【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题考点集训1（2019湖北中考真题）如图，在中，是边上的一点，平分，交边于点，连接（1）求证：；（2）若，求的度数【答案】(1)见解析；（2）【解析】（1）证明：平分，在和中，；（2），平分，在中，【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键2（2019浙江中考真题）如图，在abc中，ad是bc边上的中线，e是ab边上一点，过点c作cfab交ed的延长线于点f，（1）求证：bdecdf；（2）当adbc，ae1，cf2时，求ac的长【答案】（1）见解析；（2）.【解析】解：（1），.是边上的中线，.（2），.，.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键3（2019天津）在rtabc中，a=90，ac=ab=4，d，e分别是边ab，ac的中点若等腰rtade绕点a逆时针旋转，得到等腰rtrtad1e1，设旋转角为（0180），记直线bd1与ce1的交点为p（1）如图1，当=90时，线段bd1的长等于 ，线段ce1的长等于 ；（直接填写结果）（2）如图2，当=135时，求证：bd1=ce1 ，且bd1ce1 ；（3）求点p到ab所在直线的距离的最大值（直接写出结果）【答案】（1）bd1=，ce1=；（2）见解析；（3）1 +【解析】解：（1）解：a=90，ac=ab=4，d，e分别是边ab，ac的中点，ae=ad=2，等腰rtade绕点a逆时针旋转，得到等腰rtad1e1，设旋转角为（0180），当=90时，ae1=2，e1ae=90，;（2）证明：当=135时，如下图：由旋转可知d1ab=e1ac=135又ab=ac，ad1=ae1，d1ab e1acbd1=ce1且 d1ba=e1ca设直线bd1与ac交于点f，有bfa=cfpcpf=fab=90，bd1ce1；（3）解：如图3，作pgab，交ab所在直线于点g，d1，e1在以a为圆心，ad为半径的圆上，当bd1所在直线与a相切时，直线bd1与ce1的交点p到直线ab的距离最大，此时四边形ad1pe1是正方形，pd1=2，则，故abp=30，则，故点p到ab所在直线的距离的最大值为：考点：旋转变换，直角三角形，勾股定理，三角形全等，正方形的性质4（2019江西初二期末）（1）如图（1），已知：在abc中，bac90，ab=ac，直线m经过点a，bd直线m, ce直线m,垂足分别为点d、e.证明:de=bd+ce.（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在abc中，ab=ac，d、a、e三点都在直线m上,并且有bda=aec=bac=,其中为任意锐角或钝角.请问结论de=bd+ce是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.（3）拓展与应用：如图（3），d、e是d、a、e三点所在直线m上的两动点（d、a、e三点互不重合）,点f为bac平分线上的一点,且abf和acf均为等边三角形，连接bd、ce,若bda=aec=bac，试判断def的形状.【答案】（1）见解析（2）成立（3）def为等边三角形【解析】解：（1）证明：bd直线m，ce直线m，bdacea=900bac900，bad+cae=900bad+abd=900，cae=abd又ab=ac ，adbcea（aas）ae=bd，ad=cede=ae+ad= bd+ce（2）成立证明如下：bda =bac=，dba+bad=bad +cae=1800dba=caebda=aec=，ab=ac，adbcea（aas）ae=bd，ad=cede=ae+ad=bd+ce（3）def为等边三角形理由如下：由（2）知，adbcea，bd=ae，dba =cae，abf和acf均为等边三角形，abf=caf=600dba+abf=cae+cafdbf=faebf=af，dbfeaf（aas）df=ef，bfd=afedfe=dfa+afe=dfa+bfd=600def为等边三角形（1）因为de=da+ae，故由aas证adbcea，得出da=ec，ae=bd，从而证得de=bd+ce（2）成立，仍然通过证明adbcea，得出bd=ae，ad=ce，所以de=da+ae=ec+bd（3）由adbcea得bd=ae，dba =cae，由abf和acf均等边三角形，得abf=caf=600，fb=fa，所以dba+abf=cae+caf，即dbf=fae，所以dbfeaf，所以fd=fe，bfd=afe，再根据dfe=dfa+afe=dfa+bfd=600得到def是等边三角形5（2019贵州中考真题）（1）如图，在四边形中，点是的中点，若是的平分线，试判断，之间的等量关系解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，转化在一个三角形中即可判断，之间的等量关系_；（2）问题探究：如图，在四边形中，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，之间的等量关系，并证明你的结论【答案】（1）；（2），理由详见解析.【解析】解：（1）.理由如下：如图，是的平分线，.点是的中点，又，（aas），.故答案为：.（2）.理由如下：如图，延长交的延长线于点.，又，（aas），是的平分线，.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键6（2019江苏初二期中）如图，abc中，ab=ac，点e，f在边bc上，be=cf，点d在af的延长线上，ad=ac，（1）求证：abeacf；（2）若bae=30，则adc= 【答案】（1）证明见解析；（2）75【解析】（1）ab=ac，b=acf，在abe和acf中，abeacf（sas）；（2）abeacf，bae=30，caf=bae=30，ad=ac，adc=acd，adc=75，故答案为75【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.7（2019江苏中考真题）如图，中，点在边上，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点(1)求证：；(2)若，求的度数.【答案】(1)证明见解析；(2)78.【解析】 (1) (2) 【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键8（2019江苏中考真题）如图，在abc中，ab=ac,点d、e分别在ab、ac上，bd=ce，be、cd相交于点0；求证：（1）（2）【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】 (1)ab=ac，ecb=dbc，在 ， ；(2)由(1) ，dcb=ebc，ob=oc.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.9（2019江苏中考真题）如图，中，（1）用直尺和圆规作的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若（1）中所作的垂直平分线交于点，求的长【答案】（1）详见解析；（2）【解析】（1）如图直线即为所求（2）垂直平分线段，设，在中，解得，【点睛】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型10（2019湖北初二期中）（问题提出）如图，已知abc是等边三角形，点e在线段ab上，点d在直线bc上，且ed=ec，将bce绕点c顺时针旋转60至acf连接ef试证明：ab=db+af（类比探究）（1）如图，如果点e在线段ab的延长线上，其他条件不变，线段ab，db，af之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点e在线段ba的延长线上，其他条件不变，请在图的基础上将图形补充完整，并写出ab，db，af之间的数量关系，不必说明理由【答案】证明见解析；（1）ab=bdaf；（2）af=ab+bd【解析】（1）证明：de=ce=cf，bce由旋转60得acf，ecf=60，be=af，ce=cf，cef是等边三角形，ef=ce，de=ef，caf=bac=60，eaf=bac+caf=120，dbe=120，eaf=dbe，又a，e，c，f四点共圆，aef=acf，又ed=dc，d=bce，bce=acf，d=aef，edbfea，bd=af，ab=ae+bf，ab=bd+af类比探究（1）de=ce=cf，bce由旋转60得acf，ecf=60，be=af，ce=cf，cef是等边三角形，ef=ce，de=ef，efc=bac=60，efc=fgc+fcg，bac=fgc+fea，fcg=fea，又fcg=eadd=ead，d=fea，由旋转知cbe=caf=120，dbe=fae=60debefa，bd=ae， eb=af，bd=fa+ab即ab=bd-af（2）af=bd+ab（或ab=af-bd）如图，ed=ec=cf，bce绕点c顺时针旋转60至acf，ecf=60，be=af，ec=cf，bc=ac，cef是等边三角形，ef=ec，又ed=ec，ed=ef，ab=ac，bc=ac，abc是等边三角形，abc=60，又cbe=caf，caf=60，eaf=180-caf-bac=180-60-60=60dbe=eaf；ed=ec，ecd=edc，bde=ecd+dec=edc+dec，又edc=ebc+bed，bde=ebc+bed+dec=60+bec，aef=cef+bec=60+bec，bde=aef，在edb和fea中， edbfea（aas），bd=ae，eb=af，be=ab+ae，af=ab+bd，即ab，db，af之间的数量关系是：af=ab+bd考点：旋转变化，等边三角形，三角形全等，11（2019浙江中考真题）如图，在中，.已知线段ab的垂直平分线与bc边交于点p，连结ap，求证：；以点b为圆心，线段ab的长为半径画弧，与bc边交于点q，连结aq，若，求的度数.【答案】（1）见解析；（2）b=36.【解析】（1）证明：因为点p在ab的垂直平分线上，所以pa=pb，所以pab=b，所以apc=pab+b=2b.（2）根据题意，得bq=ba，所以baq=bqa，设b=x，所以aqc=b+baq=3x，所以baq=bqa=2x，在abq中，x+2x+2x=180，解得x=36，即b=36.【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质.12（2019山东初三）（1）操作发现：如图，小明画了一个等腰三角形abc，其中ab=ac，在abc的外侧分别以ab，ac为腰作了两个等腰直角三角形abd，ace，分别取bd，ce，bc的中点m，n，g，连接gm，gn小明发现了：线段gm与gn的数量关系是_；位置关系是_（2）类比思考：如图，小明在此基础上进行了深入思考把等腰三角形abc换为一般的锐角三角形，其中abac，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由（3）深入研究：如图，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究向abc的内侧分别作等腰直角三角形abd，ace，其它条件不变，试判断gmn的形状，并给与证明【答案】（1）mg=ng； mgng；（2）成立，mg=ng，mgng；（3）答案见解析【解析】（1）连接be，cd相交于h，如图1，abd和ace都是等腰直角三角形，ab=ad，ac=ae，bad=cae=90cad=bae，acdaeb（sas），cd=be，adc=abe，bdc+dbh=bdc+abd+abe=bdc+abd+adc=adb+abd=90，bhd=90，cdbe，点m，g分别是bd，bc的中点，mgcd且mg=cd，同理：ngbe且ng=be，mg=ng，mgng，（2）连接cd，be，相交于h，如图2，同（1）的方法得，mg=ng，mgng；（3）连接eb，dc并延长相交于点h，如图3.同（1）的方法得，mg=ng，同（1）的方法得，abeadc，aeb=acd，ceh+ech=aehaec+180acdace=acd45+180acd45=90，dhe=90，同（1）的方法得，mgnggmn是等腰直角三角形.点睛：此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键13（2019山东）（提出问题）（1）如图1，在等边abc中，点m是bc上的任意一点（不含端点b、c），连结am，以am为边作等边amn，连结cn求证：abc=acn（类比探究）（2）如图2，在等边abc中，点m是bc延长线上的任意一点（不含端点c），其它条件不变，（1）中结论abc=acn还成立吗？请说明理由（拓展延伸）（3）如图3，在等腰abc中，ba=bc，点m是bc上的任意一点（不含端点b、c），连结am，以am为边作等腰amn，使顶角amn=abc连结cn试探究abc与acn的数量关系，并说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）证明：abc、amn是等边三角形，ab=ac，am=an，bac=man=60bam=can在bam和can中，bamcan（sas）abc=acn（2）结论abc=acn仍成立理由如下：abc、amn是等边三角形，ab=ac，am=an，bac=man=60bam=can在bam和can中，bamcan（sas）abc=acn（3）abc=acn理由如下：ba=bc，ma=mn，顶角abc=amn，底角bac=manabcamn又bam=bacmac，