2020年中考数学考点一遍过 考点17 特殊的平行四边形（含解析）

考点17 特殊的平行四边形一、矩形的性质与判定1矩形的性质：（1）四个角都是直角；（2）对角线相等且互相平分；（3）面积=长宽=2sabd=4saob（如图）2矩形的判定：（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；（2）有三个角是直角；（3）对角线相等的平行四边形二、菱形的性质与判定1菱形的性质：（1）四边相等；（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；（3）面积=底高=对角线乘积的一半2菱形的判定：（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；（2）对角线互相垂直的平行四边形；（3）四条边都相等的四边形三、正方形的性质与判定1正方形的性质：（1）四条边都相等，四个角都是直角；（2）对角线相等且互相垂直平分；（3）面积=边长边长=2sabd=4saob2正方形的判定：（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形；（2）一组邻边相等的矩形；（3）一个角是直角的菱形；（4）对角线相等且互相垂直、平分四、联系（1）两组对边分别平行；（2）相邻两边相等；（3）有一个角是直角；（4）有一个角是直角；（5）相邻两边相等；（6）有一个角是直角，相邻两边相等；（7）四边相等；（8）有三个角都是直角五、中点四边形（1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.考向一 矩形的性质与判定1矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有自己单独的性质，即：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等2利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半3矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形典例1 （2019陕西初三期中）如图，矩形abcd的对角线交于点o，若bao=55，则aod等于a105b110c115d120【答案】b【解析】四边形abcd是矩形，oa=obbao=abo=55aod=bao+abo=55+55=110故选b典例2 （2019阜阳市第九中学初二期中）如图，矩形abcd的对角线ac与数轴重合（点c在正半轴上），ab=5，bc=12，点a表示的数是1，则对角线ac、bd的交点表示的数a5.5b5c6d6.5【答案】a【解析】连接bd交ac于e，如图所示：四边形abcd是矩形，ae=6.5，点a表示的数是1，oa=1，oe=aeoa=5.5，点e表示的数是5.5，即对角线ac、bd的交点表示的数是5.5；故选a.1（2019陕西师大附中初三月考）如图，四边形abcd的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是aab=bcbac垂直bdca=cdac=bd2（2019云南初二期中）如图，在平行四边形中，对角线交于点，并且，点是边上一动点，延长交于点，当点从点向点移动过程中（点与点，不重合），则四边形的变化是a平行四边形菱形平行四边形矩形平行四边形b平行四边形矩形平行四边形菱形平行四边形c平行四边形矩形平行四边形正方形平行四边形d平行四边形矩形菱形正方形平行四边形考向二 菱形的性质与判定1菱形除了具有平行四边形的一切性质外，具有自己单独的性质，即：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角2菱形的判定：四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形典例3菱形具有而平行四边形不具有的性质是a两组对边分别平行b两组对边分别相等c一组邻边相等d对角线互相平分【答案】c【解析】根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较，可发现a，b，d两者均具有，而c只有菱形具有平行四边形不具有，故选c【名师点睛】有一组邻边相等的平行四边形是菱形.典例4如图，四边形abcd的对角线互相垂直，且满足ao=co，请你添加一个适当的条件_，使四边形abcd成为菱形（只需添加一个即可）【答案】bo=do（答案不唯一）【解析】四边形abcd中，ac、bd互相垂直，若四边形abcd是菱形，需添加的条件是：ac、bd互相平分（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）故答案为：bo=do（答案不唯一）3已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为a45，135b60，120c90，90d30，1504如图，在abc中，ad是bac的平分线，deac交ab于e，dfab交ac于f，求证：四边形aedf是菱形考向三 正方形的性质与判定1正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质2正方形的判定：以矩形和菱形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形证明四边形是正方形的一般步骤是先证出四边形是矩形或菱形，再根据相应判定方法证明四边形是正方形典例5（2020宁夏初二期中）面积为92的正方形以对角线为边长的正方形面积为a182b202c242d282【答案】a【解析】正方形的面积为9cm2，边长为3cm，根据勾股定理得对角线长=cm，以为边长的正方形的面积=cm2.故选a典例6（2019重庆初三期中）如图，在abc中，b=90，ab=bc=4，把abc绕点a逆时针旋转45得到ade，过点c作cfae于f，de交cf于g，则四边形adgf的周长是a8b4+4c8+d8【答案】d【解析】如图，连接ag，b=90，ab=bc=4，cab=acb=45，ac=4，把abc绕点a逆时针旋转45得到ade，ad=ab=4，ead=cab=45，fab=90，cd=acad=44，b=90=fab，cfae，四边形abcf是矩形，且ab=bc=4，四边形abcf是正方形，af=cf=ab=4=ad，afc=fcb=90，gcd=45，且gdc=90，gcd=cgd=45，cd=gd=44，af=ad，ag=ag，rtagfrtagd（hl），fg=gd=44，四边形adgf的周长=af+ad+fg+gd=4+4+44+44=8，故选d5（2019山东初三期中）如图，在正方形abcd内一点e连接be、ce，过c作cfce与be延长线交于点f，连接df、dece=cf=1，de=，下列结论中：cbecdf；bfdf；点d到cf的距离为2；s四边形decf=+1其中正确结论的个数是a1b2c3d46（2020陕西初三期末）如图，在正方形abcd中，ae、bf交于点g，下列结论中错误的是abcd考向四 中点四边形1中点四边形一定是平行四边形；2中点四边形的面积等于原四边形面积的一半典例7如图，任意四边形abcd中，e，f，g，h分别是ab，bc，cd，da上的点，对于四边形efgh的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是a当e，f，g，h是各边中点，且ac=bd时，四边形efgh为菱形b当e，f，g，h是各边中点，且acbd时，四边形efgh为矩形c当e，f，g，h不是各边中点时，四边形efgh可以为平行四边形d当e，f，g，h不是各边中点时，四边形efgh不可能为菱形【答案】d【解析】a当e，f，g，h是四边形abcd各边中点，且ac=bd时，存在ef=fg=gh=he，故四边形efgh为菱形，故a正确；b当e，f，g，h是四边形abcd各边中点，且acbd时，存在efg=fgh=ghe=90，故四边形efgh为矩形，故b正确；c如图所示，当e，f，g，h不是四边形abcd各边中点时，若efhg，ef=hg，则四边形efgh为平行四边形，故c正确；d如图所示，当e，f，g，h不是四边形abcd各边中点时，若ef=fg=gh=he，则四边形efgh为菱形，故d错误，故选d7顺次连接下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是a平行四边形 b菱形c矩形 d梯形 8如图，我们把依次连接任意四边形abcd各边中点所得四边形efgh叫中点四边形若四边形abcd的面积记为s1，中点四边形efgh的面积记为s2，则s1与s2的数量关系是as1=3s2 b2s1=3s2 cs1=2s2 d3s1=4s21如图，矩形abcd的对角线ac与bd相交于点o，adb=30，ab=4，则oc=a5b4c3.5d32（2018贵阳市云岩区华文实验中学初三月考）如图，在矩形abcd中，对角线ac，bd交于点o，已知aod=120，ac=16，则图中长度为8的线段有a2条b4条c5条d6条3如图，在长方形abcd中，ab=3，bc=4，若沿折痕ef折叠，使点c与点a重合，则折痕ef的长为abcd15 4如图，菱形abcd的对角线交于点o，ac=8 cm，bd=6 cm，则菱形的高为acmbcmccmdcm5（2018贵阳市云岩区华文实验中学初三月考）如图，在菱形abcd中，adc=72，ad的垂直平分线交对角线bd于点p，垂足为e，连接cp，则cpb的度数是a108b72c90d1006（2018贵阳市云岩区华文实验中学初三月考）如图，在正方形abcd中，点e，f分别在边bc，cd上，且be=cf连接ae，bf，ae与bf交于点g下列结论错误的是aae=bfbdae=bfccaeb+bfc=90daebf7如图，矩形abcd中将其沿ef翻折后，d点恰落在b处，bfe=65，则aeb=_.8（2018陕西初三期末）如图，p为正方形abcd内一点，且bp=2，pc=3，apb=135，将apb绕点b顺时针旋转90得到cpb，连接pp，则ap=_9如图，在abcd中，ab=6，bc=8，ac=10（1）求证：四边形abcd是矩形；（2）求bd的长10（2020内蒙古初三期末）如图，abc中，ab=ac=1，bac=45，aef是由abc绕点a按顺时针方向旋转得到的，连接be，cf相交于点d（1）求证：be=cf；（2）当四边形acde为菱形时，求bd的长11（2020呼和浩特市第十三中学初二期中）如图，abc中，点o是ac边上的一个动点，过点o作直线mnbc，交acb的平分线于点e，交acb的外角平分线于点f（1）判断oe与of的大小关系？并说明理由；（2）当点o运动到何处时，四边形aecf是矩形？并说出你的理由；（3）在（2）的条件下，当abc满足什么条件时，四边形aecf是正方形直接写出答案，不需说明理由1（2019重庆）下列命题正确的是a有一个角是直角的平行四边形是矩形b四条边相等的四边形是矩形c有一组邻边相等的平行四边形是矩形d对角线相等的四边形是矩形2（2019天津）如图，四边形为菱形，两点的坐标分别是，点，在坐标轴上，则菱形的周长等于abcd203（2019安徽）如图，在正方形abcd中，点e，f将对角线ac三等分，且ac=12，点p在正方形的边上，则满足pe+pf=9的点p的个数是a0b4c6d8 4（2019湖北孝感）如图，正方形abcd中，点e.f分别在边cd，ad上，be与cf交于点g若bc=4，de=af=1，则gf的长为abcd5（2019天津）如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上若，则的长为_6（2019浙江杭州）如图，把某矩形纸片abcd沿ef、gh折叠（点e、h在ad边上，点f、g在bc边上），使得点b、点c落在ad边上同一点p处，a点的对称点为点，d点的对称点为点，若，的面积为4，的面积为1，则矩形abcd的面积等于_.7（2019湖北十堰）如图，已知菱形abcd的对角线ac，bd交于点o，e为bc的中点，若oe=3，则菱形的周长为_8（2019湖南长沙）如图，正方形abcd，点e，f分别在ad，cd上，且de=cf，af与be相交于点g（1）求证：be=af；（2）若ab=4，de=1，求ag的长9（2019湖南怀化）已知：如图，在abcd中，aebc，cfad，e，f分别为垂足（1）求证：abecdf；（2）求证：四边形aecf是矩形10（2019湖南岳阳）如图，在菱形abcd中，点e.f分别为adcd边上的点，de=df，求证：1=211（2019福建）如图，点e、f分别是矩形abcd的边ab、cd上的一点，且df=be求证：af=ce12（2019江西）如图，四边形abcd中，ab=cd，ad=bc，对角线ac，bd相交于点o，且oa=od求证：四边形abcd是矩形13（2019浙江宁波10分）如图，矩形efgh的顶点e，g分别在菱形abcd的边ad，bc上，顶点f，h在菱形abcd的对角线bd上（1）求证：bg=de；（2）若e为ad中点，fh=2，求菱形abcd的周长变式拓展1【答案】d【解析】结合选项可知，添加ac=bd，四边形abcd的对角线互相平分，四边形abcd是平行四边形，ac=bd，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，四边形abcd是矩形，故选d2【答案】a【解析】点e从d点向a点移动过程中，当eod15时，四边形afce为平行四边形，当eod=15时，acef，四边形afce为菱形，当15eod75时，四边形afce为平行四边形，当eod=75时，aef=90，四边形afce为矩形，当75eod105时，四边形afce为平行四边形，故选a3【答案】b【解析】如图，由题意知ab=bc=ac，ab=bc=ac，abc为等边三角形，即根据平行四边形的性质，故选b4【解析】deac，dfab，四边形aedf为平行四边形，fad=eda，ad是bac的平分线，ead=fad，ead=eda，ae=ed，四边形aedf是菱形5【答案】b【解析】四边形abcd是正方形，bc=cd，bcd=90，cfce，ecf=bcd=90，bce=dcf，在bce与dcf中，bcedcf（sas），故正确；bcedcf，cbe=cdf，dfb=bcd=90，bfed，故正确，过点d作dmcf，交cf的延长线于点m，ecf=90，fc=ec=1，cfe=45，dfm+cfb=90，dfm=fdm=45，fm=dm，由勾股定理可求得：ef=，de=，由勾股定理可得：df=2，ef2+be2=2be2=bf2，dm=fm=，故错误，bcedcf，sbce=sdcf，s四边形decf=sdcf+sdce=secf+sdef=safp+spfb=，故错误，故选b6【答案】c【解析】在正方形abcd中，ab=bc，abe=c=90，又be=cf，abebcf（sas），ae=bf，bae=cbf，fbc+beg=bae+beg=90，bge=90，aebf故a、b正确；cf=2fd，cf:cd=2:3，be=cf，ab=cd，ebg+abg=abg+bag=90，ebg=bag，egb=abe=90，bgeabe，故c不正确,abebcf，sabe=sbfc，sabesbeg=sbfcsbeg，s四边形cegf=sabg，故d正确故选c7【答案】c【解析】顺次连接任意四边形的四边中点所得图形一定是平行四边形，当对角线相等时，所得图形一定是菱形，故选c8【答案】c【解析】如图，设ac与eh、fg分别交于点n、p，bd与ef、hg分别交于点k、q，e是ab的中点，f是bc的中点，efac，同理可证ehbd，ebkabm，aenebk，=，saen=sebk，=，同理可得=，=，=，=，四边形abcd的面积记为s1，中点四边形efgh的面积记为s2，则s1与s2的数量关系是s1=2s2故选c考点冲关1【答案】b【解析】四边形abcd是矩形，ac=bd，oa=oc，bad=90， adb=30，ac=bd=2ab=8，oc=ac=4故选b2【答案】d【解析】ac=16，四边形abcd是矩形，dc=ab，bo=do=bd，ao=oc=ac=8，bd=ac，bo=od=ao=oc=8，aod=120，aob=60，abo是等边三角形，ab=ao=8，dc=8，即图中长度为8的线段有ao、co、bo、do、ab、dc共6条，故选d3【答案】b【解析】如图，连接af根据折叠的性质，得ef垂直平分ac，则设，则，在中，根据勾股定理，得，解得在中，根据勾股定理，得ac=5，则ao=2.5在中，根据勾股定理，得根据全等三角形的性质，可以证明则故选b4【答案】b【解析】菱形abcd的对角线acbd，oa=ac=4 cm，ob=bd=3 cm，根据勾股定理，（cm）设菱形的高为h，则菱形的面积，即，解得，即菱形的高为cm故选b5【答案】b【解析】如图，连接ap，在菱形abcd中，adc=72，bd为菱形abcd的对角线，adp=cdp=adc=36.ad的垂直平分线交对角线bd于点p，垂足为e，pa=pd.dap=adp=36.apb=dap+adp=72.又菱形abcd是关于对角线bd对称的，cpb=apb=72.故选b.6【答案】c【解析】ad/bc，dae=aeb，be=cf，ab=bc，abe=bcf，abebcf，ae=bf，dae=bfc，fbc+bfc=90，aeb=bfc，fbc+aeb=90，aebf，所以a、b、d三个选项正确，aeb=bfc，故c选项错误，故选c.7【答案】50【解析】如图所示，由矩形abcd可得adbc，1=bfe=65，由翻折得2=1=65，aeb=18012=1806565=50 故答案为：508【答案】1【解析】bpc是由bpa旋转得到，apb=cpb=135，abp=cbp，bp=bp，ap=cp，abp+pbc=90，cbp+pbc=90，即pbp=90，bpp是等腰直角三角形，bpp=45，apb=cpb=135，ppc=90，bp=2，pp=2，pc=3，cp=1，ap=cp=1，故答案为19【解析】（1）ab=6，bc=8，ac=10，ab2+bc2=ac2，abc=90，四边形abcd是平行四边形，abcd是矩形（2）四边形abcd是矩形，bd=ac=10.10【解析】（1）aef是由abc绕点a按顺时针方向旋转得到的，ae=ab，af=ac，eaf=bac，eaf+baf=bac+baf，即eab=fac，在acf和abe中，acfabe，be=cf.（2）四边形acde为菱形，ab=ac=1，de=ae=ac=ab=1，acde，aeb=abe，abe=bac=45，aeb=abe=45，abe为等腰直角三角形，be=ac=，bd=bede=11【解析】（1）oe=of，理由如下：因为ce平分acb，所以1=2，又因为mnbc，所以1=3，所以3=2，所以eo=co，同理，fo=co，所以oe=of（2）当点o运动到ac的中点时，四边形aecf是矩形，理由如下：因为oe=of，点o是ac的中点，所以四边形aecf是平行四边形，又因为cf平分bca的外角，所以4=5，又因为1=2，所以1=2，2+4=90，即ecf=90，所以平行四边形aecf是矩形（3）当abc是直角三角形时，即acb=90时，四边形aecf是正方形，理由如下：由（2）证明可知，当点o运动到ac的中点时，四边形aecf是矩形，又因为acb=90，ce，cn分别是acb与acb的外角的平分线，所以1=2=3=4=5=45，所以acmn，所以四边形aecf是正方形直通中考1【答案】a【解析】a有一个角为直角的平行四边形是矩形满足判定条件；b四条边都相等的四边形是菱形，故b错误；c有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故c错误；对角线相等且相互平分的四边形是矩形，则d错误；故选a【名师点睛】本题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：1.有三个角是直角的四边形是矩形；2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；3.有一个角为直角的平行四边形是矩形；4.对角线相等的平行四边形是矩形.2【答案】c【解析】菱形abcd的顶点a，b的坐标分别为（2，0），（0，1），ao=2，ob=1，acbd，由勾股定理知：，四边形为菱形，ab=dc=bc=ad=，菱形的周长为：故选c【名师点睛】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及坐标与图形的性质，得出ab的长是解题关键3【答案】d【解析】如图，过e点作关于ab的对称点e，则当e，p，f三点共线时pe+pf取最小值，eap=45，eae=90，又ae=ef=ae=4，pe+pf的最小值为ef=，满足pe+pf=9=，在边ab上存在两个p点使pe+pf=9，同理在其余各边上也都存在两个p点满足条件，满足pe+pf=9的点p的个数是8，故选d【名师点睛】本题主要考查了正方形的性质以及根据轴对称求最短路径，有一定难度，巧妙的运用求最值的思想判断满足题意的点的个数是解题关键.4【答案】a【解析】正方形abcd中，bc=4，bc=cd=ad=4，bce=cdf=90，af=de=1，df=ce=3，be=cf=5，在bce和cdf中，bcecdf（sas），cbe=dcf，cbe+ceb=ecg+ceb=90=cge，coscbe=cosecg=，cg=，gf=cfcg=5=，故选a【名师点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，证明bcecdf是解本题的关键5【答案】【解析】如图，令ae与bf的交点为m.在正方形中，bad=d=，bam+fam=，在rt中，由折叠的性质可得，ab=bg，fba=fbg，bf垂直平分ag，am=mg，amb=，bam+abm=，abm=fam， ，am=，ag=，ge=13.【名师点睛】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键.6【答案】【解析】aepf，aep=dph，又a=a=90，d=d=90，a=d，aepdph，又ab=cd，ab=ap，cd=dp，ap= dp，设ap=dp=x，saep：sdph=4：1，ae=2dp=2x，saep=，ap=dp=2，ae=2dp=4，【名师点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质，解题的关键是掌握矩形的性质、折叠的性质.7【答案】24【解析】四边形abcd是菱形，ab=bc=cd=ad，bo=do，点e是bc的中点，oe是bcd的中位线，cd=2oe=23=6，菱形abcd的周长=46=24；故答案为：24【名师点睛】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关键8【解析】（1）四边形abcd是正方形