2020年中考数学压轴题冲刺提升 专题10 一次函数与反比例函数综合题（含解析）

专题10一次函数与反比例函数综合题【例1】（2019偃师一模）如图，直线l：y=ax+b交 x轴于点a(3，0)，交 y轴于点b(0，-3)，交反比例函数y =于第一象限的点p，点p的横坐标为4.（1）求反比例函数y =的解析式；（2）过点p作直线l的垂线l1，交反比例函数y=的图象于点c，求opc的面积.【答案】见解析.【解析】解：（1）y=ax+b 交 x轴于点a(3，0)，交 y轴于点 b(0，-3)，3a+b=0，b=3，解得：a=1，即l1的解析式为：y=x3，当x=4时，y=1，即p（4,1），将p点坐标代入y=得：k=4，即反比函数的解析式为：y=；（2）设直线l1与x轴、y轴分别交于点e，d，oa=ob=3，oab=oba=45，ll1，dpb=90，odp=45，设直线l1的解析式为：y=x+b，将点p(4,1)代入得：b=5，联立：y=x+5，y=，解得：x=1，y=4或x=4，y=1，即c(1,4)，sopc=sodesocdsope=555151=.【变式1-1】（2018河南第一次大联考）如图，在直角坐标系中，矩形oabc的顶点o与坐标原点重合，a，c分别在坐标轴上，点b的坐标为（4，2），直线y=x+3交ab，bc于点m，n，反比例函数的图象经过点m，n（1）求反比例函数的解析式；（2）若点p在x轴上，且opm的面积与四边形bmon的面积相等，求点p的坐标【答案】见解析.【解析】解：（1）b（4,2），四边形oabc为矩形，oa=bc=2，在y=x+3中，y=2时，x=2，即m(2,2),将m（2，2）代入得：k=4，反比例函数的解析式为：.（2）在中，当x=4时，y=1，即cn=1，s四边形bmon=s矩形oabcsaomscon=422241=4，sopm=4，即opoa=4，oa=2，op=4，点p的坐标为（4,0）或（4,0）.【例2】（2019济源一模）已知：如图，一次函数 y=kx+3 的图象与反比例函数y =（x0）的图象交于点p，pax 轴于点a，pby轴于点b，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点c，d，且sdbp=27，.（1）求点 d 的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出x取何值时，一次函数 y=kx+3 的值小于反比例函数y =的值【答案】见解析.【解析】解：（1）一次函数y=kx+3与y轴相交，令x=0，解得y=3，d的坐标为（0，3）；（2）odoa，apoa，dco=acp，doc=cap=90，rtcodrtcap，od=3，ap=ob=6，db=od+ob=9，sdbp=27，即27，bp=6，p（6，-6），把p坐标代入y=kx+3，得到k=，则一次函数的解析式为：yx+3；把p坐标代入反比例函数解析式得：m=36，则反比例解析式为：y；（3）联立y，yx+3得：x=4，y=9或x=6，y=6，即直线与双曲线两个交点坐标为（4,9），（6，6），当x6或4x0时，一次函数的值小于反比例函数的值【变式2-1】（2019洛阳三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形 abdc 的顶点 d，c 在反比例函数y=上（k0，x0），横坐标分别为和2，对角线 bcx 轴，菱形abdc 的面积为 9（1）求 k 的值及直线 cd 的解析式；（2）连接 od，oc，求ocd 的面积【答案】见解析.【解析】解：（1）连接ad，菱形 abdc 的顶点d，c 在反比例函数y=上，横坐标分别为和2，d(,2k)，c(2, ),bcx轴，b(1，),a(,k),bc=3，ad=3k，s菱形abcd=9，33k=9，解得：k=2，d(,4)，c(2, 1),设直线cd的解析式为y=mx+n，m+n=4，2m+n=1，解得：m=2，n=5，即直线cd的解析式为y=2x+5.（2）设直线y=2x+5交x轴、y轴于点f，e，则f(,0),e(0,5)，socd=seofsoedsocf=551=，即ocd的面积为：.【例3】（2019西华县一模）如图，在矩形oabc中，oa=3，oc=2，点f是ab上的一个动点（f不与a，b重合），过点f的反比例函数y=的图象与bc边交于点e（1）当f为ab的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，efa的面积最大，最大面积是多少？【答案】见解析【解析】解：（1）矩形oabc中，oa=3，oc=2，b（3，2），f为ab的中点，f（3，1），点f在反比例函数y=的图象上，k=3，即函数的解析式为y=；（2）e，f两点坐标为：e（，2），f（3，），sefa=afbe=（3），=，当k=3时，sefa有最大值，最大值【变式3-1】（2019中原名校大联考）如图，一次函数ykx+b的图象与反比例函数y的图象交于a，b两点，与x轴交于点c（2，0），点a的纵坐标为6，ac3cb（1）求反比例函数的解析式；（2）请直接写出不等式组kx+b4的解集；（3）点p（x，y）是直线yk+b上的一个动点，且满足（2）中的不等式组，过点p作pqy轴交y轴于点q，若bpq的面积记为s，求s的最大值【答案】见解析【解析】解：（1）过点a作adx轴于d，过b作bex轴于e，则adcbec90，acdbce，acdbce，即，解得：be2，ce1，a（1，6），反比例函数解析式为y；（2）将a（1，6），c（2，0）代入ykx+b，得：，解得：，即直线解析式为：y2x+4，由b（3，2），得不等式组2x+44的解集为：3x0；（3）设p（m，2m+4）（3m0），则pqm，bpq中pq边上的高为2m+4（2）2m+6，s（m）（2m+6）m23m（m+）2+，当m时，s取得最大值，最大值为1.（2019郑州外国语测试）如图所示，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x与反比例函数y=的图象交于a、b两点，点a在点b左侧，已知a点的纵坐标为2.（1）求反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出x的解集；（3）将直线y=x沿y轴向上平移后的直线l2与反比例函数y=在第二象限内交于点c，如果abc的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式.【答案】见解析.【解析】解：（1）在y=x中，y=2时，x=4，即a(4,2)，反比例函数y=的图象过点a，k=8，即反比例函数的解析式为：y=；（2）联立y=，y=x，解得：x=4，y=2（点a）；或x=4，y=2，即b（4，2），x的解集为：x4或0x0）的图象经过点a、b，点a的坐标为（1，2），过点a作acy轴，ac=1（点c在a点的下方），过点c作cdx轴，与函数y=（x0）的图象交于点d，过点b作becd于e，e在线段cd上，连接oc、od.（1）求ocd的面积；（2）当be=ac时，求ce的长.【答案】见解析.【解析】解：（1）将a(1,2)代入y=得：k=2，acy轴，ac=1，c(1,1),cdx轴，d在y=上，d(2,1)，socd=11=.（2）be=ac，be=,becd，点b的纵坐标为，b点在函数y=上，b(，)，ch=1=，dh=1.5,cd=+1.5，在rtcde中，ced=60，ce=4+（米）.3.（2018洛阳三模）如图，在矩形oabc中，oa=3，oc=2，f是ab上的一个动点（不与a、b重合），过点f的反比例函数y=（k0）的图象与bc边交于点e.（1）当f为ab边的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，efa的面积为？【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知，ab=oc=2，bc=oa=3，f是ab中点，f(3，1)，将f(3，1)代入y=得：k=3，即反比例函数的解析式为：y=.（2）由图象知，点f位于b点下方，b(3,2)，当x=3时，y2，即k6，0k6，由题意知，f点横坐标为3，即f(3, )，同理，得e点坐标为（，2），sefa=解得：k=2，或k=4，当k为2或4时，efa的面积为.4.（2019洛阳二模）如图，a，b 分别在反比例函数y =（x0）和y =（x0）的图象上，abx 轴，交 y 轴于点c若aoc的面积是boc面积的2倍（1）求k的值；（2）当aob=90时，直接写出点a，b的坐标【答案】见解析.【解析】解：（1）abx轴，saoc=，sboc=，aoc的面积是boc面积的2倍，=，k=2（舍）或k=2.即k的值为：2.（2）aob=90，aco=90，a+abo=b+boc=90，a=boc，aocobc，aoc的面积是boc面积的2倍，,设b(a，)，=a，解得：a=或a=（舍），即b(1, ),a(2，).5.（2019周口二模）如图，点a(-2，a)，c(3a-10，1)是反比例函数（x0）图象上的两点（1）求m的值；（2）过点a作apx轴于点p，若直线y=kx+b经过点a，且与x轴交于点b，当pac=pab时，求直线ab的解析式【答案】见解析.【解析】解：（1）点a(-2，a)，c(3a-10，1)是反比例函数上，2a=3a10，解得：a=2，a(-2,2),c(-4,1)，m=-4；（2）分两种情况讨论：当点b在ap左侧时，pac=pab，a、c、b三点共线，将a(-2,2),c(-4,1)代入y=kx+b，并解得：k=，b=3，即直线ab的解析式为：y=x+3；当点b在ap右侧时，pac=pab，此时直线ab与中的直线ab关于直线ap成轴对称，此时k=-，将（-2,2）代入y=-x+b，得：b=1，即直线ab的解析式为：y=-x+1；综上所述，直线ab的解析式为：y=x+3，y=-x+1.6.如图，已知双曲线y=经过点b（3，1），点a是双曲线第三象限上的动点，过b作bcy轴，垂足为c，连接ac（1）求k的值；（2）若abc的面积为6，求直线ab的解析式；（3）在（2）的条件下，写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围【答案】见解析【解析】解：（1）把b（3，1）代入y=中得，k=3，（2）设abc中bc边上的高为h，bcy轴，b（3，1），bc=3，abc的面积为6，bch=6，解得：h=4，点a的纵坐标为3，把y=3代入y=，得：x=，即a（，3），设直线ab的解析式为：y=mx+n，把a（，3）和b（3，1）代入y=mx+n，并解得：m=，b=2，直线ab的解析式为y=x2.（3）由图象可得：x或0x3.7.（2018焦作一模）如图，一次函数y=x+b与反比例函数y=（x0）的图象交于点a（2，6）和b（m，1）（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；（2）点e为y轴上一个动点，若saeb=5，求点e的坐标【答案】（1）y=x+7，y=；（2）见解析.【解析】解：（1）把点a（2，6）代入y=，得k=12，即反比函数解析式为：y=点b（m，1）在y=上，m=12，即b（12，1）直线y=x+b过点a（2，6），b=7，一次函数的表达式为y=x+7答案为：y=x+7，y=（2）设直线ab与y轴交于点p，点e的坐标为（0，a），连接ae，be，则点p的坐标为（0，7），saeb=sbepsaep=5，|a7|（122）=5，|a7|=1，解得：a=6或a=8，即点e的坐标为（0，6）或（0，8）8.（2018信阳一模）如图，在直角坐标系中，矩形oabc的顶点o与坐标原点重合，a、c分别在坐标轴上，点b的坐标为（4，2），直线y=x+3交ab，bc分别于点m，n，反比例函数y=的图象经过点m，n（1）求反比例函数的解析式；（2）若点p在y轴上，且opm的面积与四边形bmon的面积相等，求点p的坐标【答案】见解析.【解析】解：（1）b（4，2），四边形oabc是矩形，oa=bc=2，在y=x+3中，当y=2时，x=2，m（2，2），将x=4代入y=x+3得：y=1，n（4，1），反比例函数y=的图象经过点m（2，2），k=4，反比例函数的解析式是y=；（2）s四边形bmon=s矩形oabcsaomscon=422241=4；opm的面积与四边形bmon的面积相等，opam=4，而am=2，op=4，点p的坐标是（0，4）或（0，4）9.（2019南阳毕业测试）如图，直线ykx+b与反比例函数y=的图象分别交于点a（1，2），点b（4，n），与x轴，y轴分别交于点c，d（1）求此一次函数和反比例函数的解析式；（2）求aob的面积【答案】见解析.【解析】解：（1）将点a（1，2）代入y=，得m2，反比例函数解析式为：y将b（4，n）代入y中，得：n；b点坐标为（4，）将a（1，2）、b（4，）代入ykx+b中，得：-k+b=2，-4k+b=，解得：k=，b=，一次函数的解析式为yx+；（2）在yx+中，当y0时，x5，c（5，0），即oc5saocsaocsbococ|ya|oc|yb|10.（2019开封二模）如图，a（4，3）是反比例函数y在第一象限图象上一点，连接oa，过a作abx轴，截取aboa（b在a右侧），连接ob，交反比例函数y的图象于点p（1）求反比例函数y的表达式；（2）求点b的坐标；（3）求oap的面积【答案】见解析【解析】解：（1）点a（4，3）在反比例函数y的图象上，k12，即反比例函数解析式为：y；（2）如上图，过点a作acx轴于点c，则oc4，ac3，在rtoac中，由勾股定理得：oa5，abx轴， aboa5，点b的坐标为（9，3）；（3）b（9，3），可得ob所在直线解析式为yx，联立：yx，y，解得：x=6，y=2或x=-6，y=-2（舍），p（6，2），如上图所示，过点p作pdx轴于d，soaps梯形pdca=511.（2019安阳一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k0）与一次函数y=ax+b（a0）交于第二、四象限的a，b两点，过点a作ady轴于点d，od=3，saod=3，点b的坐标为(n，-1)（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）请根据图象直接写出的自变量x的取值范围【答案】见解析【解析】解：（1）ady轴，od=3，saod=odad，saod=3ad=2，即a(-2,3),将a(-2,3)代入中，得：k=-6，即反比例函数解析式：.当y=-1时，x=6，即b(6,-1)，将a(-2,3), b(6,-1)代入y=ax+b得：-2a+b=3,6a+b=-1,解得：a= ，b=2，即一次函数的解析式为：y=x+2.（2）观察图象可知，的解集为：x-2或00时，y随x增大而减小；当x0时，y0，当x=2时，y2=3，即q（2，3）若y1y2，实数p的取值范围是：p2或p0.15.（2019开封模拟）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知正比例函数y12x的图象与反比例函数y2的图象交于a（1，n），b两点（1）求出反比例函数的解析式及点b的坐标；（2）观察图象，请直接写出满足y2的取值范围；（3）点p是第四象限内反比例函数的图象上一点，若pob的面积为1，请直接写出点p的横坐标【答案】见解析【解析】解：解：（1）把a（1，n）代入y12x，得n2，a（1，2），把a（1，2）代入y2，可得k2，反比例函数的表达式为y2，由反比例函数图象性质，知点b与点a关于原点对称，b（1，2）（2）由图象可知，y2时自变量x的取值范围是：x1或x0；（3）过b作bmx轴于m，过p作pnx轴于n，s梯形mbpnspob1，设p（m，），则（2+）|m1|1，解得：m或m，综上所述，p点的横坐标为或16.（2019开封二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形abcd的顶点c与原点o重合，点b在y轴的正半轴上，点a在反比例函数y（k0，x0）的图象上，点d的坐标为（4，3）（1）求k的值；（2）若将菱形abcd沿x轴正方向平移，当菱形的顶点d落在函数y（k0，x0）的图象上时，求菱形abcd沿x轴正方向平移的距离【答案】见解析【解析】解：（1）过点d作dey轴于e，点d的坐标为（4，3），de4，oe3，由勾股定理得：od5，ad5，点a坐标为（4，8），点a在反比例函数y的图象上， k32； （2）由d(4，3)知，当平移后落在y的图象上，则y=3，即=3，即x=，平移的距离为：4=，即菱形abcd沿x轴正方向平移的距离为.17.（2019郑州联考）如图，点a的坐标为（3，0），点c的坐标为（0，4），oabc为矩形，反比例函数的图象过ab的中点d，且和bc相交于点e，f为第一象限的点，af12，cf13（1）求反比例函数和直线oe的函数解析式；（2）求四边形oafc的面积？【答案】见解析【解析】解：（1）由题意得：点b（3，4），点d（3，2），将d（3，2）代入，得k6即反比例函数的解析式为；在中，当y=4时，x=，即e(，4)，设直线oe的解析式为：ymx，将（，4）代入得：m，即直线oe的解析式为yx；（2）连接ac， 在rtoac中，oa3，oc4，由勾股定理得：ac5，af12，cf13ac2+af2cf2，caf90，s四边形oafcsoac+scaf34+5123618.（2019安阳二模）如图，直线yx与反比例函数y（x0）的图象交于点a，已知点a的横坐标为4（1）求反比例函数的解析式；（2）将直线yx向上平移3个单位后的直线l与y（x0）的图象交于点c；求点c的坐标；记y（x0）的图象在点a，c之间的部分与线段oa，oc围成的区域（不含边界）为w，则区域w内的整点（横，纵坐标都是整数的点