机械振动学最新版本ppt课件

振动概念 vibration 物体经过它的静平衡位置所做的往复运动 或者说某一物理量在其平衡位置或平衡值附近来回的变动 振动首先是一种运动 比如 地壳的运动 交流电 电磁波 潮水的涨落等 2机械振动的研究对象和分类 2 1研究对象 振动系统 系统的定义 由若干个元素构成的有机组合 个元素间存在着相互作用 互相影响的关系 机械系统的定义 由若干个机械元件组成的系统 具体的讲 是由运动副连接的一些构件所组成的能完成一定运动的机械装置 2 2机械系统研究内容 系统的研究内容包括三个方面 已知系统的输入 X 和系统 S 求输出 Y 系统的动力响应分析 或叫动态分析 已知系统的输入 X 和输出 Y 求系统 S 系统设计 系统识别或系统辨识 已知系统的系统 S 和输出 Y 求输入 X 环境预测 自由振动 给图中质量块一个激励 给一个初始位移后 质量块就开始振下去 强迫振动 用一个电机作元件 给系统一个持续激励 系统会在电机的强制激励下振动 自激振动 扬声器的鸣叫声 3机械振动的分类 3 1按输入分 简谐振动 符合正弦 预选 规律的振动 周期振动 x t x t kT 瞬态振动 风铃随风而动 地震随机振动 不能用当前的现象预测未来 但是符合统计学规律 可以用统计的方法来研究 如 烟的运动 红旗的飘动 3 2按输出分 自由度 用来描述一个物体确定运动的独立坐标 单自由度系统 多自由度系统 可以是两个 三个甚至是n个自由度系统 n个独立坐标 n维空间 连续系统 用偏微分方程描述 3 3按自由度划分 可用微分方程描述 线性振动非线性振动 3 4按微分方程分 4主要参考文献 书 期刊书 张策 张维平 邵韧平 闻邦春 李有堂 张义民等期刊 噪声与振动 soundandvibration 第2章单自由度线性系统的振动 2 1一些基本概念 无阻尼单自由度振动系统 2 3有线性阻尼自由振动 2 4简谐激励力作用下的强迫振动 2 8隔振原理 2 5周期激励下的响应 2 6任意激励下的响应 2 7简谐力的功和等效阻尼 2 2固有频率的计算 第2章单自由度线性系统的振动 当物体沿x轴作直线运动时 惯性的大小可用质量来表示 根据牛顿第二定律 作用在物体上的外力F 物体由此产生的加速度和物体质量m之间有下述关系 构成机械振动系统的基本元素有惯性 恢复性和阻尼 惯性就是能使物体当前运动持续下去的性质 恢复性就是能使物体位置恢复到平衡状态的性质 阻尼就是阻碍物体运动的性质 从能量的角度看 惯性是保持动能的元素 恢复性是贮存势能的元素 阻尼是使能量散逸的元素 构成机械振动系统的基本元素 质量的单位为kg 第2章单自由度线性系统的振动 阻尼力Fd反映阻尼的强弱 通常是速度x 的函数 阻尼力可表示为这种阻尼称为粘性阻尼 比例常数c称为粘性阻尼系数 单位N s m 典型恢复性元件是弹簧 弹簧产生的恢复力是该元件位移的函数 即Fs Fs x 当Fs x 是线性函数时 有 Fs kx 1 2 k称为弹簧常数或弹簧的刚度系数 单位为N m 质量 弹簧和阻尼器是构成机械振动系统物理模型的三个基本元件 自由度与广义坐标自由度数 完全确定系统运动所需的独立坐标数目称为自由度数 刚体在空间有6个自由度 三个方向的移动和绕三个方向的转动 如飞机 轮船 质点在空间有3个自由度 三个方向的移动 如高尔夫球 质点在平面有2个自由度 两个方向的移动 加上约束则成为单自由度 第2章单自由度线性系统的振动 质量元件无弹性 不耗能的刚体 储存动能的元件 2 1离散系统的组成 第2章单自由度线性系统的振动 第2章单自由度线性系统的振动2 1离散系统的组成 弹性元件无质量 不耗能 储存势能的元件 阻尼元件无质量 无弹性 线性耗能元件 第2章单自由度线性系统的振动2 1离散系统的组成 等效弹簧刚度 斜向布置的弹簧 串联弹簧 并联弹簧 并联系统 串联系统 等效阻尼系数 传动系统的等效刚度 传动系统的等效阻尼 ct1e ct1 i2 等效质量 传动系统的等效惯量 单自由度系统的类型 机械振动学 例 如右图 舍振动体的质量为m 它所受的重力为W 弹簧刚度为k 弹簧挂上质量块的静伸成量为 j 此时系统处于静平衡状态 平衡位置为0 0 求给系统一个初始扰动后系统的振动方程 模型的建立 机械振动学 无阻尼自由振动 振动系统受到初始扰动后 不再受到外力作用 也不受阻尼的影响所作的振动 机械振动学 解 取静平衡位置为坐标原点 以X轴为系统的坐标轴 向下为正方向建立坐标系 以x表示质量块的受扰后的位移 当质量块离开平衡位置时 在质量块上作用的力有 由于受力不平衡 质量块产生加速度 机械振动学 根据牛顿第二定律建立振动微分方程 二阶齐次常系数微分方程 机械振动学 扭转振动问题 例1 2 右图所示 垂直轴的下端固定一个水平圆盘 已知轴长为l 直径为d 剪切弹性模量为G 圆盘的转动惯量为I 在盘上施加初始扰动后 如力偶 系统做自由扭转振动 若不计阻尼影响 振动将永远持续下去 求系统的振动方程 机械振动学 由材料力学知 扭转刚度为 机械振动学 典型的单自由度自由振动 单摆 例1 3 如左图所示 求t时刻刚体的角度是多少 机械振动学 解 以静平衡位置为原点 以 角增加的方向为正方向建立坐标系 隔离物体 进行受力分析 使用牛顿定律建立振动模型 力矩形式 力形式 机械振动学 1 2无阻尼单自由度系统的自由振动规律 机械振动学 结论 单自由度无阻尼自由振动系统的方程是一样的 规律是相同的 具有以下特点 1 单自由度无阻尼振动是简谐的 2 振幅决定于初始条件 图中系统 用手把m移到X0位置 初始位移的大小决定于m的振幅 如果放手的同时 给m一个右向的初速度 可以通过上式计算出其最大振幅 机械振动学 固有频率与初始条件无关 系统一定 固有频率一定 思考 钟表的钟摆的摆角大是准确还是小准确 结论 机械振动学 在振动研究中 计算振动系统的固有频率有很重要的意义 除用定义法 牛顿法 外 通常还有以下几种常用的方法 即静变形法 能量法和瑞利法 现分别加以介绍 1 静变形法 StaticDeformationMethod 当单振子处于静平衡状态时 弹簧的弹性力与振动质量的重力互相平衡 即存在关系式 由上式可得 故系统的固有频率为 由此可见 只要知道质量块处的弹性静变形 就可以计算出系统的固有频率 在有些实际问题中 不能直接给出系统的弹簧刚度时 利用此法计算固有频率比较方便 例1设一悬臂梁长度为 抗弯刚度为 自由端有一集中质量 梁本身重量忽略不计 试求这一系统的固有频率 见下图 自由端有集中质量的悬臂梁 解 悬臂梁在自由端由集中力mg所引起的静挠度为 当不易用计算方法求出静挠度时 也可用实测方法得到静挠度 然后按 1 式计算系统固有频率 2 能量法 EnergyMethod 在无阻尼自由振动系统中 由于没有能量的损失 所以振幅始终保持为一常数 即在振动过程中振幅始终不衰减 我们将这样的系统称为保守系统 在保守系统中 根据机械能守恒定律 在整个振动过程的任一瞬时机械能应保持不变 式中 T 系统中运动质量所具有的动能 U 系统由于弹性变形而储存的弹性势能 或由于重力作功而产生的重力势能 即 T U 常数或 对于单自由度无阻尼自由振动系统来说 系统的动能为 1 重力势能 当质量块m低于静平衡位置时 重力势能为 mgx 2 弹性势能 当质量块m运动至离静平衡位置距离 x时 弹簧的弹性力对质量块所作的功即为系统此时的弹性势能 如下图所示 系统的弹性势能为 故系统的势能为 所以 系统的势能则由以下两部分组成 单自由度振动系统的弹性势能 这就是单自由度无阻尼自由振动系统的能量方程 这一方程说明 无阻尼自由振动系统的能量关系是振动质体的能量与弹性势能的相互转化过程 而无能量的消耗 但在振动系统中存在阻尼时 则在振动质体的动能与弹性势能的互相转化过程中 有一部分能量将为克服阻力而不断地转化为热能 故系统的振幅将逐渐减小 直至完全消失 若将无阻尼自由振动的时间历程代入系统的能量方程 2 式可得 这说明系统的最大动能或最大势能均等于系统的总能量 且动能与势能的最大值相等 即 根据上式即可算出系统的固有频率 对弹簧质量系统 单振子 用上述能量法意义不大 但是复杂的单自由度系统用能量法计算固有频率比较方便 例1 一根矩形截面梁 上面承受质量为m的物体 如图所示 若忽略梁的质量 试用能量法求该系统的固有频率 承受质量的矩形截面梁 解 梁的刚度可用静变形法求出 而梁的静扰度可根据材料力学公式计算 代入 3 式即可求出该系统的固有圆频率 例2 下图所示为测量低频振幅用的传感器的一个元件 无定向摆 已知a 3 54cm mg 0 856N k 0 3N cm 且整个系统对转动轴o的转动惯量 试求系统的固有频率 无定向摆 解 取摇杆偏离平衡位置的角位移 为广义坐标 并设则 对简谐振动来说 摇杆正经过平衡位置时的速度最大 故此时系统动能最大 而势能为零 即 当摇杆摆到最大角位移处时 速度为零 故此时系统动能为零 而势能最大 它包括以下两个部分 1 弹簧变形后储存的弹性势能 2 质量块m的重心下降 后的重力势能 解 取摇杆偏离平衡位置的角位移 为广义坐标 并设则故对简谐振动来说 摇杆正经过平衡位置时的速度最大 故此时系统动能最大 而势能为零 即 当摇杆摆到最大角位移处时 速度为零 故此时系统动能为零 而势能最大 它包括以下两个部分 1 弹簧变形后储存的弹性势能 2 质量块m的重心下降 后的重力势能 因为 故 得 前面介绍的几种计算系统固有频率的方法 都是将系统中弹簧的质量忽略不计 但是在有些系统中 弹簧本身的质量在系统总质量中占有一定的比例 此时若再忽略弹簧的质量 就将会使得计算出来的系统固有频率偏高 瑞利法则将弹簧质量对系统振动频率的影响考虑了进去 从而能得到相当准确的固有频率值 3 瑞利法 RayleighMethod 应用瑞利法时 必须先假定一个系统的振动形式 而且所假定的振动形式越接近实际的振动形式 则计算出来的固有频率的近似值就越接近准确值 实践证明 以系统的静态变形曲线作为假定的振动形式 则所求得的固有频率的近似值与准确值相比较 一般来说误差是很小的 现以最简单的弹簧 质量系统为例来说明瑞利法的应用 在下图的系统中 若弹簧的质量与质量块的质量相比是很小的 则系统的振动形式就不会显著地受到弹簧质量的影响 在这种情况下 假设弹簧在振动过程中的变形 各截面的瞬时位移 与弹簧在受轴向静载荷作用下的变形相同是足够精确的 弹簧 质量系统 解 假设弹簧上距固定端距离为处的位移为 式中 l 处于平衡位置时弹簧的长度 x 弹簧在联结质量块一端的位移 令 表示弹簧单位长度的质量 则弹簧微段d 的质量为 d 其最大动能则为 弹簧在 处的微段d 的速度应为 当质量块在某一瞬时的速度为时 所以弹簧的全部动能为 显然 系统的全部动能应该是质量块m的最大动能与弹簧的最大动能之和 即 系统的最大势能仍与无质量弹簧的情况相同 即 所以弹簧的全部动能为 由动能和势能相等原理得 对简谐振动来说 上式即成为 由此可以得出系统固有频率的计算公式为 结论 为了考虑弹簧质量对系统固有频率的影响 只需要将1 3的弹簧质量当作一个集中质量加到质量块上去即可 一般将上式中的称为 弹簧的等效质量 effectivemassofspring 以ms表示 但是不同的振动系统 其弹簧的等效质量不同 需具体加以计算 因为所以因此只要先算出系统弹性元件的动能 即可根据上式计算出系统弹性元件的等效质量 根据系统中的弹簧质量与质量块质量相比很小 从而在振动过程中弹簧各截面的瞬时位移按线性变化这一假设而得出的 但是 即使弹簧的质量较大 用原式计算系统固有频率也具有足够的精确度 例如 当时 固有频率的计算误差约为0 5 当时 计算误差约为0 8 当时 计算误差约为3 例 如图所示的等截面简支梁上有一集中质量m 若将梁本身的重量W考虑在内 计算此系统的固有频率 图承受集中质量的等截面梁 解 假设梁在振动时挠度曲线与梁在图示载荷作用下的静挠度曲线一致 梁上物体左侧距A点为 处的静挠度为 梁上物体右侧距B点为 处的静挠度为 在物体m处梁的静挠度为 设物体m在振动状态下的最大速度为 则在物体左右两侧梁的所有点的最大速度 与振动位移y1 y2之间存在以下关系 所以梁的左右两部分的最大速度为 因而梁的左右两部分的最大动能为 式中 w 梁的单位长度的质量 梁的全部动能为 根据上式可算出梁的等效质量为 所以系统的固有圆频率为 式中 为梁的刚度 从上式可以看出当忽略梁的质量时所计算出的系统固有频率比用瑞利法计算出的数值要小 因而误差较大 应用瑞利法也可求得无载荷的固有频率的相当准确的数值 由于无载荷的变形曲线是对称的 所以首先需将载荷移到梁的中间 然后再令载荷为零 m 0 即可求出无载荷梁的固有圆频率为 而这一固有圆频率的精确值为 可见 近似值与理论精确值之差小于1 内容参考2 3 振动微分方程 振动微分方程 方程的解 自由振动 振动微分方程 设 特征方程 有 临界阻尼系数 阻尼比或阻尼因子 定义 令阻尼比或阻尼因子 第2章单自由度线性系统的振动2 4单自由度线性阻尼自由振动系统 讨论 1 方程的解 特征值 系统对初始扰动的响应 第2章单自由度线性系统的振动2 4单自由度线性阻尼自由振动系统 讨论 2 特征值 系统对初始扰动的响应 方程的解 第2章单自由度线性系统的振动2 4单自由度线性阻尼自由振动系统 讨论 3 方程的解 特征值 系统对初始扰动的响应 初始条件 第2章单自由度线性系统的振动2 4单自由度线性阻尼自由振动系统 讨论 4 特征值 系统对初始扰动的响应 方程的解 第2章单自由度线性系统的振动2 3单自由度线性阻尼自由振动系统 振动特性 无阻尼z 0 简谐运动弱阻尼01 衰减运动 第2章单自由度线性系统的振动2 4单自由度线性阻尼自由振动系统 小阻尼 振动对数衰减率 第2章单自由度线性系统的振动2 4单自由度线性阻尼自由振动系统 简谐激励 稳态响应 粘性阻尼 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 5简谐激励力作用下的强迫振动 求解过程 运动方程的解可以用它对应的齐次方程的通解和方程 2 的特解来表示 在小阻尼情况下 是个衰减振动 只在开始振动后的某一段时间内有意义 研究受迫振动中持续等幅振动时可忽略之 表示系统的受迫振动 称为系统的稳态解 设 将代入到方程 2 中可解出B与 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 5简谐激励力作用下的强迫振动 求解过程 进一步讨论 令 则 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 5简谐激励力作用下的强迫振动 解的讨论 二 讨论 图给出了以 为横坐标 为纵坐标 在不同阻尼比 下的一组曲线簇 不难理解 在简谐激振力作用下 线性系统的受迫振动也是简谐振动 振动的频率等于激励力的频率 受迫振动的振幅取决于系统本身的物理特性 激励力的大小及频率值 但与初始条件无关 受迫振动的振幅与频率比及阻尼比有关 1 当频率比 0 2时 即激振频率 远小于系统的固有频率 n时 无论阻尼的大小如何 1 称为准静态区 即振幅近似等于激励力幅作用下的静变形 故在低频区振幅主要由弹簧刚度控制 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 5简谐激励力作用下的强迫振动 解的讨论 2 频率比很大 5 0 激振频率 远大于系统的固有频率 n 因激励力方向改变太快 振动物体由于惯性来不及跟随 几乎停着不动 故在高频区受迫振动的振幅主要取决于系统的惯性 称为惯性区 这一特性正是隔振和惯性传感器的理论依据 3 当频率比 1 激振频率接近系统的固有频率 这时阻尼值越小 则越大 当阻尼为零时 振动为无限大 习惯上把幅值的频率区间称为共振区 将 6 对求导 并令d d 0 可解得处有最大幅值 把称为共振频率 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 5简谐激励力作用下的强迫振动 解的讨论 相位 与频率比的关系曲线表明 1时 振动位移总是滞后激振力 2 频率比 1 当 2 共振点前后相位差恰好为 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 5简谐激励力作用下的强迫振动 简谐激励 全响应 粘性阻尼 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 5简谐激励力作用下的强迫振动 简谐激励 全响应 无阻尼 设其特解为 代入到上式得 方程 1 的通解解为 设初始条件为 代入到方程 2 中得 则 即 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 5简谐激励力作用下的强迫振动 若初始条件为 则 第2章单自由度线性系统的受迫振动2 5简谐激励力作用下的强迫振动 第2章单自由度线性系统的振动2 5简谐激励力作用下的强迫振动 简谐激励 全响应 无阻尼 简谐力的功 简谐力 振动系统的稳态解为 则激振力在微小位移dx上所作的微元功应为 在一个周期内 t 0 2 w 所作的功 也就是F t 输入系统的能量 即为 可见 简谐激振力在一个周期内所作功的大小 不仅决定于激振力幅F0及振幅B的大小 还决定于两者之间的相位角 当 0即外力超前位移时 作正功 当 0即外力落后于位移时 作负功 而当 0或 时 即外力在一个周期内作功之和等于零 激振力在一个周期内所作的功 W 可以看成是激振力的两个分量作功的和 即与位移同相的分