ax2+bx+c的图象与性质第4课时课件 华东师大版

第4课时 1 二次函数y ax2 bx c的图象在坐标系中画出函数y x2 2x 3的图象由于y x2 2x 3可化为y x 1 2 2 所以y x2 2x 3的图象的开口向上 对称轴为x 1 顶点坐标为 1 2 列表 2 6 描点 连线 观察表格和图象 1 从图象可以看出函数y x 1 2 2的图象是一条 开口方向向 对称轴是x 顶点坐标为 2 2 当x 1时 函数值y随x的增大而 当x 1时 函数有最 值 最小值为y 抛物线 上 1 1 1 增大 小 2 2 二次函数y ax2 bx c的性质 1 把y ax2 bx c化为y a x h 2 k的形式 y ax2 bx c 由于y ax2 bx c可变形为 具有y a x h 2 k的形式 所以它的图象是 h k 抛物线 2 函数y ax2 bx c与函数y ax2的联系及它的对称轴和顶点坐标 函数y ax2 bx c的图象是一条抛物线 形状与y ax2相同 只是位置不同 函数y ax2 bx c a 0 的对称轴为直线 顶点坐标为 3 函数y ax2 bx c的性质 上 小 减小 下 大 增大 点拨 对于二次函数y ax2 bx c 它的顶点坐标和对称轴只与a b c有关 预习思考 二次函数y ax2 bx c中的c的值能决定它的抛物线的什么位置 提示 抛物线y ax2 bx c与y轴的交点坐标为 0 c 所以二次函数y ax2 bx c中的c的值能决定抛物线与y轴的交点的位置 抛物线y ax2 bx c的图象与性质 例1 已知抛物线y x2 2x 2 1 该抛物线的对称轴是 顶点坐标是 2 选取适当的数据填入下表 并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象 3 若该抛物线上两点a x1 y1 b x2 y2 的横坐标满足x1 x2 1 试比较y1与y2的大小 解题探究 1 把抛物线y x2 2x 2化成y a x h 2 k a 0 的形式为y x 1 2 3 所以抛物线y x2 2x 2的对称轴是x 1 顶点坐标是 1 3 2 由于抛物线y x2 2x 2的对称轴是x 1 所以选取适当的x值时要以1为中心 左右再各取两个值 最少取5个值 因此可填表如下 描点 连线 可得到如图所示的抛物线 3 因为抛物线上两点a x1 y1 b x2 y2 的横坐标满足x1 x2 1 所以这两点在对称轴x 1的右侧 由抛物线y x2 2x 2的性质可知 在对称轴x 1右侧 y随x的增大而减小 又因为x1 x2 1 所以y1 y2 规律总结 在画二次函数的图象及理解图象性质时应注意的问题1 画函数图象时 若抛物线与x轴有交点 最好选取交点描点 尤其是在作抛物线草图时应抓住以下五个关键点 开口方向 对称轴 顶点 与x轴的交点 与y轴的交点 2 列表时应以对称轴为中心选值 间距要适当 描点画图时要依据已知抛物线的特点 一般先找出特殊点 并用虚线画出对称轴 然后再对称描点连线 3 在理解和记忆二次函数的性质时 要结合图象 做到数形结合 跟踪训练 1 2012 巴中中考 对于二次函数y 2 x 1 x 3 下列说法正确的是 a 图象的开口向下 b 当x 1时 y随x的增大而减小 c 当x 1时 y随x的增大而减小 d 图象的对称轴是直线x 1 解析 选c 二次函数y 2 x 1 x 3 可化为y 2x2 4x 6的形式 可得二次函数的对称轴为 此二次函数中a 2 0 抛物线开口向上 故a选项错误 由二次函数的关系式可知 此抛物线开口向上 对称轴为x 1 当x 1时 y随x的增大而增大 故b选项错误 由二次函数的关系式可知 此抛物线开口向上 对称轴为x 1 当x 1时 y随x的增大而减小 故c选项正确 二次函数的对称轴为x 1 故d选项错误 2 2011 淮安中考 抛物线y x2 2x 3的顶点坐标是 解析 方法一 对于一般形式的抛物线方程 通过配方可化为顶点式y a x h 2 k的形式 从而得到顶点坐标 具体变形为y x 1 2 4 所以顶点坐标为 1 4 方法二 直接用抛物线的顶点坐标答案 1 4 3 已知二次函数y x2 6x m的最小值为1 那么m的值是 解析 函数的最小值即顶点的纵坐标 因为a 1 b 6 c m 所以即答案 10 抛物线y ax2 bx c与a b c的符号的关系 例2 8分 如图为二次函数y ax2 bx c的图象 试判断a b c及b2 4ac的正负 规范解答 抛物线开口向上 a 0 2分 对称轴 4分 抛物线与y轴交点在x轴下方 c0 8分 互动探究 1 通过观察抛物线y ax2 bx c在坐标系中的位置 当x 1时 可以确定的数值是什么 提示 通过观察抛物线y ax2 bx c在坐标系中的位置 当x 1时 可以确定a b c的值 2 通过观察抛物线y ax2 bx c在坐标系中的位置 当x 1时 可以确定的数值是什么 提示 通过观察抛物线y ax2 bx c在坐标系中的位置 当x 1时 可以确定a b c的值 规律总结 二次函数y ax2 bx c的图象的特征与a b c的符号之间的关系1 a决定开口方向和大小 1 a 0 开口向上 2 a 0 开口向下 3 a 相同时 抛物线形状相同 a 越大 抛物线开口越小 2 a b决定对称轴位置 1 b 0 对称轴为y轴 2 a b同号 对称轴在y轴左侧 3 a b异号 对称轴在y轴右侧 3 c决定抛物线与y轴的交点位置 1 c 0 过原点 2 c 0 交点在y轴的正半轴上 3 c 0 交点在y轴的负半轴上 跟踪训练 4 2011 重庆中考 已知抛物线y ax2 bx c a 0 在平面直角坐标系中的位置如图所示 则下列结论中正确的是 a a 0 b b0 解析 选d 因为抛物线开口向下 二次项系数a0 所以b项错误 因为抛物线与y轴的交点在x轴上方 所以c 0 所以c项错误 因为直线x 1与抛物线的交点在x轴上方 所以x 1时 函数值y a b c 0 所以d项正确 5 小强从如图所示的二次函数y ax2 bx c的图象中 观察得出了下面五条信息 1 a 0 2 c 1 3 b 0 4 a b c 0 5 a b c 0 你认为其中正确的信息有 a 2个 b 3个 c 4个 d 5个 解析 选c 1 由抛物线的开口向下知a 0 故正确 2 由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上且大于1 可推出c 1 故正确 3 由图可知对称轴为 可推出a b异号 又 a 0 b 0 故正确 4 由抛物线与x轴的交点可以看出 当x 1时 y 0 所以a b c 0 故正确 5 由抛物线与x轴的交点可以看出 当x 1时 y 0 所以a b c 0 故错误 变式训练 如图 抛物线y ax2 bx c的对称轴是x 小亮通过观察得出了下面四条信息 c 0 abc 0 a b c 0 2a 3b 0 你认为其中正确的有 a 1个 b 2个 c 3个 d 4个 解析 选b 由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上 可知c 0 正确 由抛物线的开口向上知 a 0 对称轴为 a b异号 即b 0 abc 0 错误 当x 1时 y a b c 0 正确 由对称轴为得2a 3b 0 错误 6 已知抛物线y ax2 bx c a 0 经过点 1 0 且顶点在第一象限 有下列三个结论 a 0 a b c 0 把正确结论的序号填在横线上 解析 由抛物线开口向下可推出a 0 因为对称轴在y轴右 对称轴为由图象可知 当x 1时 y 0 a b c 0 都正确 答案 1 2012 济南中考 如图 二次函数的图象经过 2 1 1 1 两点 则下列关于此二次函数的说法正确的是 a y的最大值小于0 b 当x 0时 y的值大于1 c 当x 1时 y的值大于1 d 当x 3时 y的值小于0 解析 选d 由图象知 点 1 1 在图象的对称轴的左边 所以y的最大值大于1 不小于0 故a项错误 由图象知 当x 0时 y的值就是函数图象与y轴的交点 而图象与y轴的交点在 1 1 点的左边 故y 1 故b项错误 对称轴在 1 1 的右边 在对称轴的左边y随x的增大而增大 1 1 x 1时 y的值小于1 故c项错误 当x 3时 函数图象上的点在点 2 1 的左边 所以y的值小于0 故d项正确 2 2011 陕西中考 若二次函数y x2 6x c的图象过a 1 y1 b 2 y2 c 3 y3 三点 则y1 y2 y3的大小关系正确的是 a y1 y2 y3 b y1 y3 y2 c y2 y1 y3 d y3 y1 y2 解析 选b 方法一 y x2 6x c x 3 2 9 c 对称轴为直线x 3 如图可得出y1 y3 y2 方法二 把a b c三点坐标分别代入关系式 化简得 y1 7 c y2 8 c y3 7 c 所以y1 y3 y2 故选b 3 2011 济宁中考 将二次函数y x2 4x 5化为y x h 2 k的形式 则y 解析 y x2 4x 5 x2 4x 4 4 5 x 2 2 1 答案 x 2 2 1 4 已知二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 则点p a bc 在第 象