决战2020年中考数学压轴题综合提升训练《二次函数》（含解析）

二次函数1如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx+3（a0）的图象经过点a（1，0），点b（3，0），与y轴交于点c（1）求a，b的值；（2）若点p为直线bc上一点，点p到a，b两点的距离相等，将该抛物线向左（或向右）平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点p，求新抛物线的顶点坐标解：（1）二次函数yax2+bx+3（a0）的图象经过点a（1，0），点b（3，0），解得；（2）yx2+2x+3（x1）2+4，抛物线的对称轴为直线x1，c（3，0），点p到a，b两点的距离相等，点p在抛物线的对称轴x1上，b（3，0），c（0，3），直线bc的解析式为yx+3，令x1，则y1+32，p（1，2），设平移后的新抛物线的解析式为y（xh）2+4，新抛物线经过点p，2（1h）2+4，解得h11+，h21，新抛物线的顶点坐标为（1+，4）或（1，4）2如图a，已知抛物线yx2+bx+c经过点a（4，0）、c（0，2），与x轴的另一个交点为b（1）求出抛物线的解析式（2）如图b，将abc绕ab的中点m旋转180得到bac，试判断四边形bcac的形状并证明你的结论（3）如图a，在抛物线上是否存在点d，使得以a、b、d三点为顶点的三角形与abc全等？若存在，请直接写出点d的坐标；若不存在请说明理由解：（1）将点a、c的坐标代入抛物线表达式并解得：b1，c2，故：抛物线的解析式为：yx2+x+2；（2）四边形bcac为矩形抛物线yx2+x+2与x轴的另一个交点为：（1，0）由勾股定理求得：bc，ac2，又ab5，由勾股定理的逆定理可得：abc直角三角形，故bca90；已知，abc绕ab的中点m旋转180o得到bac，则a、b互为对应点，由旋转的性质可得：bcac，acbc所以，四边形bcac为平行四边形，已证bca90，四边形bcac为矩形；（3）存在点d，使得以a、b、d三点为顶点的三角形与abc全等，则点d与点c关于函数对称轴对称，故：点d的坐标为（3，2）3如图，已知二次函数yx22x+m的图象与x轴交于点a、b，与y轴交于点c，直线ac交二次函数图象的对称轴于点d，若点c为ad的中点（1）求m的值；（2）若二次函数图象上有一点q，使得tanabq3，求点q的坐标；（3）对于（2）中的q点，在二次函数图象上是否存在点p，使得qbpcoa？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）设对称轴交x轴于点e，交对称轴于点d，函数的对称轴为：x1，点c为ad的中点，则点a（1，0），将点a的坐标代入抛物线表达式并解得：m3，故抛物线的表达式为：yx22x3；（2）tanabq3，点b（3，0），则aq所在的直线为：y3x（x3），联立并解得：x4或3（舍去）或2，故点q（4，21）或（2，3）；（3）不存在，理由：qbpcoa，则qbp90当点q（2，3）时，则bq的表达式为：y（x3），联立并解得：x3（舍去）或，故点p（，），此时bp：pqoa：ob，故点p不存在；当点q（4，21）时，同理可得：点p（，），此时bp：pqoa：ob，故点p不存在；综上，点p不存在4如图，已知二次函数yax2+4ax+c（a0）的图象交x轴于a、b两点（a在b的左侧），交y轴于点c一次函数yx+b的图象经过点a，与y轴交于点d（0，3），与这个二次函数的图象的另一个交点为e，且ad：de3：2（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点m为x轴上一点，求md+ma的最小值解：（1）把d（0，3）代入yx+b得b3，一次函数解析式为yx3，当y0时，x30，解得x6，则a（6，0），作efx轴于f，如图，odef，ofoa4，e点的横坐标为4，当x4时，yx35，e点坐标为（4，5），把a（6，0），e（4，5）代入yax2+4ax+c得，解得，抛物线解析式为yx2x+；（2）作mhad于h，作d点关于x轴的对称点d，如图，则d（0，3），在rtoad中，ad3，mahdao，rtamhrtado，即，mham，mdmd，md+mamd+mh，当点m、h、d共线时，md+mamd+mhdh，此时md+ma的值最小，ddhado，rtdhdrtdoa，即，解得dh，md+ma的最小值为5如图1，已知抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于a（3，0）、b（1，0）两点，与y轴交于点c（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，直线ad：yx+1与y轴交于点d，p点是x轴上一个动点，过点p作pgy轴，与抛物线交于点g，与直线ad交于点h，当点c、d、h、g四个点组成的四边形是平行四边形时，求此时p点坐标（3）如图3，连接ac和bc，q点是抛物线上一个动点，连接aq，当qacbco时，求q点的坐标解：（1）抛物线的表达式为：ya（x+3）（x1）a（x2+2x3），故3a3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx22x+3；（2）直线ad：yx+1与y轴交于点d，则点d（0，1），则cd2；设点p（x，0），则点h（x， x+1）、点g（x，x22x+3），则ghcd2，即|x+1（x22x+3）|2，解得：x或，故点p（，0）或（，0）或（，0）；（3）设直线aq交y轴于点h，过点h作hmac交于点m，交aq于点h，设：mhxmc，qacbco，则tancah，则am3x，故acam+cm4x3，解得：x，则chx，ohocch，故点h（0，），同理点h（，3），由点ah坐标得，直线ah的表达式为：y（x+3），同理直线ah的表达式为：y2（x+3），联立并解得：x3（舍去）或；联立并解得：x3（舍去）或1；故点q的坐标为：（，）或（1，4）6在平面直角坐标系中，直线yx2与x轴交于点b，与y轴交于点c，二次函数yx2+bx+c的图象经过b，c两点，且与x轴的负半轴交于点a（1）直接写出：b的值为；c的值为2；点a的坐标为（1，0）；（2）点m是线段bc上的一动点，动点d在直线bc下方的二次函数图象上设点d的横坐标为m如图1，过点d作dmbc于点m，求线段dm关于m的函数关系式，并求线段dm的最大值；若cdm为等腰直角三角形，直接写出点m的坐标1解：（1）直线yx2与x轴交于点b，与y轴交于点c，则点b、c的坐标为：（4，0）、（0，2），将点b、c的坐标代入抛物线表达式并解得：b，c2，故抛物线的表达式为：yx2x2，点a（1，0）；故答案为：，2，（1，0）；（2）如图1，过点d作y轴的平行线交bc于点h，设点d（m， m2m2），点h（m， m2），则mdhobc，tanobctan，则cos；mddhcosmdh（m2m2+m+2）（m2+4m），0，故dm有最大值；设点m、d的坐标分别为：（s， s2），（m，n），nm2m2；（）当cdm90时，如图2左图，过点m作x轴的平行线交过点d于x轴的垂线于点f，交y轴于点e，则mecdfm（aas），mefd，mfce，即s22ms，ss2n，解得：s，故点m（，）；（）当mdc90时，如图2右图，同理可得：s，故点m（，）；（）当mcd90时，则直线cd的表达式为：y2x2，联立并解得：x0或1，故点d（1，0），不在线段bc的下方，舍去；综上，点m坐标为：（，）或（，）7如图，抛物线ya（x1）（x3）（a0）与x轴交于a，b两点，抛物线上另有一点c在x轴下方，且使ocaobc（1）求线段oc的长度；（2）设直线bc与y轴交于点d，点c是bd的中点时，求直线bd和抛物线的解析式，（3）在（2）的条件下，点p是直线bc下方抛物线上的一点，过p作pebc于点e，作pfab交bd于点f，是否存在一点p，使得pe+pf最大，若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由解：（1）a（x1）（x3）0，x11，x23，则点a的坐标为（1，0），点b的坐标为（3，0），oa1，ob3，ocaobc，即，解得，oc；（2）在rtbod中，点c是bd的中点，bd2oc2，由勾股定理得，od，点d的坐标为（0，）设直线bd的解析式为：ykx+b，则，解得，则直线bd的解析式为：yx，点b的坐标为（3，0），点d的坐标为（0，），点c是bd的中点，点c的坐标为（，），a（1）（3），解得，a，抛物线的解析式：y（x1）（x3），即yx2x+2；（3）作pgob交bd于g，tanobd，obd30，pfab，pfgobd30，pfpg，pebc，pfpg，epgpfg30，pepg，pe+pfpg+pgpg，设点p的坐标为（m， m2m+2），点g的坐标为（m， m），pgm（m2m+2）m2+3m3pe+pfpg3m2+m3（m）2+，则pe+pf的最大值为8已知抛物线yax2+bx+c经过点a（2，0），b（3，0），与y轴负半轴交于点c，且ocob（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴负半轴上存在一点d，使cbdadc，求点d的坐标；（3）点d关于直线bc的对称点为d，将抛物线yax2+bx+c向下平移h个单位，与线段dd只有一个交点，直接写出h的取值范围解：（1）ocob，则点c（0，3），抛物线的表达式为：ya（x+2）（x3）a（x2x6），6a3，解得：a，故抛物线的表达式为：yx2x3；（2）设：cdm，过点d作dhbc交bc的延长线于点h，则chhdm，tanadctandbc，解得：m3或4（舍去4），故点d（0，6）；（3）过点c作x轴的平行线交dh的延长线于点d，则d（3，3）；平移后抛物线的表达式为：yx2x3h，当平移后的抛物线过点c时，抛物线与线段dd有一个公共点，此时，h3；当平移后的抛物线过点d时，抛物线与线段dd有一个公共点，即39h，解得：h15，故3h159如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2的对称轴为直线l，将直线l绕着点p（0，2）顺时针旋转的度数后与该抛物线交于ab两点（点a在点b的左侧），点q是该抛物线上一点（1）若45，求直线ab的函数表达式；（2）若点p将线段分成2：3的两部分，求点a的坐标（3）如图，在（1）的条件下，若点q在y轴左侧，过点p作直线lx轴，点m是直线l上一点，且位于y轴左侧，当以p，b，q为顶点的三角形与pam相似时，求m的坐标解：（1）45，则直线的表达式为：yx+b，将（0，2）代入上式并解得：b2，故直线ab的表达式为：yx+2；（2）ap：pb2：3，设a（2a，4a2）b（3a，9a2），解得：，（舍去），；ap：pb3：2，设a（3a，9a2），b（2a，4a2），解得：，（舍去），综上或；（3）mpa45，qpb45a（1，1），b（2，4），qbp45时，此时b，q关于y轴对称，pbq为等腰直角三角形，m1（1，2）m2（2，2），bqp45时，此时q（2，4）满足，左侧还有q也满足，bqpbqp，q，b，p，q四点共圆，则圆心为bq中点d（0，4）；设q（x，x2），（x0），qdbd，（x0）2+（x24）222（x24）（x23）0，x0且不与q重合，qp2，qpdqdp2，dpq为正三角形，则，过p作pebq，则，当qbppma时，则，故点；当qpbpma时，则，故点；综上点m的坐标：（1，2），（2，2），10如图，rtfhg中，h90，fhx轴，0.6，则称rtfhg为准黄金直角三角形（g在f的右上方）已知二次函数y1ax2+bx+c的图象与x轴交于a、b两点，与y轴交于点e（0，3），顶点为c（1，4），点d为二次函数y2a（x1m）2+0.6m4（m0）图象的顶点（1）求二次函数y1的函数关系式；（2）若准黄金直角三角形的顶点f与点a重合、g落在二次函数y1的图象上，求点g的坐标及fhg的面积；（3）设一次函数ymx+m与函数y1、y2的图象对称轴右侧曲线分别交于点p、q且p、q两点分别与准黄金直角三角形的顶点f、g重合，求m的值，并判断以c、d、q、p为顶点的四边形形状，请说明理由解：（1）设二次函数y1的函数关系式为y1a（x1）24，将e（0，3）代入得a43，解得a1，y1（x1）24x22x3；（2）设ga，0.6（a+1），代入函数关系式，得，（a1）240.6（a+1），解得a13.6，a21（舍去），所以点g坐标为（3.6，2.76）由x22x30知x11，x23，a（1，0）、b（3，0），则ah4.6，gh2.76，sfhg4.62.766.348；（3）ymx+mm（x+1），当x1时，y0，直线ymx+m过点a，延长qh，交x轴于点r，由平行线的性质得，qrx轴fhx轴，qphqar，phqarq90，aqrphq，0.6，设qn，0.6（n+1），代入ymx+m中，得mn+m0.6（n+1），整理，得：m（n+1）0.6（n+1），n+10，m0.6四边形cdpq为平行四边形，理由如下：连接cd，并延长交x轴于点s，过点d作dkx轴于点k，延长kd，过点c作ct垂直kd延长线，垂足为t，y2（x1m）2+0.6m4，点d由点c向右平移m个单位，再向上平移0.6m个单位所得，0.6，tanksdtanqar，ksdqar，aqcs，即cdpqaqcs，由抛物线平移的性质可得，ctph，dtqh，pqcd，四边形cdpq为平行四边形11如图，点p是二次函数y+1图象上的任意一点，点b（1，0）在x轴上（1）以点p为圆心，bp长为半径作p直线l经过点c（0，2）且与x轴平行，判断p与直线l的位置关系，并说明理由若p与y轴相切，求出点p坐标；（2）p1、p2、p3是这条抛物线上的三点，若线段bp1、bp2、bp3的长满足，则称p2是p1、p3的和谐点，记做t（p1，p3）已知p1、p3的横坐标分别是2，6，直接写出t（p1，p3）的坐标（1，）解：（1）p与直线相切过p作pq直线，垂足为q，设p（m，n）则pb2（m1）2+n2，pq2（2n）2，即：（m1）244n，pb2（m1）2+n244n+n2（2n）2pq2pbpq，p与直线相切；当p与y轴相切时pdpbpq|m|2n，即：n2m代入（m1）244n得：m26m+50或m2+2m+50解得：m11，m25p（1，1）或p（5，3）；（2），则bp2（bp1+bp2），p1、p3的横坐标分别是2，6，则点p1、p2的坐标分别为：（2，）、（6，），bp2（bp1+bp2）（+），设点p2的坐标为：（m，n），n（m1）2+1，则（m1）2+（n）2（）2，解得：m1，故点p2的坐标，即t（p1，p3）的坐标为：或12如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2+bx+2（a0）与x轴交于a（1，0），b（3，0）两点，与y轴交于点c，连接bc（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点n为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点m，使得以b，c，m，n为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点m的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点p是直线bc上方抛物线上的点，若pcbbco，求出p点的到y轴的距离（1）解：（1）将点a（1，0），b（3，0）代入yax2+bx+2，可得，；（2）存在点m使得以b，c，m，n为顶点的四边形是平行四边形，由题得，b（3，0），c（0，2），设n（1，n），m（x，y），四边形cmnb是平行四边形时，x2，；四边形cnbm时平行四边形时，x2，m（2，2）；四边形cnnb时平行四边形时，x4，；综上所述：m（2，2）或或；（3）解法一：过点b作bh平行于y轴交pc的延长线与h点bhococbhbc又ocbbcppcbhbchchb又ocobhbob故可设h（3，m），即hbhcm过点h作hn垂直y轴于n在rthcn中，则m232+（m2）2解得由点c、p的坐标可得，设直线cp的解析式为；故解得x10（舍去），即点p到y轴的距离是解法二、过点b作cp的垂线，垂足为m，过点m作x轴的平行线交y轴于点n，再过点b作dn的垂线，垂足为d，（以下简写）可得bocbmc得bmbc3，occm2设点m（m，n）得bdn，cnn2，mnm，md3m可证bdmmnc所以得解得，则同解法一直线cp的解析式故解得x10（舍去），即点p到y轴的距离是13如图，已知抛物线yax2+bx+c的图象经过点a（3，3）、b（4，0）和原点o，p为直线oa上方抛物线上的一个动点（1）求直线oa及抛物线的解析式；（2）过点p作x轴的垂线，垂足为d，并与直线oa交于点c，当pco为等腰三角形时，求d的坐标；（3）设p关于对称轴的点为q，抛物线的顶点为m，探索是否存在一点p，使得pqm的面积为，如果存在，求出p的坐标；如果不存在，请说明理由解：（1）设直线oa的解析式为y1kx，把点a坐标（3，3）代入得：k1，直线oa的解析式为yx；再设y2ax（x4），把点a坐标（3，3）代入得：a1，函数的解析式为yx2+4x，直线oa的解析式为yx，二次函数的解析式是yx2+4x（2）设d的横坐标为m，则p的坐标为（m，m2+4m），p为直线oa上方抛物线上的一个动点，0m3此时仅有ocpc，解得，；（3）函数的解析式为yx2+4x，对称轴为x2，顶点m（2，4），设p（n，n2+4n），则q（4n，n2+4n），m到直线pq的距离为4（n2+4n）（n2）2，要使pqm的面积为，则，即，解得：或，或14在平面直角坐标系xoy中，抛