（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 核心素养测评四十四 利用空间向量求线线角与线面角 新人教B版

核心素养测评四十四 利用空间向量求线线角与线面角(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.平面的斜线l与它在这个平面上的射影l的方向向量分别为a=(1,0,1),b=(0,1,1),则斜线l与平面所成的角为()a.30b.45c.60d.90【解析】选c. l与所成的角为a与b所成的角(或其补角),因为cos=ab|a|b|=12,所以=60.2.在正方体abcd-a1b1c1d1中,m,n分别为棱aa1和bb1的中点,则sin的值为 ()a.19b.495c.295d.23【解析】选b.设正方体的棱长为2,以d为坐标原点,da为x轴,dc为y轴,dd1为z轴建立空间直角坐标系,可知cm=(2,-2,1),d1n=(2,2,-1),cos=-19,sin=459.3.已知abc与bcd均为正三角形,且ab=4.若平面abc与平面bcd垂直,且异面直线ab和cd所成角为,则cos =()a.-154b.154c.-14d.14【解析】选d.如图,因为等边三角形abc和bcd所在平面互相垂直,所以取bc中点o,则ao,bc,od两两垂直,以o为原点,建立如图空间直角坐标系o-xyz.则a(0,0,23),b(0,-2,0),c(0,2,0),d(23,0,0),所以ab=(0,-2,-23),cd=(23,-2,0),故cos=abcd|ab|cd|=14,所以异面直线ab和cd所成角的余弦值为14.4.在正方体abcd-a1b1c1d1中,e,f分别为ab,c1d1的中点,则a1b1与平面a1ef夹角的正弦值为()a.62 b.63c.64 d.2【解析】选b.建系如图,设正方体棱长为1,则a1(1,0,1),e1,12,0,f0,12,1,b1(1,1,1).a1b1=(0,1,0),a1e=0,12,-1,a1f=-1,12,0.设平面a1ef的一个法向量为n=(x,y,z),则na1e=0,na1f=0,即12y-z=0,-x+y2=0.令y=2,则x=1,z=1.所以n=(1,2,1),cos=26=63.设a1b1与平面a1ef的夹角为,则sin =cos=63,即所求线面角的正弦值为63.5.在正四棱锥s-abcd中,o为顶点在底面上的射影,p为侧棱sd的中点,且so=od,则直线bc与平面pac所成的角是()a.30b.45c.60d.90【解析】选a.如图,以o为原点建立空间直角坐标系o-xyz. 设od=so=oa=ob=oc=a,则a(a,0,0),b(0,a,0),c(-a,0,0),p0,-a2,a2,则ca=(2a,0,0),ap=-a,-a2,a2,cb=(a,a,0),设平面pac的一个法向量为n=(x,y,z),则nca=0,nap=0,解得x=0,y=z,可取n=(0,1,1),则cos=cbn|cb|n|=a2a22=12,又因为0180,所以=60,所以直线bc与平面pac所成的角为90-60=30.二、填空题(每小题5分,共15分)6.在三棱锥p-abc中,pa平面abc,bac=90,d,e,f分别是棱ab,bc,cp的中点,ab=ac=1,pa=2,则直线pa与平面def所成角的正弦值为_.【解析】以a为原点,ab,ac,ap所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,由ab=ac=1,pa=2,得a(0,0,0),b(1,0,0),c(0,1,0),p(0,0,2),d12,0,0,e12,12,0,f0,12,1.所以pa=(0,0,-2),de=0,12,0,df=-12,12,1.设平面def的法向量为n=(x,y,z),则由nde=0,ndf=0,得y=0,-x+y+2z=0.取z=1,则n=(2,0,1),设直线pa与平面def所成的角为,则sin =|cos|=|pan|pa|n|=55,所以直线pa与平面def所成角的正弦值为55.答案:557.在三棱柱abc-a1b1c1中,侧棱a1a底面abc,ac=1,aa1=2,bac=90,若ab1与直线a1c的夹角的余弦值是45,则棱ab的长度是_.【解析】如图建立坐标系.设ab=a,则a(0,0,0),b1(a,0,2),a1(0,0,2),c(0,1,0),所以ab1=(a,0,2),a1c=(0,1,-2),所以|cos|=|ab1a1c|ab1a1c=4a2+45=45,解得a=1,所以棱ab的长度是1.答案:18.在三棱柱abc-a1b1c1中,底面边长和侧棱长都相等,baa1=caa1=60,则异面直线ab1与bc1所成角的余弦值为_.【解析】连接a1b交ab1于点o,取a1c1的中点d,连接b1d,do.因为o,d分别为a1b,a1c1的中点,所以odbc1,所以dob1或其补角即为异面直线ab1与bc1所成的角.设各棱长为a,则db1=32a.因为a1ab=60,所以ob1=ao=32a.又因为bc1=bb1+bc=aa1+ac-ab,所以bc12=(aa1+ac-ab)2=aa12+2aa1ac+ac2-2aa1ab-2acab+ab2=a2+2a2cos 60+a2-2a2cos 60-2a2cos 60+a2=2a2,所以|bc1|=2a,所以od=12bc1=22a.在dob1中,由余弦定理得cosdob1=(32a)2+(22a)2-(32a)2232a22a=66,所以ab1与bc1所成角的余弦值为66.答案:66三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,在正方体abcd-abcd中,已知点h在正方形abcd的对角线bd上,hda=60.求dh与cc所成的角的大小.【解析】如图所示,以d为原点,da为单位长度,建立空间直角坐标系d-xyz,则da=(1,0,0),cc=(0,0,1).设dh=(m,m,1)(m0),由已知,=60,由dadh=|da|dh|cos,可得2m=2m2+1,解得m=22,所以dh=22,22,1,因为cos=220+220+1112=22,又因为0180,所以=45,即dh与cc所成的角为45.10.(2020黄冈模拟)如图所示,在四棱台abcd-a1b1c1d1中,aa1底面abcd,四边形abcd为菱形,bad=120,ab=aa1=2a1b1=2,(1)若m为cd的中点,求证:am丄平面aa1b1b.(2)求直线dd1与平面a1bd所成角的正弦值.【解析】(1)因为四边形abcd为菱形,bad=120,连接ac,则acd为等边三角形,又因为m为cd的中点,所以amcd,由cdab,所以amab,因为aa1底面abcd,am底面abcd,所以amaa1,又因为abaa1=a,所以am平面aa1b1b.(2)因为四边形abcd为菱形,bad=120,ab=aa1=2a1b1=2,所以amd=bam=90,所以dm=1,am=3,又因为aa1底面abcd,分别以ab,am,aa1为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,a1(0,0,2),b(2,0,0)