（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 核心素养测评五十八圆锥曲线与其他知识的交汇问题 新人教B版

核心素养测评五十八 圆锥曲线与其他知识的交汇问题(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于a,b两个不同的点,抛物线的焦点为f,且af,4,bf成等差数列,则k= ()a.2或-1b.-1c.2d.15【解析】选c.设a(x1,y1),b(x2,y2).由y=kx-2,y2=8x 消去y,得k2x2-4k+2x+4=0,故=16k+22-16k2=641+k0,解得k-1,且x1+x2=4(k+2)k2.由af=x1+p2=x1+2,bf=x2+p2=x2+2,且af,4,bf成等差数列,得x1+2+x2+2=8,得x1+x2=4,所以4(k+2)k2=4,解得k=-1或k=2,又k-1,故k=2.2.如图,f1,f2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个焦点,以坐标原点o为圆心,|of1|为半径的圆与该双曲线左支交于a,b两点,若f2ab是等边三角形,则双曲线的离心率为()a.3b.2 c.3-1d.3+1【解析】选d.连接af1,依题意知:af2=3af1,2c=f1f2=2af1,所以2a=af2-af1=(3-1)af1,e=ca=2af1(3-1)af1=3+1.3.(多选)过抛物线y2=2px(p0)焦点f的直线与抛物线交于a,b两点,作ac,bd垂直抛物线的准线l于c,d,其中o为坐标原点,则下列结论正确的是()a.+=-b.存在r,使得=成立c.=0d.准线l上任意一点m,都使得0【解析】选abc.由+=-,可得a正确;设a(x1,y1),b(x2,y2),可得c-p2,y1,d-p2,y2,又koa=y1x1=2py1,kad=y1-y2x1+p2,设直线ab的方程为x=my+p2.代入抛物线的方程,可得y2-2pmy-p2=0,可得y1y2=-p2,即有y1(y1-y2)=y12-y1y2=2px1+p2,则koa=kad,即存在r,使得=成立,则b正确;=(-p,y1)(-p,y2)=y1y2+p2=0,可得c正确;由抛物线的定义可得|ab|=|ac|+|bd|,可得以ab为直径的圆的半径与梯形acdb的中位线长相等,即该圆与cd相切,设切点为m,即有ambm,则=0,则d不正确.4.已知双曲线c1:x24-y2=1,双曲线c2:x2a2-y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为f1,f2,m是双曲线c2的一条渐近线上的点,且ommf2,o为坐标原点,若omf2的面积s=16,且双曲线c1,c2的离心率相同,则双曲线c2的实轴长是()a.32b.16 c.8d.4【解析】选b.双曲线c1:x24-y2=1的离心率为52,设f2(c,0),双曲线c2一条渐近线方程为y=bax,则|f2m|=bca2+b2=b,即|om|=c2-b2=a,由s=16得12ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,ca=52,解得a=8,b=4,c=45,即双曲线的实轴长为16.二、填空题(每小题5分,共10分)5.阿基米德(公元前287年公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆c的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆c的离心率为35,面积为20,则椭圆c的标准方程为_.【解析】依题意设椭圆c的方程为y2a2+x2b2=1(ab0),则椭圆c的面积为s=ab=20,又e=1-b2a2=35,解得a2=25,b2=16.则椭圆c的标准方程为y225+x216=1.答案:y225+x216=16.(2020杭州模拟)椭圆x216+y29=1上任意两点p,q,o为坐标原点,若poqo,则|op|oq|的最小值是_,此时|op|=_.【解析】由题意可设点p(|op|cos ,|op|sin ),q|oq|cos2,|oq|sin2,由p,q在椭圆上,得:1|op|2=cos216+sin29,1|oq|2=sin216+cos29,+得:1|op|2+1|oq|2=116+19,所以25144=1|op|2+1|oq|22|op|oq|,得|op|oq|28825当且仅当|op|=|oq|=1225时“=”成立,所以|op|oq|的最小值为28825.答案:288251225三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点为f(1,0),点p23,263在c上.(1)求椭圆c的方程.(2)若直线l:y=x+m与椭圆c相交于a,b两点,问y轴上是否存在点m,使得abm是以m为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求点m的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)由题意可得c=1,点p23,263在c上,所以49a2+83b2=1,又a2=b2+c2=b2+1,解得a2=4,b2=3,所以椭圆c的方程为x24+y23=1.(2)假设y轴上存在点m0,t,使abm是以m为直角顶点的等腰直角三角形,设ax1,y1,bx2,y2,线段ab的中点为nx0,y0,由x24+y23=1y=x+m ,消去y可得7x2+8mx+4m2-12=0,=64m2-284m2-12=487-m20,解得m20)的左焦点f与抛物线c2:y2=-2px(p0)的焦点重合,m是c1与c2在第二象限内的交点,抛物线的准线与x轴交于点e,且|me|=73.(1)求椭圆c1及抛物线c2的方程.(2)过e作直线l交椭圆c1于a,b两点,则在椭圆的长轴上是否存在点n,使得nanb为定值?若存在,求出点n的坐标及定值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由两曲线焦点重合,知4-b2=p2,由椭圆的对称性,知e为椭圆的右焦点,连接mf,由椭圆的定义知|mf|+|me|=4,则|mf|=4-73=53.设m(xm,ym),过点m作准线的垂线,垂足为h,由抛物线的定义知|mf|=|mh|=53,因而ym=(73)2-(53)2=263,xm=-43p,代入x24+y2b2=1中,得49p2+83b2=1,与4-b2=p2联立,得p=2,b2=3,所以椭圆的方程为x24+y23=1,抛物线的方程为y2=-4x.(2)由(1)知e(1,0),若直线l的斜率存在,设直线方程为y=k(x-1),由x24+y23=1,y=k(x-1),得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),所以x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2.假设点n存在,其坐标为(m,0),其中-2m2,nanb=(x1-m,y1)(x2-m,y2)=(x1-m)(x2-m)+k(x1-1)k(x2-1)=(1+k2)x1x2-(m+k2)(x1+x2)+m2+k2=(1+k2)4k2-123+4k2-(m+k2)8k23+4k2+m2+k2=(4m2-8m-5)k2+3m2-123+4k2.若nanb为定值,则满足4m2-8m-54=3m2