（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 核心素养测评二十七 平面向量的数量积及平面向量的应用 新人教B版

核心素养测评二十七 平面向量的数量积及平面向量的应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若ab=1,则x=()a.-1b.-12c.12d.1【解析】选d.ab=12+(-1)x=2-x=1,所以x=1.2.(2020十堰模拟)若夹角为的向量a与b满足|b|=|a-b|=1,且向量a为非零向量,则|a|=()a.-2cos b.2cos c.-cos d.cos 【解析】选b.因为|b|=|a-b|=1,所以b2=a2-2ab+b2,a2=2ab,|a|2=2|a|b|cos ,因为a为非零向量,所以|a|=2|b|cos =2cos .3.(多选)在直角坐标平面上,=(1,4),=(-3,1),且与在直线l的方向向量上的投影的长度相等,则直线l的斜率k的值为()a.-14b.25 c. -43 d.52【解析】选bc.设直线l的一个方向向量为v=(1,k),由题意可得=,所以|1+4k|=|-3+k|,解得k=25或-43.4.(2019广州模拟)已知非零向量a,b的夹角为60,|a|=2,|a-2b|=2,则|b|等于()a.4b.2c.2d.1【解析】选d.因为|a-2b|=2,所以|a-2b|2=4,a2-4ab+4b2=4,4-42|b|cos 60+4|b|2=4,解得|b|=1.(|b|=0舍去)5.(2020山东新高考模拟)设向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1),且(a-b)c,则=()a.3b.2c.-2d.-3【解析】选a.由题,得a-b=(1+,1-3),由(a-b)c,从而2(1+)+1(1-3)=0,解得=3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知abc的三边长均为1,且=c,=a,=b,则ab+bc+ac=_.【解析】因为=120,|a|=|b|=|c|=1,所以ab=bc=ac=11cos 120=-12,ab+bc+ac=-32.答案:-327.已知向量m与n满足|m|=1,|n|=2,且m(m+n),则向量m与n的夹角为_.【解析】设m,n的夹角为,因为m(m+n),所以m(m+n)=m2+mn=1+12cos =0,所以cos =-12,又0,所以=23.答案:23【变式备选】已知向量a,b满足|a|=|b|=2且(a+2b)(a-b)=-2,则向量a与b的夹角为_.【解析】设a与b的夹角为.由已知a2-2b2+ab=-2,4-8+4cos =-2,cos =12,又0,所以=3,即a与b的夹角为3.答案:38.设e1,e2为单位向量,其中a=2e1+e2,b=e2,且a在b上的投影为2,则ab=_,e1与e2的夹角为_.【解析】设e1,e2的夹角为,因为a在b上的投影为2,所以 =2e1e2+|e2|2=2|e1|e2|cos +1=2,解得cos =12,则=3.ab=(2e1+e2)e2=2e1e2+|e2|2=2|e1|e2|cos +1=2.答案:23【变式备选】已知正方形abcd的边长为1,点e是ab边上的动点,则的值为_;的最大值为_.【解析】以射线ab,ad为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则a(0,0),b(1,0),c(1,1),d(0,1),设e(t,0),t0,1,则=(t,-1),=(0,-1),所以=(t,-1)(0,-1)=1.因为=(1,0),所以=(t,-1)(1,0)=t1,的最大值为1. 答案:11三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120.(1)计算:|a+b|,|4a-2b|.(2)当k为何值时,(a+2b)(k a-b).【解析】由已知ab=48-12=-16.(1)因为|a+b|2=a2+2ab+b2=16+2(-16)+64=48,所以|a+b|=43.因为|4a-2b|2=16a2-16ab+4b2=1616-16(-16)+464=768,所以|4a-2b|=163.(2)因为(a+2b)(ka-b),所以(a+2b)(ka-b)=0,ka2+(2k-1)ab-2b2=0,即16k-16(2k-1)-264=0,k=-7,所以当k=-7时,a+2b与ka-b垂直.10.在平面直角坐标系xoy中,点a(-1,-2),b(2,3),c(-2,-1).(1)求以线段ab,ac为邻边的平行四边形两条对角线的长.(2)设实数t满足(-t)=0,求t的值.【解析】(1)由已知=(3,5),=(-1,1),则+=(2,6),-=(4,4).所以|+|=210,|-|=42.所以所求的两条对角线的长分别为42,210.(2)由已知,=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).由(-t)=0得(3+2t,5+t)(-2,-1)=0,所以5t=-11,所以t=-115.(15分钟35分)1.(5分)(2020潮州模拟)已知向量a、b为单位向量,且a+b在a的方向上的投影为32+1,则向量a与b的夹角为()a.6b.4c.3d.2【解析】选a.设向量a与b的夹角为,因为向量a、b为单位向量,a+b在a的方向上的投影为32+1,所以(a+b)a=|a|32+1,变形得1+ab=32+1,即ab=11cos =cos =32,又由0,则=6,故选a.2.(5分)(2019开封模拟)已知向量a=(m-1,1),b=(m,-2),则“m=2”是“ab”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件【解析】选a.当m=2时,a=(1,1),b=(2,-2),所以ab=2-2=0,所以充分性成立;当ab时,ab=m(m-1)-2=0,解得m=2或m=-1,必要性不成立.综上,“m=2”是“ab”的充分不必要条件.3.(5分)在rtabc中,b=90,bc=2,ab=1,d为bc的中点,e在斜边ac上,若=2,则=_.【解析】如图,以b为原点,ab所在直线为x轴,bc所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则b(0,0),a(1,0),c(0,2),=(-1,2).因为d为bc的中点,所以d(0,1),因为=2,所以e13,43,=13,13,所以=13,13(-1,2)=-13+23=13.答案:134.(10分)(2020郑州模拟)已知向量m=(2sin x,cos2x-sin2x),n=(3cos x,1),其中0,xr.若函数f(x)=mn的最小正周期为.(1)求的值.(2)在abc中,若f(b)=-2,bc=3,sin b=3sin a,求的值.【解析】(1)f(x)=mn=23sin xcos x+cos2x-sin2x=3sin 2x+cos 2x=2sin2x+6.因为f(x)的最小正周期为,所以t=22|=,又0,所以=1.(2)由(1)知f(x)=2sin2x+6.设abc中角a,b,c所对边分别是a,b,c.因为f(b)=-2,所以2sin2b+6=-2,即sin2b+6=-1,又0b,解得b=23.因为bc=3,即a=3,又sin b=3sin a,所以b=3a,b=3.由正弦定理得,3sina=3sin 23,解得sin a=12.又0a3,解得a=6,所以c=6,c=a=3,所以=cacos b=33cos 23=-32.5.(10分)在如图所示的平面直角坐标系中,已知点a(1,0)和点b(-1,0),|=1,且aoc=x,其中o为坐标原点.(1)若x=34,设点d为线段oa上的动点,求|+|的最小值.(2)若x0,2,向量m=,n=(1-cos x,sin x-2cos x),求mn的最小值及对应的x值.【解析】(1)设d(t,0)(0t1),当x=34时,可得c-22,22,所以+=-22+t,22,所以|+|2=t-222+12(0t1),所以当t=22时,|+|2取得最小值为12,故|+|的最小值为22.(2)由题意得c(cos x,sin x),m=(cos x+1,sin x),则mn=1-cos2x+sin2x-2sin xcos x=1-cos 2x-sin 2x=1-2sin2x+4.因为x0,2,所以42x+454.所以当2x+4=2,即x=8时,mn=1-2sin2x+4取得最小值1-2,所以mn的最小值为1-2,此时x=8.1.已知向量a,b,c共面,且均为单位向量,ab=0,则|a+b-c|的取值范围是()a.2-1,2+1 b.1,2c.2,3 d.2-1,1【解析】选a.因为ab=0,所以|a+b|2=a2+2ab+b2=2,所以|a+b|=2.所以|a+b-c|2=a2+b2+c2+2ab-2(a+b)c=3-2(a+b)c.当c与(a+b)同向时,(a+b)c最大,|a+b-c|2最小,此时(a+b)c=|a+b|c|cos 0=2,|a+b-c|2=3-22=(2-1)2,所以|a+b-c|min=2-1;当c与(a+b)反向时,(a+b)c最小,|a+b-c|2最大,此时(a+b)c=|a+b|c|cos =-2,|a+b-c|2=3+22=(2+1)2,所以|a+b-c|max=2+1.所以|a+b-c|的取值范围为2-1,2+1.2.已知坐标平面上的凸四边形abcd满足=(1,3),=(-