（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 核心素养测评五十 椭圆 新人教B版

核心素养测评五十 椭圆(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2019北京高考)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,则()a.a2=2b2b.3a2=4b2c.a=2bd.3a=4b【解析】选b.离心率平方e2=c2a2=a2-b2a2=14,即4(a2-b2)=a2,即3a2=4b2.2.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点是x2+y2-6x+8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为()a.(-3,0)b.(-4,0)c.(-10,0)d.(-5,0)【解析】选d.因为圆的标准方程为(x-3)2+y2=1,所以圆心坐标为(3,0),所以c=3,又b=4,所以a=b2+c2=5,因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的左顶点为(-5,0).3.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为53,椭圆上一点p到两焦点距离之和为12,则椭圆短轴长为()a.8b.6c.5d.4【解析】选a.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=ca=53,椭圆上一点p到两焦点距离之和为12,即2a=12,可得a=6,c=25,所以b=a2-c2=36-20=4,则椭圆短轴长为2b=8.4.(多选)(2020青岛模拟)已知椭圆c的中心为坐标原点,焦点f1,f2在y轴上,短轴长等于2,离心率为63,过焦点f1作y轴的垂线交椭圆c于p、q两点,则下列说法正确的是()a.椭圆c的方程为y23+x2=1b.椭圆c的方程为x23+y2=1c.|pq|=233d.pf2q的周长为43【解析】选acd.由已知得,2b=2,b=1,ca=63,又a2=b2+c2,解得a2=3.所以椭圆方程为x2+y23=1.如图:所以|pq|=2b2a=23=233,pf2q的周长为4a=43.5.已知点p(x1,y1)是椭圆x225+y216=1上一点,f1,f2是左、右焦点,若f1pf2取最大值时,则pf1f2的面积是()a.1633b.12c.16(2+3)d.16(2-3)【解析】选b.因为椭圆方程x225+y216=1,所以a=5,b=4,c=25-16=3,因此,椭圆的焦点坐标为f1(-3,0),f2(3,0),根据椭圆的性质可知,当点p与短轴端点重合时,f1pf2取最大值,则此时pf1f2的面积s=21234=12.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020南阳模拟)已知o为坐标原点,f为椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点,过点f且倾斜角为120的直线与椭圆c交于第一象限一点p,若pof为正三角形,则椭圆c的离心率为_.【解析】因为|of|=c,pof为正三角形,所以|po|=c,则点p的坐标为12c,32c,故有12c2a2+32c2b2=1,a2=b2+c2,e=ca,整理得e4-8e2+4=0,解得e2=4-23,所以e=4-23=3-1.答案:3-17.以椭圆c:x25+y24=1在x轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为_;该双曲线的渐近线方程为_.【解析】椭圆c:x25+y24=1在x轴上的顶点为(5,0),焦点为(1,0),设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),可得a=1,c=5,b=2,可得x2-y24=1.双曲线的渐近线方程为:y=2x.答案:x2-y24=1y=2x8.点m是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上的点,以m为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点f,圆m与y轴相交于p,q,若pqm是钝角三角形,则椭圆离心率的取值范围是_.【解析】不妨设圆m与椭圆相切于左焦点f,设m(-c,ym),由圆的性质可知:|mf|=|mq|=|mp|=|ym|,则12|pq|2=ym2-c2,即|pq|2=4ym2-4c2,由mpq为钝角三角形,即pmq为钝角,则cospmq=|mp|2+|mq|2-|pq|22|mp|mq|=2c2-ym2ym20,所以2c2-ym20.又因为m(-c,ym)在椭圆上,代入化简得ym2=(a2-c2)2a2,故2c2-(a2-c2)2a20,即e4-4e2+10,解得e22+3,又e(0,1),所以e22-3,故0eb0)的离心率e=12,且椭圆c经过点(2,3).(1)求椭圆c的标准方程.(2)过点p(2,1)作直线l与该椭圆相交于a,b两点,若线段ab恰被点p所平分,求直线l的方程.【解析】(1)由题意得ca=12,c2=a2-b2,4a2+3b2=1,解得a2=8,b2=6,所以椭圆c的方程为x28+y26=1.(2)由题意点p在椭圆内部,设a(x1,y1),b(x2,y2),则x128+y126=1,x228+y226=1,两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)8+(y1+y2)(y1-y2)6=0,ab的中点为p(2,1),所以x1+x2=4,y1+y2=2,代入上式得4(x1-x2)8+2(y1-y2)6=0,得kab=y1-y2x1-x2=-32.所以直线l的方程为y-1=-32(x-2),即3x+2y-8=0.10.若a(x1,y1),b(x2,y2)是椭圆e:x29+y2=1上位于x轴上方两点,且x1+x2=2.(1)若y1+y2=1,求线段ab的垂直平分线的方程.(2)求直线ab在y轴上截距的最小值.【解析】(1)设ab的中点为m,则m1,12,由 x129+y12=1,x229+y22=1,得(x1-x2)(x1+x2)9+(y1-y2)(y1+y2)=0,所以 29(x1-x2)+(y1-y2)=0y1-y2x1-x2=-29,即kab=-29,所以线段ab的垂直平分线的斜率为92,所以线段ab的垂直平分线的方程为y-12=92(x-1),即9x-2y-8=0.(2)由题意知ab斜率存在,设直线ab:y=kx+m.由y=kx+m,x2+9y2=9,得(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,x1+x2=-18km1+9k2=2,即9k2+9km+1=0,因为a(x1,y1),b(x2,y2)是椭圆e:x29+y2=1上位于x轴上方两点,所以k0,=(18km)2-4(1+9k2)(9m2-9)0,即9k2-m2+10,结合得m=(-k)+ 1-9k23,当且仅当k=-13时,取等号,此时,k=-13,m=23满足.所以直线ab在y轴上截距的最小值为23.(15分钟35分)1.(5分)(2020济南模拟)已知两圆c1:(x-4)2+y2=169,c2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆c1内部且和圆c1相内切,和圆c2相外切,则动圆圆心m的轨迹方程为()a.x264-y248=1b.x248+y264=1c.x248-y264=1d.x264+y248=1【解析】选d.设圆m的半径为r,则|mc1|+|mc2|=(13-r)+(3+r)=168=|c1c2|,所以m的轨迹是以c1,c2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为x264+y248=1.2.(5分)(2019全国卷)已知椭圆c的焦点为f1(-1,0),f2(1,0),过f2的直线与c交于a,b两点.若|af2|=2|f2b|,|ab|=|bf1|,则c的方程为()a.x22+y2=1b.x23+y22=1c.x24+y23=1d.x25+y24=1【解析】选b.如图,由已知可设f2b=n,则af2=2n,bf1=ab=3n,由椭圆的定义有2a=bf1+bf2=4n,所以af1=2a-af2=2n.在af1b中,由余弦定理推论得cosf1ab=4n2+9n2-9n222n3n=13.在af1f2中,由余弦定理得4n2+4n2-22n2n13=4,解得n=32.所以2a=4n=23,所以a=3,所以b2=a2-c2=3-1=2,所以所求椭圆方程为x23+y22=1.3.(5分)已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为f,直线l:2x-y=0交椭圆c于a,b两点,且|af|+|bf|=6,若点f到直线l的距离不小于2,则椭圆c的离心率e的取值范围是()a.53,1b.53,1c.12,1d.0,53【解析】选b.设f1是椭圆的左焦点,由于直线l:2x-y=0过原点,因此a,b两点关于原点对称,所以四边形af1bf是平行四边形,所以|bf1|+|bf|=|af|+|bf|=6,即2a=6,a=3,点f(c,0)到直线l的距离d=|2c|52,所以c5,又ca,即5cb0)的离心率为32,点m(2,1)在椭圆c上.(1)求椭圆c的方程.(2)直线l平行于om,且与椭圆c交于a,b两个不同的点.若aob为钝角,求直线l在y轴上的截距m的取值范围.【解析】(1)依题意有a2-b2a=32,4a2+1b2=1,解得a2=8,b2=2,所以所求椭圆c的方程为x28+y22=1.(2)由直线l平行于om,得直线l的斜率k=kom=12,又l在y轴上的截距为m,所以l的方程为y=12x+m.由y=12x+m,x28+y22=1,得x2+2mx+2m2-4=0.因为直线l与椭圆c交于a,b两个不同的点,所以=(2m)2-4(2m2-4)0,解得-2m2.设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,又aob为钝角等价于0且m0,则=x1x2+y1y2=x1x2+12x1+m12x2+m=54x1x2+m2(x1+x2)+m20,将x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4代入,化简整理得m22,即-2m0,所以f(t)在1,+)上递增,f(t)min=f(1)=16,故m=0时,四边形abcd面积取最大值6.1.设点p为椭圆c:x249+y224=1上一点,f1,f2分别是椭圆c的左、右焦点,且pf1f2的重心为点g,若|pf1|pf2|=34,则gpf1的面积为()a.24b.12c.8d.6【解析】选c.因为点p为椭圆c上一点,|pf1|pf2|=34,|pf1|+|pf2|=2a=14,所以|pf1|=6,|pf2|=8,又因为|f1f2|=2c=10,所以pf1f2是直角三角形,spf1f2=12|pf1|pf2|=24,因为pf1f2的重心为点g,所以spf1f2=3sgf1p,所以gpf1的面积为8.2.以f1(-1,0),f2(1,0)为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中,离心率最大的椭圆方程是()a.x220+y219=1b.x29+y28=1c.x25+y24=1d.x23+y22=1【解析