（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第四章 三角函数 第21讲 简单三角恒等变换导学案 新人教A版

第21讲简单三角恒等变换【课程要求】1能利用两角和与差以及二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换2能利用上述公式及三角恒等变换的基本思想方法对三角函数式进行化简、求值及恒等式的证明对应学生用书p57【基础检测】1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)对任意的角，都有cos2成立()(2)ysin4xcos4x的周期为.()(3)ysinxcosx在x取最大值是2.()答案 (1)(2)(3)2必修4p143b组t2已知sin74a，则cos8_(用含a的式子表示)解析由题知cos16sin74a，又cos162cos281a，所以cos28，cos8.答案3必修4p141例4如图，现要在一块半径为1，圆心角为的扇形铁片aob上剪出一个平行四边形mnpq，使点p在弧ab上，点q在oa上，点m，n在ob上，设bop，平行四边形mnpq的面积为s.(1)求s关于的函数关系式；(2)求s的最大值及相应的的大小解析 (1)分别过p，q作pdob于点d，qeob于点e，则四边形qedp为矩形由扇形半径为1，得|pd|sin，|od|cos.又|oe|qe|pd|，|mn|qp|de|od|oe|cossin，s|mn|pd|sinsincossin2，.(2)由(1)知ssin2(1cos2)sin2cos2sin，因为，所以2，所以sin.当时，s取最大值，且smax.4化简tan70cos10(tan201)的值为()a1b2c1d2解析原式cos102sin(2030)1.答案c5若sin2，sin()，且，则的值是()a.b.c.或d.或解析，2，sin2，2.且cos2，又sin()，cos()，cos()cos()2cos()cos2sin()sin2，又，所以.答案a【知识要点】1三角变换的一般方法(1)角的变换，一般包括角的分解和角的组合，如()，x，2等；(2)函数名称的变换，一般包括将三角函数统一成弦，以减少函数种类，对齐次式也可化成切；(3)注意结构的变换，如升幂与降幂，辅助角公式等；(4)角变换中以角的变换为中心；解题时，一看角，二看名称，三看结构2三角变换的常见题型(1)化简：灵活选用和、差、倍、辅助角公式进行三角恒等变换是化简三角函数式的难点，解题时应注意降次，减少角的种类及三角函数的种类，注意角的范围及三角函数的正负(2)求值：给值求值时，注意要求角与已知角及特殊角的关系(3)证明：证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一对应学生用书p58三角函数的化简问题例1(1)化简：；(2)已知x0，sinxcosx.求的值解析 (1)原式cos2x.(2)由sinxcosx，两边平方得sin2x2sinxcosxcos2x，即2sinxcosx.sinxcosx(2cosxsinx).小结三角函数式的变形，主要思路为角的变换、函数变换、结构变换，常用技巧有“辅助角”“1的代换”“切弦互化”等，其中角的变换是核心三角函数式的化简原则：尽量使函数种类最少，次数相对较低，项数最少，尽量使分母不含三角函数，尽量去掉根号或减少根号的层次，能求值的应求出其值1化简：2cos()解析原式.三角函数的求值问题例2已知tan2.(1)求tan的值；(2)求的值解析 (1)tan3.(2)1.例3已知，为锐角，cos，sin()，则cos_解析因为，为锐角，cos，sin()，所以sin，cos()，当cos()时，sinsinsin()coscos()sin0矛盾，所以coscoscos()cossin()sin.答案小结三角函数求值的3类求法(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角2已知锐角，满足sin，cos，则等于()a.b.或c.d2k(kz)解析由sin，cos，且，为锐角，可知cos，sin，故cos()coscossinsin，又0cos0，sincos0.故原式2tan.对应学生用书p601(2016全国卷文)若tan，则cos2()abc.d.解析cos2，又tan，cos2.答案d2(2018江苏)已知，为锐角，tan，cos().(1)求cos2的值；(2)求tan()的值解析 (1)因为tan，tan，所以sincos.因为