（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第二章 函数 第8讲 二次函数与幂函数导学案 新人教A版

第8讲二次函数与幂函数【课程要求】1理解并掌握二次函数的定义、图象及性质；会求二次函数的值域与最值2运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式“三个二次”之间的联系去解决有关问题3了解幂函数的概念，结合函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象和性质解决有关问题对应学生用书p19【基础检测】1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(2)二次函数yax2bxc，xr不可能是偶函数()(3)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小()(4)函数y2x是幂函数()(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()(6)当n0时，幂函数yxn是定义域上的减函数()答案 (1)(2)(3)(4)(5)(6)2必修1p79t1已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k等于()a.b1c.d2解析由幂函数的定义，知k1，.k.答案c3必修1p44a组t9已知函数f(x)x24ax在区间(，6)内单调递减，则a的取值范围是()aa3ba3ca3da3解析函数f(x)x24ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x2a，由函数在区间(，6)内单调递减可知，区间(，6)应在直线x2a的左侧，2a6，解得a3，故选d.答案d4幂函数f(x)xa210a23(az)为偶函数，且f(x)在区间(0，)上是减函数，则a等于()a3b4c5d6解析因为a210a23(a5)22，f(x)x(a5)22(az)为偶函数，且在区间(0，)上是减函数，所以(a5)221)的定义域和值域都为1，a，则b_解析函数f(x)x22axb(a1)的对称轴方程为xa1，所以函数f(x)x22axb在1，a上为减函数，又函数在1，a上的值域也为1，a，则即由得：b3a1，代入得：a23a20，解得：a1(舍)，a2.把a2代入b3a1得b5.答案5【知识要点】1五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1图象定义域rrr_x|x0_x|x0_值域r_y|y0_r_y|y0_y|y0_奇偶性_奇_偶_奇_非奇非偶_奇_单调性_增_(，0)减，_(0，)增_增_增_(，0)和_(0，)减_公共点_(1，1)_2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)_ax2bxc(a0)_顶点式：f(x)_a(xh)2k(a0)_零点式：f(x)_a(xx1)(xx2)(a0)_(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图象定义域(，)(，)值域单调性在x上单调递减；在x上单调递增在x上单调递增；在x上单调递减奇偶性当_b0_时为偶函数，当b0时为非奇非偶函数顶点对称性函数的图象关于x对称3.二次函数在闭区间上的最值若a0，二次函数f(x)ax2bxc在闭区间p，q上的最大值为m，最小值为n.令x0(pq)，若q，则mf(p)，n_f(q)_；若px0，则mf(q)，n_f_；若x0(m2m1)，则实数m的取值范围是()a.b.c(1，2) d.解析因为函数yx的定义域为0，)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于解2m10，得m；解m2m10，得m或m.解2m1m2m1，得1m2，综上所述，m0，若a，br，且ab0，ab0，ab0，则一次函数yaxb为增函数，二次函数yax2bxc的图象开口向上，故可排除a；若a0，b0，从而0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除b，选c.答案c(2)若函数f(x)x2axb在区间0，1上的最大值是m，最小值是m，则mm()a与a有关，且与b有关b与a有关，但与b无关c与a无关，且与b无关d与a无关，但与b有关解析f(x)b，当01时，f(x)minmfb，f(x)maxmmaxf(0)，f(1)maxb，1ab，mmmax与a有关，与b无关；当1时，f(x)在0，1上单调递减，mmf(0)f(1)1a与a有关，与b无关综上所述，mm与a有关，但与b无关答案b小结1.识别二次函数图象应学会“三看”2研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论(2)若已知f(x)ax2bxc(a0)在区间a上单调递减(单调递增)，则a，即区间a一定在函数对称轴的左侧(右侧)3求二次函数在给定区间上最值的方法二次函数f(x)ax2bxc(不妨设a0)在区间m，n上的最大或最小值如下：(1)当m，n，即对称轴在所给区间内时：f(x)的最小值在对称轴处取得，其最小值是f；若，f(x)的最大值为f(n)；若，f(x)的最大值为f(m)(2)当m，n，即给定的区间在对称轴的一侧时：f(x)在m，n上是单调函数若m，f(x)在m，n上是增函数，f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)；若n0时，要使函数ykx24x2在区间1，2上是增函数，只需1，解得k2.当k0时，0，此时抛物线的对称轴在区间1，2的左侧，该函数ykx24x2在区间1，2上是减函数，不符合要求综上可得实数k的取值范围是2，)答案a6已知定义在r上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)x3，若不等式f(4t)f(2mmt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是()a(，)b(，0)c(，0)(，)d(，)(，)解析由f(x)为奇函数，且x0时，f(x)x3，则当xf(2mmt2)对任意实数t恒成立，即4t2mmt2对任意实数t恒成立即mt24t2m0对tr恒成立，当m0时，上述不等式显然不恒成立，所以m0，由168m20得m0)，若f(1)0，且对任意实数x均有f(x)0成立，设g(x)f(x)kx.(1)当x2，2时，g(x)为单调函数，求实数k的取值范围；(2)当x1，2时，g(x)0)，f(1)0且对任意实数x均有f(x)0成立；x1，且ab10；即b2a，且ab10，解得a1，b2；f(x)x22x1.g(x)f(x)kxx2(2k)x1，g(x)在2，2上是单调函数，x应满足：2或2，即k6或k2.k的取值范围是k|k2或k6(2)若g(x)x2(2k)x1，x1，2时，g(x)，k的取值范围是.小结二次函数值恒大(小)于零，常结合二次函数的图象和判别式来考虑；利用二次不等式与二次方程之间的关系，即二次不等式解集区间的端点值是对应方程的解；关于二次方程根的分布问题，可以借助二次函数的图象直观考察，主要从判别式、对称轴、端点值这三个方面入手考虑应满足的条件7已知函数f(x)ax2bxc(a0，br，cr)(1)若函数f(x)的最小值是f(1)0，且c1，f(x)求f(2)f(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在区间(0，1上恒成立，试求b的取值范围解析 (1)由已知c1，abc0，且1，解得a1，b2，f(x)(x1)2，f(x)f(2)f(2)(21)2(21)28.(2)由题可知，f(x)x2bx，原命题等价于1x2bx1在(0，1上恒成立，即bx且bx在(0，1上恒成立又x的最小值为0，x的最大值为2，2b0，故b的取值范围是2