（浙江专版）2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明习题课 新人教A版选修2-2

习题课二 1用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有一个不大于60”时，应假设()a三个内角都不大于60b三个内角都大于60c三个内角至多有一个大于60d三个内角至多有两个大于60解析：选b假设结论不成立，即“三角形三个内角中至少有一个不大于60”的否定为“三个内角都大于60”，故选b.2若三角形能分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是()a锐角三角形b钝角三角形c直角三角形d不能确定解析：选c直角三角形斜边上的高将直角三角形剖分为两个直角三角形，这两个直角三角形与原三角形都相似，故选c.3要证：a2b21a2b20，只要证明()a2ab1a2b20ba2b210c.1a2b20d(a21)(b21)0解析：选d因为a2b21a2b20(a21)(b21)0.故选d.4用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()a方程x3axb0没有实根b方程x3axb0至多有一个实根c方程x3axb0至多有两个实根d方程x3axb0恰好有两个实根解析：选a至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3axb0没有实根”5来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译针对他们懂的语言，正确的推理是()a甲日德、乙法德、丙英法、丁英德b甲日英、乙日德、丙德法、丁日英c甲日德、乙法德、丙英德、丁英德d甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：选a分析题目和选项，由知，丁不会说日语，排除b选项；由知，没有人既会日语又会法语，排除d选项；由知乙、丙、丁不会同一种语言，排除c选项，故选a.6设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是()abcd解析：选c若a，b，则ab1，但a1，b2，故推不出；若a2，b3，则ab1，故推不出；对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.7图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是.解析：分别观察正方体的个数为：1,15,159，归纳可知，第n个叠放图形中共有n层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列，所以snnn(n1)422n2n，所以s7272791.答案：918用数学归纳法证明：(n1)(n2)(nn)(nn*)的第二步中，当nk1时等式左边与nk时的等式左边的差等于_解析：当nk1时，左边(k2)(k3)(2k2)；当nk时，左边(k1)(k2)2k，其差为(2k1)(2k2)(k1)3k2.答案：3k29有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_解析：法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.答案：1和310已知|x|1，|y|1，用分析法证明：|xy|1xy|.证明：要证|xy|1xy|，即证(xy)2(1xy)2，即证x2y21x2y2，即证(x21)(1y2)0，因为|x|1，|y|1，所以x210,1y20，所以(x21)(1y2)0，不等式得证11设函数f(x)exln x，证明：f(x)1.证明：由题意知f(x)1等价于xln xxex.设函数g(x)xln x，则g(x)1ln x.所以当x时，g(x)0.故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，)上的最小值为g.设函数h(x)xex，则h(x)ex(1x)所以当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0时，g(x)h(x)，即f(x)1.12各项都为正数的数列an满足a11，aa2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：对一切nn*恒成立解：(1)aa2，数列a为首项为1，公差为2的等差数列，a1(n1)22n1，又an0，则an.(2)